Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Frequenzmodulation (FM)
}}

[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png|right|frame|Ortskurven bei Frequenzmodulation: <br>Kreisbogen und Parabel]]
Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$
mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 1 \ \rm V$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$. 
*Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt &nbsp;$η = 2.4$. 
*Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude &nbsp;$(A_{\rm T}  = 1)$:
:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
*Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer &nbsp;$T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; ergeben sich folgende Phasenwinkel:
:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}
 \phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß. 


Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf &nbsp;$B_{\rm K} = 25 \ \rm  kHz$, so kann das äquivalente TP–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:
:$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve
:$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$
die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.





''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und insbesondere auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
 
*Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:
:$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm FM}$?
|type="{}"}
$K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \rm (Vs)^{-1}$


{Berechnen Sie den Realteil &nbsp;$x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$&nbsp; des äquivalenten TP-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.
|type="{}"}
$x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }
$x_{\rm min} \ = \ $ { -0.89--0.83 } 

{Wie groß ist das Maximum und Minimum des Imaginärteils &nbsp;$y(t) = {\rm Im}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$?
|type="{}"}
$y_{\rm max} \ = \ $ { 1.04 3% } 
$y_{\rm min} \ = \ $ { -1.07--1.01 } 

{Welche Phasenwerte ergeben sich bei allen Vielfachen von &nbsp;$T_{\rm N}/2$?
|type="{}"}
$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$ 

{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel &nbsp;$ϕ_{\rm max}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
|type="{}"}
$ϕ_{max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$ 

{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form &nbsp;$y^2 + a · x + b = 0$&nbsp; angeben kann. Bestimmen Sie die Parabelparameter &nbsp;$a$&nbsp; und &nbsp;$b$. 
|type="{}"}
$a\ = \ $ { 0.629 3%  } 
$b\ = \ $ { 0.541 3% } 

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation eines Cosinussignals gilt für den Modulationsindex:
:$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} =  \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$

'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit der Abkürzung $γ = ω_{\rm N} · t$ unter Berücksichtigung von ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$ und ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
:$$r_{\rm TP}(t)  =  {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 =  {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt ${\rm J}_0 = 0$ und ${\rm J}_2 = 0.43$:
:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm} 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$

'''(3)'''&nbsp; Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man für den Imaginärteil (${\rm J}_1 = 0.52$):
:$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$

'''(4)'''&nbsp; Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils 0 und damit auch die Phasenfunktion: &nbsp; $ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}$ . Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.


'''(5)'''&nbsp; Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_{\rm N}/4$ seinen Maximalwert erreicht. Dieser kann mit $y_{\rm max} = 1.04$ und $x_{{\rm N}min} = -0.86$ wie folgt berechnet werden:
:$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$ ergeben. 
*Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit z.B. zur Zeit $t = T_{\rm N}/4$ auf.


'''(6)'''&nbsp; Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$
[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png|right|frame|Parabelverlauf]]
Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$

Damit lauten die Parabelparameter für $ {\rm J}_0 = 0$:
:$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$
*Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$: &nbsp; $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
*Die Werte bei $x = 0$ sind somit: &nbsp; $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$

{{ML-Fuß}}



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