Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Realer Zweiwegekanal


{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Mehrwegeempfang beim Mobilfunk}}

[[Datei:P_ID2159__Mob_Z_2_2.png|right|frame|Zweiwege–Szenario]]
Betrachtet wird das skizzierte Szenario, bei dem das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Antenne des Empfängers über zwei Wege erreicht:
:$$r(t) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  r_1(t) + r_2(t) =k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2)
  \hspace{0.05cm}.$$

Dabei ist zu beachten:
* Die Laufzeiten&nbsp; $\tau_1$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2$&nbsp; auf Haupt&ndash; und Nebenpfad können aus den Pfadlängen&nbsp; $d_1$&nbsp; und&nbsp; $d_2$&nbsp; unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$&nbsp; berechnet werden.
* Die Amplitudenfaktoren&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; sollen vereinfachend gemäß dem Pfadverlustmodell mit dem Pfadverlustexponenten&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; angenommen werden (Freiraumdämpfung).
* Die Höhe der Sendeantenne ist&nbsp; $h_{\rm S} = 500 \ \rm m$, die der Empfangsantenne&nbsp; $h_{\rm E} = 30 \ \rm m$. Die Antennen stehen im Abstand von&nbsp; $d = 10 \ \rm km$. 
* Die Reflektion auf dem Nebenpfad führt zu einer Phasenänderung um&nbsp; $\pi$, so dass man die Teilsignale subtrahieren muss. Dies wird durch einen negativen&nbsp; $k_2$&ndash;Wert berücksichtigt.





''Hinweis:'' 
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
 



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Länge&nbsp; $d_1$&nbsp; des direkten Pfades.
|type="{}"}
$d_1 \ = \ ${ 10011 1% } $\ \rm m$

{Berechnen Sie die Länge&nbsp; $d_2$&nbsp; des Umwegpfades.
|type="{}"}
$d_2 \ = \ ${ 10014 1% } $\ \rm m$

{Welche Differenzen&nbsp; $\Delta d = d_2 \ - d_1$&nbsp; und&nbsp; $\Delta \tau = \tau_2 -\tau_1$&nbsp; (Laufzeit) ergeben sich nach exakter Rechnung?
|type="{}"}
$\Delta d \ = \ ${ 2.996 3% } $\ \rm m$
$\Delta \tau \ = \ ${ 9.987 3% } $\ \rm ns$

{Welche Gleichung ergibt sich für die Laufzeitdifferenz&nbsp; $\Delta \tau$&nbsp; mit der für kleine&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gültigen Näherung $\sqrt{(1 + \varepsilon)} \approx 1 + \varepsilon/2$?
|type="[]"}
- $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/d$,
- $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/(c \cdot d)$,
+ $\Delta \tau = 2 \cdot h_{\rm S} \cdot h_{\rm E}/(c \cdot d)$.

{Welche Aussagen treffen für die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; zu?
|type="[]"}
+ Die Koeffizienten&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; sind betragsmäßig nahezu gleich.
- Die Beträge&nbsp; $|k_1|$&nbsp; und&nbsp; $|k_2|$&nbsp; unterscheiden sich deutlich.
+ Die Koeffizienten&nbsp; $|k_1|$&nbsp; und&nbsp; $|k_2|$&nbsp; unterscheiden sich im Vorzeichen.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit den Bezeichnungen in der Veranschaulichungsskizze ergibt sich nach &bdquo;Pythagoras&rdquo;:
:$$d_1 = \sqrt{d^2 + (h_{\rm S}- h_{\rm E})^2} = \sqrt{10^2 + (0.5- 0.03)^2} \,\,{\rm km} \hspace{0.1cm} \underline {=10011.039\,{\rm m}}
  \hspace{0.05cm}.$$

*Eigentlich ist die Angabe einer solchen Länge mit der Genauigkeit eines Millimeters nicht sehr sinnvoll und widerspricht der Mentalität eines Ingenieurs. 
*Wir haben das hier trotzdem gemacht, um die Genauigkeit der in der Teilaufgabe (4) gesuchten Näherung überprüfen zu können.



'''(2)'''&nbsp; Klappt man den reflektierten Strahl rechts vpn $x_{\rm R}$ nach unten (Spiegelung am Erdboden), so erhält man wiederum ein rechtwinkliges Dreieck. Daraus folgt:
:$$d_2 = \sqrt{d^2 + (h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2} = \sqrt{10^2 + (0.5+ 0.03)^2} \,\,{\rm km} \hspace{0.1cm} \underline {=10014.035\,{\rm m}}
  \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus '''(1)''' und '''(2)''' erhält man für die Längen&ndash; und die Laufzeitdifferenz:
:$$\Delta d = d_2 - d_1 = \hspace{0.1cm} \underline {=2.996\,{\rm m}}
  \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
\Delta \tau = \frac{\Delta d}{c} =  \frac{2.996\,{\rm m}}{3 \cdot 10^8 \,{\rm m/s}}  \hspace{0.1cm} \underline {=9.987\,{\rm ns}}
  \hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Mit $h_{\rm S} + h_{\rm E} \ll d$ lassen sich die obigen Gleichung wie folgt ausdrücken:
:$$d_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx  d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
d_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx  d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta d = d_2 - d_1 \approx \frac {1}{2d} \cdot \left [ (h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2 - (h_{\rm S}- h_{\rm E})^2 \right ]
 =  \frac {2 \cdot h_{\rm S}\cdot h_{\rm E}}{d}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta \tau = \frac{\Delta d}{c} \approx  \frac {2 \cdot h_{\rm S}\cdot h_{\rm E}}{c \cdot d}
  \hspace{0.05cm}.$$

*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Mit den vorgegebenen Zahlenwerten erhält man hierfür:
:$$\Delta \tau  \approx  \frac {2 \cdot 500\,{\rm m}\cdot 30\,{\rm m}}{3 \cdot 10^8 \,{\rm m/s} \cdot 10000\,{\rm m}} = 10^{-8}\,{\rm s} = 10\,{\rm ns}
  \hspace{0.05cm}.$$

*Die relative Verfälschung gegenüber dem tatsächlichen Wert entsprechend Teilaufgabe '''(3)''' beträgt nur $0.13\%$. 
*Beim Lösungsvorschlag 1 stimmt schon die Einheit nicht. 
*Bei Lösungsvorschlag 2 käme es zu keiner Laufzeitverschiebung, wenn beide Antennen die gleiche Höhe hätten. Dies trifft sicher nicht zu.



'''(5)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent $\gamma = 2$ sagt aus, dass die Empfangsleistung $P_{\rm E}$ quadratisch mit der Distanz abnimmt. 
*Die Signalamplitude nimmt also mit $1/d$ ab, und mit einer Konstanten $K$ gilt:
:$$k_1 =  \frac {K}{d_1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}|k_2| =  \frac {K}{d_2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
  \frac {|k_2|}{k_1} = \frac {d_1}{d_2}= \frac {10011.039\,{\rm m}}{10014.035\,{\rm m}} \approx 0.99 \hspace{0.05cm}.$$

*Die beiden Pfadgewichte unterscheiden sich somit im Betrag nur um etwa $1\%$. 
*Allerdings haben die Koeffizienten $k_1$ und $k_2$ verschiedene Vorzeichen &nbsp; &#8658; &nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>.
{{ML-Fuß}}





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