Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.12Z: Ring und Rückkopplung

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken}}

[[Datei:P_ID2710__KC_Z_3_12.png|right|frame|Ring und Rückkopplung im Zustandsübergangsdiagramm]]
Um die Pfadgewichtsfunktion&nbsp; $T(X)$&nbsp; eines Faltungscodes aus dem Zustandsübergangsdiagramm bestimmen zu können, ist es erforderlich, das Diagramm so zu reduzieren, bis es durch eine einzige Verbindung vom Startzustand zum Endzustand dargestellt werden kann.

Im Zuge dieser Diagrammreduktion können auftreten:
* serielle und parallele Übergänge,
* ein Ring entsprechend der obigen Skizze,
* eine Rückkopplung entsprechend der unteren Skizze.


Für diese beiden Graphen sind die Entsprechungen&nbsp; $E(X, \, U)$&nbsp; und&nbsp; $F(X, \, U)$&nbsp; in Abhängigkeit der angegebenen Funktionen&nbsp; $A(X, \, U), \ B(X, \ U), \ C(X, \, U), \ D(X, \, U)$&nbsp; zu ermitteln.








''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken| Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]].
* Mit dieser Aufgabe sollen einige der Angaben auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Regeln zur Manipulation des Zustandsübergangsdiagramms]]&nbsp; bewiesen werden.
* Angewendet werden diese Regeln in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.12:_Pfadgewichtsfunktion|Aufgabe 3.12]]&nbsp; und der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.13:_Nochmals_zu_den_Pfadgewichtsfunktionen|Aufgabe 3.13]].




===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Welche der aufgeführten Übergänge sind beim Ring möglich?
|type="[]"}
+ $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_3$,
+ $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_2 &#8594; S_2 &#8594; S_3$,
- $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_3$.

{Wie lautet die Ersetzung&nbsp; $E(X, \, U)$&nbsp; eines Ringes?
|type="[]"}
- $E(X, \, U) = [A(X, \, U) + B(X, \, U)] \ / \ [1 \, -C(X, \, U)]$,
+ $E(X, \, U) = A(X, \, U) \cdot B(X, \, U) \ / \ [1 \, -C(X, \, U)]$,
- $E(X, \, U) = A(X, \, U) \cdot C(X, \, U) \ / \ [1 \, -B(X, \, U)]$.

{Welche der aufgeführten Übergänge sind bei Rückkopplung möglich?
|type="[]"}
+ $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_4$,
- $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_4$,
+ $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_4$,
+ $S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_3 &#8594; S_4$.

{Wie lautet die Ersetzung&nbsp; $F(X, \, U)$&nbsp; einer Rückkopplung?
|type="[]"}
+ $F(X, \, U) = A(X, \, U) \cdot B(X, \, U) \cdot C(X, \, U) \ / \ [1 \, -C(X, \, U) \cdot D(X, \, U)]$
- $F(X, \, U) = A(X, \, U) \cdot B(X, \, U) \ / \ [1 \, -C(X, \, U) + D(X, \, U)]$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: 
*Allgemein ausgedrückt: Man geht zunächst von $S_1$ nach $S_2$, verbleibt $j$&ndash;mal im Zustand $S_2 \ (j = 0, \ 1, \, 2, \ \text{ ...}$ und geht abschließend von $S_2$ nach $S_3$ weiter.


'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Entsprechend den Ausführungen zur Teilaufgabe (1) erhält man für die Ersetzung des Ringes 
:$$E \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} A \cdot B + A  \cdot C \cdot B + A  \cdot C^2 \cdot B + A  \cdot C^3 \cdot B + \text{ ...} \hspace{0.1cm}=A \cdot B \cdot [1 + C + C^2+ C^3 +\text{ ...}\hspace{0.1cm}]
\hspace{0.05cm}.$$

*Der Klammerausdruck ergibt $1/(1 \, &ndash;C)$. 
:$$E(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} 
\hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>: 
* Man geht zunächst von $S_1$ nach $S_2 \ \Rightarrow \ A(X, \, U)$,
* dann von $S_2$ nach $S_3 \ \Rightarrow \ C(X, \, U)$,
* anschließend $j$&ndash;mal zurück nach $S_2$ und wieder nach $S_3 \ (j = 0, \ 1, \ 2, \ \text{ ...} \ ) \ \Rightarrow \ E(X, \, U)$,
* abschließend von $S_3$ nach $S_4 \ \Rightarrow \ B(X, \, U)$,


'''(4)'''&nbsp; Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
*Entsprechend der Musterlösung zur Teilaufgabe (3) gilt:
:$$F(X, U) = A(X, U) \cdot C(X, U) \cdot E(X, U) \cdot B(X, U)\hspace{0.05cm}$$

*Hierbei beschreibt $E(X, \, U)$ den Weg &bdquo;$j$&ndash;mal&rdquo; zurück nach $S_2$ und wieder nach $S_3 \ (j =0, \ 1, \ 2, \ \text{ ...})$:
:$$E(X, U) =  1 + D \cdot C + (1 + D)^2 + (1 + D)^3 + \text{ ...} \hspace{0.1cm}= \frac{1}{1-C \hspace{0.05cm} D}
\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} F(X, U) =  \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)\cdot C(X, U)}{1- C(X, U) \cdot D(X, U)} 
\hspace{0.05cm}.$$


{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^3.5 Distanzeigenschaften^]]