Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.13: Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM)


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Weitere AM–Varianten
}}

[[Datei:P_ID1055__Mod_A_2_11.png|right|frame|Betrachtetes Modell der&nbsp; $\rm QAM$]]
Die durch die Grafik erklärte ''Quadratur–Amplitudenmodulation''&nbsp; $\rm (QAM)$&nbsp; erlaubt unter gewissen Randbedingungen, die in dieser Aufgabe herausgefunden werden sollen, die gleichzeitige Übertragung von zwei Quellensignalen &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; über den gleichen Kanal. 

In dieser Aufgabe gelte mit &nbsp;$A_1 = A_2 = 2\ \rm  V$:
:$$q_1(t)  = A_1 \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm 1} \cdot t),$$
:$$q_2(t)  =  A_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_{\rm 2} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Die vier in der Grafik eingezeichneten Trägersignale lauten mit &nbsp;$ω_{\rm T} = 2π · 25\ \rm kHz$:
:$$z_1(t)  =  \cos(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
:$$ z_2(t)  =  \sin(\omega_{\rm T} \cdot t),$$
:$$ z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t) =  2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}),$$
:$$ z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)  =  2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Die beiden Tiefpässe&nbsp; $\rm TP_1$&nbsp; und&nbsp; $\rm TP_2$&nbsp; mit den Eingangssignalen &nbsp;$b_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$b_2(t)$&nbsp; entfernen jeweils alle Frequenzanteile &nbsp;$|f| > f_{\rm T}$.







''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten|Weitere AM–Varianten]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die  Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Quadratur.E2.80.93Amplitudenmodulation_.28QAM.29|Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM)]].
 
*Anzumerken ist, dass hier die Trägersignale &nbsp;$z_2(t)$&nbsp; und &nbsp;$z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$&nbsp; mit positivem Vorzeichen angesetzt wurden. 
*Oft – so auch im Theorieteil – werden diese Trägersignale als „Minus–Sinus” angegeben.
*Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
:$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)  = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
:$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)  = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
:$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)  =  1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; für den Fall &nbsp;$f_1 ≠ f_2$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
|type="()"}
- $s(t)$&nbsp; besteht aus zwei Cosinus– und zwei Sinusschwingungen.
+ $s(t)$&nbsp; setzt sich aus vier Cosinusschwingungen zusammen.
- $s(t)$&nbsp; setzt sich aus vier Sinusschwingungen zusammen.

{Wie lautet &nbsp;$s(t)$&nbsp; für &nbsp;$f_1 = f_2 = 5 \ \rm kHz$.&nbsp; Welcher Signalwert tritt bei &nbsp;$t = 50 \ \rm &micro; s$&nbsp; auf?
|type="{}"}
$s(t = 50 \ \rm &micro; s) \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V$ 

{Berechnen Sie für &nbsp;$f_1 = f_2$&nbsp; und &nbsp;$Δϕ_{\rm T} = 0$&nbsp; (kein Phasenversatz) die Sinkensignale &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_2(t)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
|type="()"}
+ Es gilt&nbsp; $v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_2(t) = q_2(t)$.
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

{Berechnen Sie  die Sinkensignale&nbsp; $v_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $v_2(t)$&nbsp; für&nbsp; $f_1 = f_2$&nbsp; und den  Phasenversatz&nbsp; $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
|type="()"}
- Es gilt &nbsp;$v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_2(t) = q_2(t)$.
+ Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
- Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

{Welche der folgenden Aussagen treffen für &nbsp;$f_1 ≠ f_2$&nbsp; und &nbsp;$Δϕ_{\rm T} ≠ 0$&nbsp;  (beliebiger Phasenversatz) zu?
|type="[]"}
- Es gilt &nbsp;$v_1(t) = q_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_2(t) = q_2(t)$.
- Es ergeben sich lineare Verzerrungen.
+ Es ergeben sich nichtlineare Verzerrungen.

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit den angegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man:
:$$s(t)  =  A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)\cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + A_2 \cdot \sin(\omega_{\rm 2} \cdot t)\cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) $$ 
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm}s(t)   =  \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 1})\cdot t) + \frac{A_1}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 1})\cdot t) + 
  \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 2})\cdot t) - \frac{A_2}{2}\cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 2})\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist demnach der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.


'''(2)'''&nbsp; Mit $A_1 = A_2 = 2 \ \rm V$ und $f_1 = f_2 = 5\ \rm  kHz$ überlagern sich die erste und die dritte Cosinusschwingungen konstruktiv und die beiden anderen heben sich vollständig auf. Es ergibt sich somit das folgende einfache Ergebnis:
:$$ s(t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t = 50\,{\rm \mu s}) \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
*Bei phasensynchroner Demodulation ($Δϕ_T = 0$) erhält man für die Signale vor den Tiefpässen mit $r(t) = s(t)$ gemäß der Teilaufgabe '''(2)''':
:$$b_1(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 45} \cdot t),$$
:$$ b_2(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t) = 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t) + 2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 45} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Nach Eliminierung der jeweiligen $45\ \rm  kHz$–Anteile ergibt sich somit $v_1(t) = q_1(t)$ und $v_2(t) = q_2(t)$.


'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(3)''' gilt nun:
:$$ b_1(t)  =  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=
  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )},$$
:$$b_2(t)=  2\,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm 20} \cdot t)\cdot 2 \cdot \sin(\omega_{\rm 25} \cdot t+ \Delta \phi_{\rm T})=
  2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 5} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) + {(45 \,\rm kHz-Anteil )}\hspace{0.05cm}.$$
*Die Sinkensignale $v_1(t)$ und $v_2(t)$ weisen bei dieser Konstellation gegenüber $q_1(t)$ und $q_2(t)$ Laufzeiten und damit Phasenverzerrungen auf. 
*Diese gehören zur Klasse der linearen Verzerrungen &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 2</u>.


'''(5)'''&nbsp; Allgemein gilt für das Empfangssignal:
:$$r(t) = s(t) = q_1(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) + q_2(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Die Multiplikation mit den empfängerseitigen Trägersignalen $z_{1,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und $z_{2,\hspace{0.05cm}{\rm E}}(t)$ und die Bandbegrenzung führt zu den Sinkensignalen
:$$v_1(t)  =  \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) - \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t),$$
:$$ v_2(t)  =  \sin(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_1(t) + \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q_2(t) \hspace{0.05cm}.$$
Daraus ist zu ersehen: 
*Bei einem Phasenversatz von $Δϕ_{\rm T}  = 30^\circ$ beinhaltet das Sinkensignal $v_1(t)$ nicht nur das um $\cos(30^\circ) = 0.866$ gedämpfte Signal $q_1(t)$, sondern auch die in $q_2(t)$ enthaltene Frequenz $f_2$. 
*Diese ist mit dem Faktor $\sin(30^\circ) = 0.5$ gewichtet. 
*Es liegen somit nichtlineare Verzerrungen vor  &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 3</u>.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.5 Weitere AM–Varianten^]]