Quelltext der Seite Digitalsignalübertragung/Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation

 
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== Gemeinsames Blockschaltbild für ASK und BPSK ==
<br>
[[Datei:P_ID1671__Dig_T_4_1_S1_v3.png|right|frame|Blockschaltbild, gültig sowohl für ein ASK– und BPSK–Übertragungssystems gleichermaßen|class=fit]]
Im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]]&nbsp; des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo; wurden die digitalen Trägerfrequenzsysteme
* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|ASK]]&nbsp; (<i>Amplitude Shift Keying</i>) und
* [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]]&nbsp; (<i>Binary Phase Shift Keying</i>)


bereits ausführlich beschrieben. In diesem Kapitel wird nun die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerwahrscheinlichkeit|Bitfehlerwahrscheinlichkeit]]&nbsp; dieser Systeme berechnet, wobei von dem skizzierten gemeinsamen Blockschaltbild ausgegangen wird.


Im Folgenden gelten  wieder die folgenden Voraussetzungen:
*Die Demodulation geschieht stets &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#Koh.C3.A4rente_Demodulation_von_ASK.E2.80.93Signalen|kohärent]]. Das heißt: &nbsp; Beim Empfänger wird ein Trägersignal &nbsp;$z_{\rm E}(t)$&nbsp; mit gleicher Frequenz wie beim Sender zugesetzt, aber mit doppelter Amplitude. Der Phasenversatz zwischen dem senderseitigen Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; und dem empfangsseitigen Trägersignal &nbsp;$z_{\rm E}(t)$&nbsp; sei zunächst &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 0$.<br>
*Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu \in  \{-1, +1\}$&nbsp; ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei &nbsp;$E = 0$. Dagegen gilt bei ASK  &nbsp;$a_\nu \in  \{0, 1\}$. Die Entscheiderschwelle &nbsp;$E$&nbsp; ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.<br>
*Wir betrachten stets den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN&ndash;Kanal]], das heißt, dass für den Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; gilt und &nbsp;$n(t)$&nbsp; weißes Gaußsches Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; darstellt.<br>
*Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen &ndash; also der Fall &nbsp;$H_{\rm K}(f) \ne \rm const.$ &ndash; ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung. Hierzu sei auf das Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]]&nbsp; verwiesen.<br>


==Rauschbetrachtung zum BPSK–System==
<br>
Wir gehen zunächst von einem bipolaren rechteckförmigen Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit den Werten &nbsp;$\pm s_0$&nbsp; aus. Dessen normiertes Spektrum lautet: &nbsp; $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$. 

Ebenso wie bei der &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Systemkomponenten_eines_Basisband%C3%BCbertragungssystems#Vereinfachtes_Systemmodell|Basisbandübertragung]]&nbsp; ergibt sich die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f) = {H_{\rm S} }^\star(f) = {\rm si}(\pi f T)$. Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#Demodulation_und_Detektion_von_BPSK.E2.80.93Signalen|Signalverläufe]]&nbsp; dieses BPSK&ndash;Systems mit Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger zeigen:
*Das Detektionsnutzsignal &nbsp;$d_{\rm S}(t)$ &ndash; also ohne Rauschanteil &ndash; ist zu allen Detektionszeitpunkten &nbsp;$\nu \cdot T$ stets $\pm s_0$, wobei die Vorzeichen durch die Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu \in  \{-1, +1\}$&nbsp; festgelegt sind.<br>
*Wie beim vergleichbaren Basisbandsystem beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = {\rm Q}(s_0/\sigma_d)$, mit dem &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementären Gaußschen Fehlerintergral]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$.<br>


[[Datei:P_ID1679__Dig_T_4_1_S2a_v1.png|center|frame|Rauschleistungsdichten vor und nach der empfangsseitigen Multiplikation des Trägers|class=fit]]

Unterschiedlich zum Basisbandsystem ist jedoch die Rauschleistung. Der Rauschanteil &nbsp;$b_{\rm N}(t)$&nbsp; ergibt sich durch die Multiplikation des Bandpassrauschens &nbsp;$n(t)$&nbsp; mit dem empfangsseiten Träger &nbsp;$z_{\rm E}(t) =2 \cdot \cos(2\pi f t)$&nbsp; und besitzt die Rauschleistungsdichte 
:$${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)={\it \Phi}_{n}(f) \star \big[ 1^2
\cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm
T})\big].$$
Die Grafik verdeutlicht diese Gleichung am Beispiel von bandbegrenztem weißen Rauschen mit der Bandbreite &nbsp;$B_n$:
* Während &nbsp;${\it \Phi}_{n}(f = f_{\rm T}) = N_0/2$&nbsp; gilt, ist &nbsp;${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f=0) = N_0$. 
*Die Anteile um &nbsp;$\pm 2f_{\rm T}$&nbsp; werden durch das nachfolgende Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; eliminiert und spielen für die weiteren Betrachtungen keine Rolle.<br>
*Bei echt weißem Rauschen gilt mit dem Grenzübergang  &nbsp;$B_n \to \infty$&nbsp; für alle Frequenzen:
:$${{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it
\Phi}_{b{\rm N}}(f)}={N_0}.$$


== Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems==
<br>
Die gerade durchgeführten Betrachtungen zeigen, dass man zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK&ndash;Systems auf die beiden Multiplikationen mit &nbsp;$z(t)$&nbsp; und &nbsp;$z_{\rm E}(t) = 2 \cdot z(t)$&nbsp; verzichten kann, wenn man die Rauschleistung verdoppelt.

[[Datei:P_ID1673__Dig_T_4_1_S2b_v2.png|center|frame|Ersatzschaltbild der  BPSK|class=fit]]

Damit ergibt sich  bei AWGN&ndash;Rauschen für die Rauschleistung vor dem Entscheider:
:$$\sigma_d^2  = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm
si}^2(\pi \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm} T_{\rm B}) \,{\rm d} f
= {N_0}/{T_{\rm B}},$$
also der doppelte Wert als bei der Basisbandübertragung. &nbsp; <i>Hinweis</i>: &nbsp; Um später einen Vergleich mit der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM) zu ermöglichen, wurde hier die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; durch die Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$&nbsp; ersetzt. Bei der BPSK (und auch bei der ASK) gilt aber &nbsp;$T_{\rm B}=T$.

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp;
Damit lautet die '''BPSK&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit''' mit den zwei üblichen &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Gaußschen Fehlerfunktionen]]:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{N_0 } }\hspace{0.1cm} \right
 ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } }\hspace{0.1cm} \right
 ).$$
Berücksichtigt man weiter, dass die bei BPSK aufgewandte Energie pro Bit 
:$$E_{\rm B}  = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$$
beträgt, so kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right
 ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right
 ).$$
Es ergibt sich somit genau die gleiche Formel wie bei der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_-_Realisierung_mit_Matched-Filter|Basisbandübertragung]], bei der jedoch für die &bdquo;Energie pro Bit&rdquo; &nbsp;$E_{\rm B}  = 
s_0^2 \cdot T_{\rm B}$&nbsp; zu verwenden  war und nicht wie hier &nbsp;$E_{\rm B}  = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$.}}


<i>Anmerkung</i>: &nbsp; Diese letzte Gleichung gilt nicht nur bei Rechteck&ndash;Quellensignal 
&nbsp; &#8658; &nbsp; $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$, sondern für jedes beliebige &nbsp;$H_{\rm S}(f)$, solange
*das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f) = {H_{\rm S} }^\star(f)$&nbsp; exakt an den Sender angepasst ist, und <br>
*das Produkt &nbsp;$H_{\rm S}(f) \cdot  H_{\rm E}(f)$&nbsp; das erste Nyquistkriterium erfüllt.<br>


== Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems ==
<br>
Wir betrachten nun ein &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying |ASK&ndash;System]]&nbsp; bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK&ndash;System. Hier 
*sind alle Detektionsnutzsignalwerte &nbsp;$d_{\rm S}(\nu \cdot T)$&nbsp;  entweder &nbsp;$0$&nbsp; oder &nbsp;$s_0$, 
*ist dementsprechend deren Abstand von der Schwelle &nbsp;$E = s_0/2$&nbsp; jeweils &nbsp;$s_0/2$, 
*ist der Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d= \sqrt{N_0}/{T_{\rm B}}$&nbsp; genau so groß wie bei BPSK, 
*ist die Energie pro Bit nur halb so groß wie bei BPSK: &nbsp; $E_{\rm B}  = {1}/{4}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp;
Damit lauten die entsprechenden Gleichungen für die '''ASK&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit''' als Funktion von &nbsp;$s_0$&nbsp; bzw. von &nbsp;$E_{\rm B}$:

:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/2}{\sigma_d } \right
 )=  {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{4 \cdot N_0 } } \hspace{0.1cm}\right
 ),\hspace{1cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right
 ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } } \right
 ).$$}}


Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$. Diese Darstellung eignet sich für den Vergleich zwischen diesen binären Modulationsverfahren unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung: 

[[Datei:Dig_T_1_5_S3_version3neu.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK|class=fit]]

Man erkennt aus dieser doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung:
*Die ASK&ndash;Kurve liegt um &nbsp;$3 \ \rm dB$&nbsp; rechts von der BPSK&ndash;Kurve. 
*Für die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = 10^{-8}$&nbsp; benötigt man bei BPSK etwa &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 12 \ \rm dB$, bei ASK dagegen ca. &nbsp;$15 \ \rm dB$.
*Der Systemvergleich beim festen Abszissenwert &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ liefert für die BPSK &nbsp;$p_{\rm B} = 2 \cdot 10^{-4}$&nbsp; und für die ASK  &nbsp;$p_{\rm B} = 6 \cdot 10^{-3}$.
<br clear=all>
== Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK==
<br>
Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM) wurde im Buch &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo; bereits ausführlich beschrieben. 

Aus der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung|Signalraumzuordnung]]&nbsp; und den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufen]]&nbsp; ist zu entnehmen: 
*Die 4&ndash;QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK&ndash;Systeme mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinus&ndash;Träger dargestellt werden.<br>
*Das binäre Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Bitrate $R_{\rm B}$&nbsp; wird in zwei Teilsignale &nbsp;$q_{\rm I}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Inphase-Komponente''&nbsp; und &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Quadratur-Komponente''&nbsp; mit jeweils halber Rate aufgespaltet (''Seriell&ndash;Parallel&ndash;Wandlung''&nbsp;). Die Symboldauer von &nbsp;$q_{\rm I}(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$&nbsp; beträgt jeweils &nbsp;$T = 2\cdot T_{\rm B}$&nbsp;;  die Symbolrate ist  jeweils &nbsp;$R_{\rm B}/2$.<br>
*Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  kleiner gewählt als bei der BPSK, so dass die Hüllkurve des [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM| Sendesignals]] &nbsp;$s(t)$&nbsp; wiederum &nbsp;$s_0$&nbsp; beträgt.


Die QAM&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit ist die gleiche wie die der zwei orthogonalen BPSK&ndash;Systemen. Wegen der kleineren Signalamplitude und der niedrigeren Symbolrate gilt:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right
 )  \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B}}
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} =  {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 }{2} \cdot \frac{2 \cdot T_{\rm B} }{N_0}}\hspace{0.1cm}\right
 )=  {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
 ).$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; 
*Obwohl mit der 4&ndash;QAM gegenüber der BPSK die doppelte Informationsmenge übertragen werden kann, ergibt sich in Abhängigkeit von &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0 }$&nbsp; die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$. 
*Berücksichtigt ist hierbei, dass auch bei der 4&ndash;QAM für die mittlere Energie pro Bit gilt: &nbsp; $E_{\rm B}  = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$
*Da sich die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Offset.E2.80.93Quadraturamplitudenmodulation|quaternäre Phasenmodulation]]&nbsp; (4&ndash;PSK) von der 4&ndash;QAM nur um eine Phasenverdrehung von &nbsp;$45^\circ$&nbsp; unterscheidet, ergibt sich  bei Berücksichtigung geeigneter Entscheidungsgebiete auch für die 4&ndash;PSK die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.}}


[[Datei:P_ID1675__Dig_T_4_1_S4_neu1_v3.png|right|frame|Phasendiagramme bei BPSK mit Cosinusträger (links) bzw. Minus&ndash;Sinusträger (rechts)|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt zwei verschiedene Phasendiagramme von ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
* Die beiden Diagramme unterscheiden sich allein durch die Trägerphase. In beiden Fällen gilt  &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.
* In der linken Grafik erkennt man Bitfehler (durch Kreise hervorgehoben) durch gelbe Kreuze rechts von der vertikalen Entscheiderschwelle bzw. durch blaue Kreuze in der linken Halbebene.
*In der rechten Grafik weisen gelbe Kreuze oberhalb der horizontalen Schwelle und blaue Kreuze unterhalb auf Bitfehler hin.
*Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch  die weißen Punkte) von der jeweiligen Entscheiderschwelle (grün markiert) beträgt jeweils &nbsp;$s_0$. 
*Die Varianz der Detektionsabtastwerte &ndash; erkennbar am Radius der Punktwolken &ndash; ist wegen &nbsp;$E_{\rm B}  = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm
 B}$&nbsp; gleich
:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0 }{ T_{\rm B} }= \frac{s_0^2/2 }{ E_{\rm
 B}/N_0}.$$
*Mit &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 10^{0.6} \approx 4$&nbsp; ergibt sich daraus:
:$$ {\sigma_d^2 }/{ {s_0}^2}= \big [ { 2 \cdot 10^{0.6} }\big ]^{-1}
  \approx 0.125\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 { {\sigma_d} }/{ {s_0} }\approx 0.35 \hspace{0.5cm}
\Rightarrow \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( s_0/{\sigma_d } \right
 )= {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot 10^{0.6} } \hspace{0.08cm}\right )
 = {\rm Q}(2.8) \approx 2 \cdot 10^{-3}.$$}}


[[Datei:P_ID3135__Dig_T_4_1_S4_neu2_v2.png|right|frame|Phasendiagramm bei 4–QAM]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Nun betrachten wir ein Phasendiagramm der 4&ndash;QAM, die man als zwei orthogonale BPSK&ndash;Systeme mit Cosinus&ndash; und Minus&ndash;Sinusträger auffassen kann.

*Hier kommt es zu einem Bitfehler, wenn die horizontale oder die vertikale Entscheiderschwelle überschritten wird.
*In der Grafik erkennt man einen solchen Bitfehler, wenn ein Kreuz farblich nicht zu seinem Quadranten passt.
*Der Abstand der nunmehr vier Nutzabtastwerte ohne Rauschen (weiße Punkte) vom Ursprung beträgt wieder &nbsp;$s_0$.
*Der Abstand zu den Entscheiderschwellen ist bei  4&ndash;QAM allerdings um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  geringer als bei BPSK. 
*Der Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; ist bei  4&ndash;QAM um den gleichen Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; kleiner als bei BPSK.
*Somit sind die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten  von 4&ndash;QAM und BPSK gleich: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 2 \cdot 10^{-3}.$
<br clear=all>}}
== Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger ==
<br>
Voraussetzung für die Gültigkeit der bisherigen Gleichungen ist eine strenge Synchronität zwischen den bei Sender und Empfänger zugesetzten Trägersignalen. Nun wird ein Phasenversatz &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; zwischen den beiden Trägersignalen &nbsp;$z(t)$&nbsp; und &nbsp;$z_{\rm E} (t)$&nbsp; angenommen, während weiterhin von Frequenzsynchronität ausgegangen wird.

[[Datei:P_ID1676__Dig_T_4_1_S5_v2.png|right|frame|Phasendiagramme bei BPSK und 4–QAM mit  &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30 ^\circ$.|class=fit]]

Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ$. Man erkennt:
*Sowohl bei BPSK (links) als auch bei der 4&ndash;QAM (rechts) bewirkt ein Phasenversatz um &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; eine entsprechende  ''Drehung''&nbsp; des Phasendiagramms.<br>
*Bei BPSK bewirkt der Phasenversatz ein um &nbsp;$\cos\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; kleineres Nutzsignal. Den gleichen Effekt haben wir bereits beim &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_eines_Phasenversatzes|Synchrondemodulator]]&nbsp; eines analogen Übertragungssystems festgestellt.<br>
*Demzufolge wird auch der Abstand des Detektionsnutzsignals von der Entscheiderschwelle um den gleichen Faktor geringer, was zu einer höheren Fehlerwahrscheinlichkeit führt:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})\right
 ) .$$

*Mit den hier zugrundeliegenden Zahlenwerten &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ)$&nbsp;  erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK  (linkes Diagramm) von &nbsp;$p_{\rm B} \approx 0.2\%$&nbsp; auf etwa &nbsp;$p_{\rm B} \approx 0.6\%$.
 
*Dagegen wird bei der 4&ndash;QAM (rechtes Diagramm) die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichen Bedingungen nahezu um den Faktor $40$ größer: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 8\%$. 

*Falls &nbsp;$|\Delta \phi_{\rm T}| < 45^\circ$&nbsp; ist,  gilt für die 4&ndash;QAM  folgende allgemeine Gleichung  (siehe &nbsp;[[Aufgaben:1.09_BPSK_und_4-QAM|Aufgabe 1.9]]&nbsp;):
:$$p_{\rm B} = 1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot
 \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm
 T})}\right) +  1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot
 \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm
 T})}\right).$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; 
*Obwohl man mit der 4&ndash;QAM über den gleichen Kanal die doppelte Information wie bei BPSK übertragen kann, weisen bei idealen Bedingungen beide Systeme die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit auf. 
*Bei nicht idealen Bedingungen &ndash; zum Beispiel bei einem Phasenversatz &ndash; steigt allerdings die Fehlerwahrscheinlichkeit der 4&ndash;QAM sehr viel stärker an als bei BPSK.}}


== Basisbandmodell für ASK und BPSK==
<br>
Die Grafik zeigt oben nochmals das '''Gesamtblockschaltbild''' eines Trägerfrequenzsystems mit kohärenter Demodulation, das für ASK (unipolare Amplitudenkoeffizienten) und BPSK (bipolare Koeffizienten) in gleicher Weise gültig ist. 
*Durch die Multiplikation mit dem Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; wird das Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; des Quellensignals &ndash; und dementsprechend auch das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; &ndash; beidseitig  um die Trägerfrequenz &nbsp;$(\pm f_{\rm T})$&nbsp; verschoben. 
*Nach dem Kanal wird diese Verschiebung durch den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]]&nbsp; wieder rückgängig gemacht.


[[Datei:P_ID1677__Dig_T_4_1_S6_v3.png|center|frame|Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK|class=fit]]

Geht man vom '''äquivalenten Basisbandmodell''' entsprechend der unteren Grafik aus, so lässt sich die Berechnung der Signale nach dem Demodulator vereinfachen:
*Man kürzt quasi den Einfluss von Modulator und Demodulator und ersetzt den Bandpasskanal mit dem Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; durch eine geeignete Tiefpass&ndash;Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$, wobei der Index für &bdquo;Modulator&ndash;Kanal&ndash;Demodulator&rdquo; steht.<br>
*Unter Berücksichtigung einer Phasendifferenz &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger erhält man für die resultierende Übertragungsfunktion:
:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ {\rm e}^{\hspace{0.04cm}-{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm
 T}} \cdot H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) +{\rm e}^{\hspace{0.04cm}{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm
 T}} \cdot H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ]
 .$$
*Bei einem reellen und um die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; symmetrischen Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$ &ndash; also falls &nbsp;$H_{\rm K}(f_{\rm T}-f) = H_{\rm K}(f_{\rm T}+f)$&nbsp; gilt &ndash; kann man diese Gleichung wie folgt vereinfachen:
:$$H_{\rm MKD}(f) = \frac{\cos({\rm \Delta} \phi_{\rm
 T})}{2} \cdot \big [  H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ]
 .$$
*Die Signale &nbsp;$b\hspace{0.08cm}'(t)$&nbsp; im unteren Bild und &nbsp;$b(t)$&nbsp; nach dem Demodulator des Bandpass–Systems im oberen Bild sind somit bis auf die &nbsp;$±2f_{\rm T}$–Anteile identisch. Diese Anteile werden jedoch durch das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; eliminiert und müssen nicht weiter berücksichtigt werden.


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; 
*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK können somit auch mit dem einfacheren Basisbandmodell berechnet werden, und zwar auch dann, wenn ein verzerrender Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; vorliegt. 
*Zu beachten ist, dass auch das Rauschsignal $n(t)$ in den Tiefpassbereich transformiert werden muss. Bei &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Rauschbetrachtung_zum_BPSK.E2.80.93System|weißem Rauschen]]&nbsp; muss hierzu &nbsp;${\it \Phi}_n(f) = N_0/2$&nbsp; durch &nbsp;${\it \Phi}_{n,\hspace{0.06cm}{\rm  TP} }(f) = N_0$&nbsp; ersetzt werden.}}


[[Datei:P_ID1678__Dig_T_4_1_S6b_v1.png|right|frame|Spektren des BPSK–Systems und des zugehörigen Basisbandmodells|class=fit]]
{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik verdeutlicht das Basisbandmodell anhand der Amplitudenspektren, wobei vereinfachend vorausgesetzt wird:
*ein gaußförmiges &nbsp;$Q(f)$,
*die BPSK&ndash;Modulation,
*ein rechteckförmiger Bandpasskanal &nbsp;$H_{\rm K}(f)$,
*eine phasensynchrone Demodulation, und
*ein ebenfalls rechteckförmiges Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; mit &nbsp;$\Delta f_{\rm E} > \Delta f_{\rm K}$.


Man erkennt:
*Das Spektrum &nbsp;$D(f)$&nbsp; des Detektionssignals &nbsp;$d(t)$&nbsp; wird durch das äquivalente Basisbandmodell richtig wiedergegeben, obwohl sich die Spektren &nbsp;$B(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$B\hspace{0.05cm}'(f)$&nbsp; um die doppelte Trägerfrequenz unterscheiden.


*Die resultierende Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; berücksichtigt auch die Bandbegrenzung durch den Kanal, der in diesem Beispiel als rechteckförmig um die Trägerfrequenz angenommen wurde.}}

==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:1.08 Vergleich ASK und BPSK|Aufgabe 1.8: Vergleich ASK und BPSK]]

[[Aufgaben:1.08Z_BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 1.8Z: BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit]]

[[Aufgaben:1.09_BPSK_und_4-QAM|Aufgabe 1.9: BPSK und 4-QAM]]

[[Aufgaben:1.10_BPSK–Basisbandmodell|Aufgabe 1.10: BPSK–Basisbandmodell]]

[[Aufgaben:1.10Z_Gauß-Bandpass|Aufgabe 1.10Z: Gauß-Bandpass]]

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