Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Optimierung der Basisbandübertragungssysteme
}}


[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png|right|frame|Sender & Empfänger: Cosinus-Spektrum]]
Die nebenstehende Grafik zeigt
*das Spektrum &nbsp;$G_{s}(f)$&nbsp; des Sendegrundimpulses,
*den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; des Empfangsfilters


eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:
:$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right)  \\
 \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\  \\   \\ \end{array}
\begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\  {\rm sonst }\hspace{0.05cm}, \\
\end{array}$$
:$$H_{\rm E }(f)   =   \left\{ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right)  \\
 \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\  \\   \\ \end{array}
\begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\  {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\
\end{array}$$
In der gesamten Aufgabe gelte &nbsp;$A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 1 \ \rm MHz$.

*Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate &nbsp;$R = 1/T$&nbsp; richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$&nbsp; das erste Nyquistkriterium. 
*Bei der dazugehörigen Spektralfunktion &nbsp;$G_{d}(f)$&nbsp; erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum. 
*Der Rolloff–Faktor &nbsp;$r$&nbsp; ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.






''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
 
*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
:$$C_{\rm S} =  \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}=  {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das Nyquistspektrum &nbsp;$G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?
|type="{}"}
$f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$
$r \ = \ ${ 1 3% }

{Wie groß ist die Bitrate des vorliegenden Nyquistsystems?
|type="{}"}
$R \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm Mbit/s$

{Warum handelt es sich unter der Nebenbedingung „Leistungsbegrenzung” um ein optimales System?
|type="[]"}
+Das Gesamtsystem erfüllt die Nyquistbedingung.
-Der Crestfaktor ist &nbsp;$C_{\rm S} = 1$.
+Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist an den Sendegrundimpuls &nbsp;$G_{s}(f)$&nbsp; angepasst.

{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens &nbsp;$N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$&nbsp; $($bezogen auf &nbsp;$1 Ω)$&nbsp; gilt?
|type="{}"}
$p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$:
:$$G_d(f)  =   G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$
Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
:$$f_{\rm Nyq} =  \frac{f_1 +f_2 }
{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
Der Rolloff–Faktor beträgt
:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.


'''(2)'''&nbsp; Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.


'''(3)'''&nbsp; Die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> sind zutreffend:
*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung. 
*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.


'''(4)'''&nbsp; Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:
:$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:
:$$E_{\rm B}  = \
 \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f  =
 A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f 
  = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
:$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm
 V^2/Hz}}}\right)=
   {\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$


{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]