Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.3: Systemvergleich beim AWGN–Kanal


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[[Datei:P_ID960__Mod_A_1_3.png|right|frame|Systemvergleich beim AWGN–Kanal]]
Für den Vergleich verschiedener Modulationsverfahren und Demodulatoren hinsichtlich der Rauschempfindlichkeit gehen wir meist vom so genannten &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]]&nbsp; aus und beschreiben folgendes doppelt–logarithmische Diagramm:
*Die Ordinate gibt den Sinken–Störabstand (SNR logarithmiert) &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; in dB an.
*Auf der Abszisse ist &nbsp;$10 · \lg ξ$&nbsp; aufgetragen; für die normierte Leistungskenngröße gilt:
:$$ \xi = \frac{P_{\rm S} \cdot \alpha_{\rm K}^2 }{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}\hspace{0.05cm}.$$
*In &nbsp;$ξ$&nbsp; sind also die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$, der Kanaldämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm K}$, die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; sowie die Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; des Nachrichtensignals in geeigneter Weise zusammengefasst.
* Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist, soll in der Aufgabe von folgenden Werten ausgegangen werden:
:$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm
K} = 0.001\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {N_0} =
10^{-10}\;{\rm W}/{\rm Hz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik sind zwei Systeme eingezeichnet, deren&nbsp; $(x, y)$–Verlauf wie folgt beschrieben werden kann:
*Das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; ist gekennzeichnet durch die folgende Gleichung:
:$$y = x+1.$$
*Entsprechend gilt für das &nbsp;$\text{System B}$:
:$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right)\hspace{0.05cm}.$$
Die in der Grafik zusätzlich grün eingezeichneten Achsenbeschriftungen haben folgende Bedeutung:
:$$ x = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}y = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
So steht &nbsp;$x = 4$&nbsp; für &nbsp;$10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$&nbsp; bzw. &nbsp;$ξ = 10^4$&nbsp; und &nbsp;$y = 5$&nbsp; steht für &nbsp;$10 · \lg ρ_v= 50\text{ dB}$&nbsp;, also &nbsp;$ρ_v = 10^5$.









''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Untersuchungen beim AWGN-Kanal]].
*Durch die Angabe der Leistungen in &nbsp;$\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand &nbsp;$R$.
 

 
===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welcher Sinken–Störabstand (in dB) ergibt sich bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; mit &nbsp;$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}$, &nbsp; $\alpha_{\rm
K} = 0.001$, &nbsp; $N_0 = 10^{-10}\;{\rm W}/{\rm Hz}$, &nbsp; $B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}$?
|type="{}"}
$10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{dB}$

{Es wird nun &nbsp;$10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v ≥ 60\text{ dB}$&nbsp; gefordert.&nbsp; Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?
|type="[]"}
- Erhöhung der Sendeleistung von &nbsp;$P_{\rm S}= 5\text{ kW}$&nbsp; auf $10\text{ kW}$&nbsp;.
+ Erhöhung des Kanalübertragungsfaktors von &nbsp;$α_{\rm K} = 0.001$&nbsp; auf &nbsp;$0.004$.
+ Reduzierung der Rauschleistungsdichte auf &nbsp;$N_0=10^{–11 }\text{ W/Hz}$.
- Erhöhung der NF–Bandbreite von &nbsp;$B_{\rm NF}= 5\text{ kHz}$&nbsp; auf &nbsp;$\text{ kHz}$.

{Welcher Störabstand ergibt sich bei &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; mit &nbsp;$10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$?
|type="{}"}
$10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 57 3% } $\ \text{dB}$

{Gefordert wird der Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50\text{ dB}$.&nbsp; Welche Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$ genügt bei &nbsp;$\text{System B}$, um diese Qualität zu erzielen?
|type="{}"}
$P_{\rm S} \ = \ $ { 0.3 3% } $\ \text{ kW }$

{Für welchen Wert von &nbsp;$10 · \lg ξ$&nbsp; ist die Verbesserung von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; gegenüber &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; am größten?
|type="{}"}
$10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ \ = \ ${ 27.9 3% } $\ \text{dB}$


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu
:$$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$
Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$ führt.



'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>:

Diese Forderung  entspricht gegenüber dem bisher betrachteten System einer Erhöhung des Störabstandes um $10$ dB, so dass auch $10 ·  \lg \hspace{0.05cm}ξ$ um $10$ dB erhöht werden muss:
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 50\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \xi=10^5 \hspace{0.05cm}.$$

Ein $10$–fach größerer $ξ$–Wert wird erreicht – vorausgesetzt die anderen Parameter bleiben jeweils gleich:
*durch die Sendeleistung $P_{\rm S} = 50$ kW statt $5$ kW,
*durch den Dämpfungsfaktor $α_{\rm K} = 0.00316$ anstelle von $0.001$,
*durch die Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{ –11 }$ W/Hz statt $10^{ –10 }$ W/Hz,
*durch die Bandbreite $B_{\rm NF} = 0.5$ kHz statt $5$ kHz.



'''(3)'''&nbsp; Für $10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ = 40$ dB ist die Hilfsgröße $x = 4$. Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:
:$$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$
Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; um $7$ dB.



'''(4)'''&nbsp; Diese Problemstellung wird durch folgende Gleichung beschrieben:
:$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) = 5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-x+1} ={1}/{6}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \approx 2.79 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 27.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
Bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; war hierfür $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_{\rm S} = 5$ kW erreicht wurde. Nun kann die Sendeleistung um etwa $12.1$ dB verringert werden:
:$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}}= -12.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}} = 10^{-1.21}\approx 0.06\hspace{0.05cm}.$$
Das bedeutet: Bei &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; wird mit nur 6% der Sendeleistung von &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; – also mit nur $P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.3 \ \rm kW}$ – die gleiche Systemqualität erzielt.



'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit ''V'' (steht für Verbesserung) den größeren Sinken–Störabstand von  &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; gegenüber  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;:
:$$V  =  10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;B)} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;A)}
 =  \left[6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) -x -1 \right] \cdot 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige $x$–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt:
:$$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} = 6 \cdot {\rm e}^{-x+1} -1\Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = \hspace{0.15cm}\underline {27.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Es ergibt sich also genau der in der Teilaufgabe '''(4)''' behandelte Fall mit $10 · \lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; nur $37.9$ dB beträgt. Die Verbesserung ist demnach $12.1$ dB.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^1.2 Qualitätskriterien^]]