Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm


{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Kupfer–Doppelader
}}

[[Datei:P_ID1818__LZI_A_4_7.png|right|frame|Impulsantwort der Kupfer-Doppelader]]
Das Zeitverhalten einer Kupferdoppelader mit Durchmesser &nbsp;$d = 0.5 \ \rm mm$&nbsp; soll analysiert werden. 

Der Frequenzgang lautet mit der Leitungslänge &nbsp;$l = 1.5 \ \rm km$&nbsp;  und der Bitrate &nbsp;$R = 10  \rm Mbit/s$:
:$$H_{\rm K}(f)  =  {\rm e}^{-{\rm a}_0 } \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.01cm}\tau_{\rm P}}
  \cdot {\rm
  e}^{-{\rm a}_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm}2f/R}\cdot   {\rm
  e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\cdot {\rm
  e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}
 \hspace{0.05cm}.$$
Verwendet sind folgende Größen, die sich aus dem Dämpfungs&ndash; und Phasenmaß ableiten lassen:
:$${a}_0  =  \alpha_0 \cdot l\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\alpha_0 = 0.5066\,\, \frac{\rm Np}{\rm km}\hspace{0.05cm},$$
:$$  \tau_{\rm P}  =  \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}\beta_1 = 30.6\,\,
  \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
:$$  {a}_1  =  \alpha_1 \cdot l \cdot {{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
  \alpha_1 = 0.136\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm},$$
:$$  {a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
  \alpha_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},$$
:$$  {b}_2  =  \beta_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}
  \beta_2 = 1.1467\,\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot
  \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Impulsantwort lässt sich somit in der Form
:$$h_{\rm K}(t )  = K \cdot \big [ \delta(t - \tau_{\rm P})\star h_{1}(t) \star h_{2}(t) \big ]$$
darstellen, wobei 
* die Teilimpulsantwort &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; auf den dritten Term in obiger Gleichung zurückgeht, und
* $h_2(t)$&nbsp; die gemeinsame Zeitbereichsdarstellung der beiden letzten Terme angibt.


Die Grafik zeigt als rote Kurve den Anteil &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; der Impulsantwort und das Faltungsprodukt &nbsp;$h_1(t) \star h_2(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; blauer Kurvenverlauf). <br>Dabei ist &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln#Impulsantwort_eines_Koaxialkabels|Koaxialkabel&ndash;Impulsantwort]] mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;${a}_\star = {a}_2$.









''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern|Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern]].
 
*Die Parameter &nbsp;$\alpha_0$, &nbsp;$\alpha_1$ und &nbsp;$\alpha_2$ wurden aus den &nbsp;$k$&ndash;Parametern umgerechnet, wie in&nbsp; [[Aufgaben:4.6_k-Parameter_und_Alpha-Parameter|Aufgabe 4.6]]&nbsp; gezeigt. 
*Der Phasenmaßparameter &nbsp;$\beta_2$&nbsp; wurde hier zahlenmäßig gleich dem Dämpfungsmaßparameter&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; gesetzt. 
*Der Dämpfungsanteil &nbsp;${a}_2$&nbsp; und der Phasenanteil &nbsp;${b}_2$&nbsp; unterscheiden sich deshalb nur in der Einheit. 
*Auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Kupfer–Doppeladern#Diskussion_der_gefundenen_N.C3.A4herungsl.C3.B6sung|Diskussion der gefundenen Näherungslösung]]&nbsp; wird dargelegt, warum diese Maßnahme erforderlich ist.
*Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Zeitverhalten_von_Kupferkabeln|Zeitverhalten von Kupferkabeln]]&nbsp; benutzen.




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Konstante &nbsp;$K$&nbsp; der Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm K}(t )$.
|type="{}"}
$K \ = \ $  { 0.468 3% }


{Berechnen Sie die Phasenlaufzeit &nbsp;$\tau_P$, bezogen auf die Symboldauer &nbsp;$T$.
|type="{}"}
$\tau_P/T \ = \ $ { 73 3% }


{Wie groß ist die charakteristische Dämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; des vergleichbaren Koaxialkabels?
|type="{}"}
$a_\star \ = \ $ { 25.5 } $\ \rm dB$


{Welche Eigenschaften weist die Teilimpulsantwort &nbsp;$h_{\rm 1}(t )$&nbsp; auf?
|type="[]"}
+  $h_{\rm 1}(t )$&nbsp; ist eine gerade Funktion.
+ Das Maximum von  &nbsp;$h_{\rm 1}(t )$&nbsp; liegt bei &nbsp;$t = 0$.
- Das Integral über &nbsp;$h_{\rm 1}(t )$&nbsp; ergibt den Wert &nbsp;$2$.


{Welche Eigenschaften erkennt man an der Funktion &nbsp;$h_1(t ) \star h_2(t )$?
|type="[]"}
+ $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; gibt die Verzerrungen von &nbsp;$h_{\rm K}(t )$&nbsp; vollständig wieder.
- $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; unterscheidet sich von &nbsp;$h_{\rm K}(t )$&nbsp; nur durch einen Faktor.



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $a_0 = \alpha_0 \cdot l \approx 0.76 \ \rm Np$&nbsp; erhält man für die Konstante&nbsp; $K$, die den Einfluss des Koeffizienten&nbsp; $ \alpha_0$&nbsp; auf die Impulsantwort angibt:
:$$K = {\rm e}^{-{a}_0 }= {\rm e}^{-0.76} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.468} \hspace{0.05cm}.$$



'''(2)'''&nbsp; Für die Phasenlaufzeit gilt mit der angegebenen Gleichung:
:$$\tau_{\rm P} = \frac{\beta_1 \cdot l}{2 \pi}=  \frac{30.6 \cdot 1.5}{2 \pi}\, {\rm &micro; s}\approx 7.31\, {\rm &micro;
 s}\hspace{0.05cm},$$
und auf die Symboldauer&nbsp; $T = 0.1 \  &micro; \rm s$&nbsp;  bezogen: &nbsp; 
:$${\tau_{\rm P}}/{T} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 73}\hspace{0.05cm}.$$



'''(3)'''&nbsp; Die Impulsantwort eines Koaxialkabels ist näherungsweise gleich&nbsp; $h_2(t)$, wenn das Kabel folgende charakteristische Kabeldämpfung aufweist:
:$${a}_\star ={a}_2  =  \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{{R}/{2}} =
 1.1467\,\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot 1.5\,{\rm km} \cdot \sqrt{\frac{10\,{\rm MHz}}{2}}
  =  2.93\,{\rm Np} = 2.93\,{\rm Np} \cdot8.686\,\frac {\rm dB}{\rm Np} \hspace{0.15cm}\underline{ =25.5\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$



'''(4)'''&nbsp; Richig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
*Die Fouriertransformierte&nbsp; $H_1(f) = {\rm e}^{-A \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} |f|}$ mit $A = 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {a}_1/R$&nbsp; ist reell und gerade, so dass&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; ebenfalls reell und gerade ist. 
*Aufgrund der Tiefpass&ndash;Charakteristik von&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; liegt das Maximum bei&nbsp; $t = 0$. 
*Die letzte Aussage ist dagegen falsch: &nbsp; Das Integral über&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; im gesamten Zeitbereich&nbsp; $ \pm \infty$&nbsp; ist gleich&nbsp; $H_1(f=0) = 1$.




'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der Lösungsvorschlag 1</u>: 
*Die Teilimpulsantwort&nbsp;  $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; berücksichtigt den Einfluss von&nbsp; $\alpha_1$,&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; und&nbsp; $\beta_2$&nbsp; und damit alle Terme, die zu Verzerrungen führen. 
*Dagegen führt&nbsp; $\alpha_0$&nbsp; nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung und&nbsp; $\beta_1$&nbsp; lediglich zu einer für alle Frequenzen konstanten Laufzeit.
*Der Lösungsvorschlag 2 trifft dagegen nicht zu: &nbsp;  Zunächst&nbsp; (bei kleinen&nbsp; $t$&ndash;Werten)&nbsp; ist&nbsp; $h_1(t ) \star h_2(t )$&nbsp; kleiner als&nbsp; $h_2(t )$. Bei großen&nbsp; $t$&ndash;Werten liegt dann die blaue Kurve oberhalb der roten. 
*Das bedeutet: &nbsp; $\alpha_1$&nbsp; und damit auch&nbsp; $h_1(t )$&nbsp; bewirken tatsächlich zusätzliche Verzerrungen,&nbsp; auch wenn diese nicht sehr ins Gewicht fallen.
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^4.3 Kupfer–Doppelader^]]