Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Binäre Entropiefunktion


{{quiz-Header|Buchseite=Informationstheorie/Gedächtnislose Nachrichtenquellen
}}

[[Datei:P_ID2234__Inf_Z_1_1.png|right|frame|Binäre Entropiefunktion <br>in &bdquo;bit&rdquo; und &bdquo;nat&rdquo;]]
Wir betrachten eine Folge von binären Zufallsgrößen mit dem Symbolvorrat&nbsp; $\{ \rm A, \ B \}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $M = 2$.&nbsp; Die Auftrittswahrscheinlichkeiten der beiden Symbole seien&nbsp; $p_{\rm A }= p$ &nbsp;und&nbsp; $p_{\rm B } = 1 - p$.

Die einzelnen Folgenelemente sind statistisch unabhängig.&nbsp; Für die Entropie dieser Nachrichtenquelle gilt gleichermaßen:
:$$H_{\rm bin}(p) \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm}  p \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p}\hspace{0.15cm}{\rm in \hspace{0.15cm} \big [bit \big  ]}\hspace{0.05cm},$$
:$$ H'_{\rm bin}(p) \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm}  p \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p}\hspace{0.15cm}{\rm in \hspace{0.15cm} \big [nat\big ]}\hspace{0.05cm}.$$
In diesen Gleichungen werden als Kurzbezeichnungen verwendet:

* der <i>natürliche</i>&nbsp; Logarithmus &nbsp; &rArr; &nbsp; $ {\ln} \hspace{0.09cm} p = \log_{\rm e} \hspace{0.05cm} p$,
* der Logarithmus <i>dualis</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm ld} \hspace{0.09cm} p = \log_2 \hspace{0.05cm} p$.


Die Grafik zeigt die binäre Entropiefunktion in Abhängigkeit des Parameters&nbsp; $p$, wobei&nbsp; $0 ≤ p ≤ 1$&nbsp; vorausgesetzt wird.

In den Teilaufgaben&nbsp; '''(5)'''&nbsp; und&nbsp; '''(6)'''&nbsp; soll der relative Fehler ermittelt werden, wenn die Symbolwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp; per Simulation&nbsp; $($also als relative Häufigkeit&nbsp; $h)$&nbsp; ermittelt wurde und sich dabei fälschlicherweise &nbsp;$h = 0.9 \cdot p$&nbsp; ergeben hat.&nbsp; Der relative Fehler ist dann wie folgt gegeben:
:$$\varepsilon_{H} = \frac{H_{\rm bin}(h)- H_{\rm bin}(p)}{H_{\rm bin}(p)}\hspace{0.05cm}.$$






''Hinweis:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Gedächtnislose_Nachrichtenquellen|Gedächtnislose Nachrichtenquellen]].
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie hängen&nbsp; $H_{\rm bin}(p)$&nbsp; mit der Einheit &bdquo;bit&rdquo; und&nbsp; $H'_{\rm bin}(p)$&nbsp; mit der Einheit &bdquo;nat&rdquo; zusammen?
|type="[]"}
+ $H_{\rm bin}(p)$&nbsp; und&nbsp; $H'_{\rm bin}(p)$&nbsp; unterscheiden sich um einen Faktor.
- Es gilt&nbsp; $H'_{\rm bin}(p) = H_{\rm bin}(\ln \ p)$.
- Es gilt&nbsp; $H'_{\rm bin}(p) = 1 + H_{\rm bin}(2 p)$.


{Zeigen Sie, dass sich das Maximum der binären Entropiefunktion für&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; ergibt.&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $H_\text{bin}(p = 0.5)$?
|type="{}"}
$H_\text{bin}(p = 0.5) \ = \ $  { 1 } $\ \rm bit$


{Berechnen Sie den binären Entropiewert für&nbsp; $p = 0.05$.
|type="{}"}
$H_\text{bin}(p = 0.05) \ =  \ $ { 0.286 3% } $\ \rm bit$


{Geben Sie den größeren der beiden&nbsp; $p$&ndash;Werte ein, die sich aus der Gleichung&nbsp; $H_\text{bin}(p)= 0.5 \ \rm bit$&nbsp; ergeben.
|type="{}"}
$p \ =  \ $ { 0.89 3% }


{Durch unzureichende Simulation wurde&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; um&nbsp; $10\%$ zu niedrig ermittelt.&nbsp; Wie groß ist der prozentuale Fehler hinsichtlich der Entropie?
|type="{}"}
$p = 0.45\ \ {\rm statt}\ \ p=0.5\hspace{-0.1cm}:\ \ \varepsilon_H \ =  \ $ { -0.72--0.68 } $\ \rm \%$


{Durch unzureichende Simulation wurde&nbsp; $p = 0.05$&nbsp; um&nbsp; $10\%$&nbsp; zu niedrig ermittelt.&nbsp; Wie groß ist hier der prozentuale Fehler hinsichtlich der Entropie?
|type="{}"}
$p = 0.045\ \ {\rm statt}\ \ p=0.05\hspace{-0.1cm}:\ \ \varepsilon_H \ =  \ $ { -7.44--7.16 } $\ \rm \%$


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Die beiden weiteren Vorgaben machen keinen Sinn.
*Die Entropiefunktion $H'_{\rm bin}(p)$ lautet entsprechend der Angabe:
:$$H'_{\rm bin}(p) \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm}  p \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \cdot \left [ p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm}} + (1-p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p}\right ]$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} H'_{\rm bin}(p) \hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm} nat)}=
 {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \cdot H_{\rm bin}(p) \hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm} bit)} = 0.693\cdot H_{\rm bin}(p)\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Die Optimierungsbedingung lautet ${\rm d}H_{\rm bin}(p)/{\rm d}p = 0$ bzw.
:$$\frac{{\rm d}H'_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p} \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{\rm d}{{\rm d}p}
   \big [ - p \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}p - (1-p) \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}({1-p})\big ] \stackrel{!}{=} 0$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} 
 - {\rm ln}\hspace{0.1cm}p - p \cdot \frac {1}{p}+ {\rm ln}\hspace{0.1cm}(1-p) + (1-p)\cdot \frac {1}{1- p}\stackrel{!}{=} 0$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln}\hspace{0.1cm}\frac {1-p}{p}= 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac {1-p}{p}= 1
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline { p = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
Die Entropiewerte für $p = 0.5$ lauten somit:
:$$H'_{\rm bin}(p = 0.5) \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm}  -2 \cdot 0.5 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}0.5 = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 = 0.693 \, {\rm nat}\hspace{0.05cm},$$
:$$  H_{\rm bin}(p = 0.5) \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm}  -2 \cdot 0.5 \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}0.5 = {\rm log_2}\hspace{0.1cm}2 \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \, {\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Für $p = 5\%$ erhält man:
:$$H_{\rm bin}(p = 0.05) \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm}  0.05 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.05}+ 0.95 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.95}=  \frac{1}{0.693} \cdot \big [ 0.05 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}20+ 0.95 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}1.053\big ]
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.286 \, {\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Diese Teilaufgabe lässt sich nicht in geschlossener Form lösen, sondern durch &bdquo;Probieren&rdquo;. Eine Lösung liefert das Ergebnis:
:$$H_{\rm bin}(p = 0.10) = 0.469 \, {\rm bit}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}H_{\rm bin}(p = 0.12) = 0.529 \, {\rm bit}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 H_{\rm bin}(p = 0.11) \approx 0.5 \, {\rm bit} \hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_1 \approx 0.11\hspace{0.05cm}. $$
Die zweite (gesuchte) Lösung ergibt sich aus der Symmetrie von  $H_{\rm bin}(p)$ zu &nbsp;$p_2 = 1 -p_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.89}$.


'''(5)'''&nbsp; Mit $p = 0.45$ erhält man $H_{\rm bin}(p) = 0.993\hspace{0.05cm}\rm  bit$. Der relative Fehler bezüglich Entropie ist somit
:$$\varepsilon_{H} = \frac{H_{\rm bin}(p = 0.45)- H_{\rm bin}(p= 0.5)}{H_{\rm bin}(p = 0.5)}= \frac{0.993- 1}{1}\hspace{0.15cm}\underline {= -0.7 \, {\rm \%}}
\hspace{0.05cm}.$$
Das Minuszeichen deutet darauf hin, dass der Entropiewert $H_{\rm bin}(p) = 0.993\hspace{0.05cm}\rm  bit$ zu klein ist. Hätte die Simulation den zu großen Wert $p = 0.55$ ergeben, so wäre die Entropie und auch der relative Fehler genau so groß.


'''(6)'''&nbsp; Es gilt $H_{\rm bin}(p = 0.045) = 0.265\hspace{0.05cm}\rm  bit$. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) &nbsp; &#8658; &nbsp; $H_{\rm bin}(p = 0.05) = 0.286\hspace{0.05cm}\rm  bit$folgt daraus für den relativen Fehler bezüglich der Entropie:
:$$\varepsilon_{H} = \frac{H_{\rm bin}(p = 0.045)- H_{\rm bin}(p= 0.05)}{H_{\rm bin}(p = 0.05)}= \frac{0.265- 0.286}{0.286}\hspace{0.15cm}\underline {= -7.3 \, {\rm \%}}
\hspace{0.05cm}.$$
Das Ergebnis zeigt: 
*Eine falsche Bestimmung der Symbolwahrscheinlichkeiten um $10\%$ macht sich für $p = 0.05$ aufgrund des steileren $H_{\rm bin}(p)$&ndash;Verlaufs deutlich stärker bemerkbar als für $p = 0.5$. 
*Eine zu große Wahrscheinlichkeit $p = 0.055$ hätte zu $H_{\rm bin}(p = 0.055) = 0.307\hspace{0.05cm}\rm  bit$ geführt und damit zu einer Verfälschung um $\varepsilon_H = +7.3\%$. In diesem Bereich verläuft die Entropiekurve also (mit guter Näherung) linear.
{{ML-Fuß}}



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