Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: Amplituden- und Winkelmodulation im Vergleich


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation
}}

[[Datei:P_ID1112__Mod_Z_3_9.png|right|frame|Kennlinien zur Beschreibung des Rauschverhaltens bei AM und WM]]
Betrachtet wird die Übertragung eines Cosinussignals mit Amplitudenmodulation (AM) und Winkelmodulation (WM). Es gelten folgende Randbedingungen:
* Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$,
* Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S} = 100  \ \rm kW$,
* Kanaldämpfungsfaktor &nbsp;$20 · \lg α_{\rm K} = -120  \ \rm dB$,
* Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0 = 10^{–16} \ \rm  W/Hz$.


Diese Systemparameter werden zweckmäßigerweise zur gemeinsamen Leistungskenngröße
:$$ \xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$
zusammengefasst. Die Grafik zeigt den sich ergebenden Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit der logarithmierten Leistungskenngröße $ξ$.






''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation|Rauscheinfluss bei Winkelmodulation]].
*Bezug genommen wird aber auch auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Sinken-SNR_und_Leistungskenngr.C3.B6.C3.9Fe|Sinken-SNR und Leistungskenngröße]]&nbsp; sowie auf das Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
 
*Es gelten folgende Beziehungen:
:$$\rho_{v } = \left\{ \begin{array}{c} \xi \\ {\eta^2}/2 \cdot\xi \\ 3{\eta^2}/2 \cdot\xi \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}l} {\rm ZSB/ESB-AM \hspace{0.15cm}ohne \hspace{0.15cm}Tr\ddot{a}ger} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm PM \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}Modulationsgrad \hspace{0.15cm} \eta } \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM \hspace{0.15cm}mit \hspace{0.15cm}Modulationsgrad \hspace{0.15cm} \eta }\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
*Die Bandbreiten &nbsp;$B_{\rm K}$&nbsp; bei Winkelmodulation sind gemäß der ''Carson–Regel'' so zu wählen, dass ein Klirrfaktor &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; garantiert werden kann:
:$$ B_{\rm K} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.05cm}.$$


 

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die logarithmierte Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$.
|type="{}"}
$10 · \lg \ ξ \ = \ $ { 50 3% } $\ \rm dB$ 

{Welcher Sinkenstörabstand ergibt sich beim AM–System?
|type="{}"}
$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 50 3% } $\ \rm dB$ 

{Welche spezielle Form der AM könnte hier vorliegen?
|type="[]"}
+ Es könnte eine ZSB–AM sein.
+ Es könnte eine ESB–AM  sein.
+ Es könnte eine AM ohne Träger sein.
- Es könnte eine AM mit zugesetztem Träger sein.

{Wie groß ist im Fall der ZSB–AM die erforderliche Kanalbandbreite &nbsp;$B_{\rm K}$?
|type="{}"}
$B_{\rm K} \ = \ $ { 20 3% } $\ \rm kHz$ 

{Wie groß ist der Sinkenstörabstand beim WM-System?
|type="{}"}
$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 60 3% } $\ \rm dB$ 

{Welche Bandbreite ist beim vorgegebenen PM–System mindestens erforderlich, wenn &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; gelten soll?
|type="{}"}
$B_{\rm K} \ = \ $ { 130 3% } $\ \rm kHz$ 

{Wie groß ist für &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; die erforderliche Bandbreite, wenn das WM–System eine Frequenzmodulation realisiert?
|type="{}"}
$B_{\rm K} \ = \ $ { 91.6 3% } $\ \rm kHz$  

{Wie groß muss bei sonst gleichen Parametern die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; mindestens sein, damit das WM–System nicht schlechter als das AM–System ist?
|type="{}"}
$P_{\rm S} \ = \ $ { 30 3% } $\ \rm W$ 
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aus $20 · \lg α_{\rm K} = -120  \ \rm dB$ erhält man $α_{\rm K}  = 10^{–6}$. Damit ergibt sich mit $B_{\rm NF} = f_{\rm N}$:
:$$ \xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}= \frac{10^{-12} \cdot 10^{5}\;{\rm W}}{10^{-16}\;{\rm W/Hz} \cdot 10^{4}\;{\rm Hz}}= 10^5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Aus der Grafik ist zu entnehmen, dass beim AM–System $ρ_v = ξ$ gilt. Damit ergibt sich für den Sinken-Störabstand:
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }\hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>ersten drei Lösungsvorschläge</u>:
*Es handelt sich um eine ZSB–AM oder ESB–AM ohne Träger.
*Dagegen scheiden die ZSB–AM und die ESB–AM mit Träger aus. In diesen Fällen würde stets $ρ_v < \xi$ sein.



'''(4)'''&nbsp; Bei der ZSB–AM muss &nbsp;$B_{\rm K} ≥ 2 · f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 20 \ \rm kHz}$&nbsp; gelten.



'''(5)'''&nbsp; Aus der angegebenen Grafik erkennt man, dass ab etwa &nbsp;$20 \ \rm dB$&nbsp; gilt:
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi + 10\,{\rm dB}. \hspace{0.3cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi = 50\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v }\hspace{0.15cm}\underline {= 60\,{\rm dB}}.$$


'''(6)'''&nbsp; Bei Phasenmodulation gilt:
:$$ \rho_{v }= \frac{\eta^2}{2} \cdot \xi \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta^2 = \frac{2 \cdot \rho_{v }}{\xi} = 20\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta \approx 4.47 \hspace{0.05cm}.$$
Damit muss für die Kanalbandbreite unter der Voraussetzung $K < 1\%$ gelten:
:$$B_{\rm K} \ge 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) = 20\,{\rm kHz}\cdot 6.47 \hspace{0.15cm}\underline { \approx 130\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(7)'''&nbsp; Hier genügt ein kleinerer Modulationsindex und damit auch eine kleinere Bandbreite:
:$${3}/{2}\cdot \eta^2 = 10\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta \approx 2.58 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}B_{\rm K} = 20\,{\rm kHz}\cdot 4.58 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 91.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(8)'''&nbsp; In der Grafik erkennt man den so genannten FM–Knick. 
*Für $10 · \lg \hspace{0.08cm} ξ = 15 \ \rm dB$ erhält man für das WM–System genau das gleiche Sinken–SNR wie für das AM–System. 
*Die Sendeleistung kann also um $35 \ \rm dB$ kleiner sein als $100 \ \rm kW$:
:$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\frac{P_{\rm S,\hspace{0.05cm}min}}{100\,{\rm kW}}= -35\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S,\hspace{0.05cm}min}}{100\,{\rm kW}}\approx 0.0003\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm S,\hspace{0.05cm}min} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 30\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^3.3 Rauscheinfluss bei PM und FM^]]