Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Schwingungsparameter


{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Harmonische Schwingung
}}

[[Datei:P_ID316__Sig_Z_2_3.png|right|frame|Definition von&nbsp; $x_0$,&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$]]
Jede harmonische Schwingung kann auch in der Form
:$$x(t)=C\cdot\cos\bigg(2\pi \cdot \frac{t-\tau}{T_0}\bigg)$$
geschrieben werden. Die Schwingung ist somit durch drei Parameter vollständig bestimmt:

:* die Amplitude&nbsp; $C$,

:* die Periodendauer&nbsp; $T_0$,

:* die Verschiebung&nbsp; $\tau$&nbsp; gegenüber einem Cosinussignal.


Eine zweite Darstellungsform lautet mit der Grundfrequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; und der Phase&nbsp; $\varphi$:
:$$x(t)=C \cdot\cos(2\pi f_0t-\varphi).$$
Von einer harmonischen Schwingung ist nun bekannt, dass

:* das erste Signalmaximum bei&nbsp; $t_1 = 2 \,\text{ms}$&nbsp; auftritt,

:* das zweite Signalmaximum bei&nbsp; $t_2 = 14 \,\text{ms}$&nbsp; auftritt,

:* der Wert&nbsp; $x_0 ={x(t = 0)} = 3 \,\text{V}$&nbsp; ist.







''Hinweis:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]].
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; und die Grundfrequenz&nbsp; $f_0$?
|type="{}"}
$T_0\hspace{0.2cm} = \ $  { 12 3% } &nbsp;$\text{ms}$
$f_0\hspace{0.2cm} = \ $  { 83.33 3% } &nbsp;$\text{Hz}$


{Welchen Wert haben hier die Verschiebung&nbsp; $\tau$&nbsp; und die Phase&nbsp; $\varphi$&nbsp; $($in&nbsp; $\text{Grad})$&nbsp;?
|type="{}"}
$\tau\hspace{0.25cm} = \ $  { 2 3% } &nbsp;$\text{ms}$
$\varphi\hspace{0.2cm} = \ $  { 60 3% } &nbsp;$\text{Grad}$


{Wie groß ist die Amplitude der harmonischen Schwingung?
|type="{}"}
${C}\ = \ $  { 6 3% } &nbsp;$\text{V}$


{Wie lautet das Spektrum&nbsp; $X(f)$?&nbsp; Welches Gewicht hat die Spektrallinie bei&nbsp; $+f_0$&nbsp;?
|type="{}"}
$\text{Re}\big[X(f = f_0)\big]\ = \ $  { 1.5 3% } &nbsp;$\text{V}$
$\text{Im}\big[X(f = f_0)\big] \ = \ $   { -2.65--2.55 } &nbsp;$\text{V}$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Es gilt $T_0 = t_2 - t_1 = 12\, \text{ms}$ und $f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 83.33\, \text{Hz}}$.


'''(2)'''&nbsp; Die Verschiebung beträgt $\tau \hspace{0.1cm} \underline{= 2\, \text{ms}}$ und die Phase ist $\varphi = 2\pi \cdot \tau/T_0 = \pi/3$ entsprechend $\varphi =\hspace{0.15cm} \underline{60^{\circ}}$.


'''(3)'''&nbsp; Aus dem Wert zum Zeitpunkt $t = 0$ folgt für die Amplitude ${C}$:
:$$x_0=x(t=0)=C\cdot\cos(-60\,^\circ)={C}/{2}=\rm 3\,V
\hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm}\hspace{0.15cm}\underline{\it C=\rm 6\,V}.$$

'''(4)'''&nbsp; Die dazugehörige Spektralfunktion lautet:
:$$X(f)={C}/{2}\cdot{\rm e}^{-{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f-f_0)+{C}/{2}\cdot{\rm e}^{{\rm j}\varphi}\cdot\delta(f+f_0).$$

:Das Gewicht der Diraclinie bei $f = f_0$ (erster Term) ist &nbsp; ${C}/2 \cdot {\rm e}^{–\text{j}\varphi} = 3 \,\text{V} \cdot \cos(60^\circ)- 3 \,\text{V} \cdot \sin(60^\circ)\hspace{0.05cm}\approx \underline{1.5 \,\text{V} - \text{j} \cdot 2.6 \,\text{V}}$.
{{ML-Fuß}}


[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]