Quelltext der Seite Modulationsverfahren/Frequenzmodulation (FM)

 
{{Header
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}}
==Augenblicksfrequenz==
<br>
Wir gehen wieder von einem winkelmodulierten Signal aus: 
:$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos \big[\psi(t)\big].$$
Alle Informationen über das Quellensignal &nbsp;$q(t)$ 
*sind damit ausschließlich in der Winkelfunktion &nbsp;$ψ(t)$&nbsp; enthalten, 
*während die Hüllkurve &nbsp;$a(t) = A_{\rm T}$&nbsp; konstant ist. 


{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$&nbsp; 
*Die&nbsp; '''Augenblickskreisfrequenz'''&nbsp; ist die Ableitung der Winkelfunktion nach der Zeit:
:$$\omega_{\rm A}(t) = \frac{ {\rm d}\psi(t)}{ {\rm d}t}\hspace{0.05cm}.$$
*Entsprechend gilt für die&nbsp; '''Augenblicksfrequenz''': 
:$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{ {\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{ {\rm d}t}\hspace{0.05cm}.$$
*Der&nbsp; '''Frequenzhub'''&nbsp; ist die maximale Abweichung &nbsp;$Δf_{\rm A}$&nbsp; der zeitabhängigen Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; von der konstanten Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$. }}


Bei einer Winkelmodulation mit der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; schwankt die Augenblicksfrequenz im Bereich 
:$$f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \le f_{\rm A}(t) \le f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}\hspace{0.05cm}.$$

Hervorzuheben ist, dass ein grundsätzlicher Unterschied zwischen der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; und dem mit einem Spektrum–Analyzer messbaren Spektrum &nbsp;$S(f)$&nbsp; eines winkelmodulierten Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; besteht, wie das nachfolgende Beispiel verdeutlichen soll. 

[[Datei:P_ID1101__Mod_T_3_2_S1_neu.png |right|frame| Zur Verdeutlichung der Augenblicksfrequenz]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das phasenmodulierte Signal 
:$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\psi(t)\big] = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi  f_{\rm T}  \hspace{0.05cm}t + \eta \cdot \sin (2 \pi f_{\rm N} \hspace{0.05cm} t)\big]$$

sowie unten die Augenblicksfrequenz
:$$f_{\rm A}(t) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{ {\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{ {\rm d}t} = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}\cdot \cos (2 \pi  f_{\rm N} \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.05cm}.$$

Die Systemparameter sind dabei 
*&nbsp;$f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$, 
*&nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$,&nbsp; 
*&nbsp;$η = 3$. 

Daraus ergibt sich der Frequenzhub zu 
*&nbsp;$Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N} = 15 \ \rm  kHz$. 


In der Mitte ist zur Orientierung der qualitative Verlauf des sinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; skizziert. 
<br clear=all>
Man erkennt aus diesen Grafiken: 
*Die Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; kann alle beliebigen Werte zwischen &nbsp;$f_{\rm T} + Δf_{\rm A} = 65 \ \rm kHz$&nbsp; $($bei &nbsp;$t = 50\ \rm  &micro; s,\ 250 \ &micro; s$, usw.$)$ und &nbsp;$f_{\rm T} \ – Δf_{\rm A} = 35 \ \rm kHz$&nbsp; $($bei&nbsp; $t = 150\ \rm  &micro; s, \ 350 \ &micro; s$, usw.$)$ annehmen&nbsp; (siehe grüne Markierungen). 
*Zur Zeit &nbsp;$t ≈ 16.7 \ \rm &micro; s$&nbsp; gilt beispielsweise &nbsp;$f_{\rm A}(t) = 57.5 \ \rm  kHz$&nbsp; (violetter Pfeil). 
*Dagegen besteht die Spektralfunktion &nbsp;$S(f)$&nbsp; aus diskreten Bessellinien bei den Frequenzen ... , $30,\ 35,\ 40,\ 45,\ \mathbf{50},\ 55,\ 60,\ 65,\ 70$, ...&nbsp; $($jeweils in &nbsp;$\rm kHz)$. 
*Eine Spektrallinie bei &nbsp;$f = 57.5 \ \rm  kHz$&nbsp; gibt es nicht im Gegensatz zu einer Spektrallinie bei &nbsp;$f = 70 \ \rm   kHz$.&nbsp; 
*Dagegen gilt zu keinem Zeitpunkt &nbsp;$f_{\rm A}(t) = 70 \ \rm  kHz$. 


$\text{Ergo:}$&nbsp; 

Die Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; ist also keine physikalisch messbare Frequenz im herkömmlichen Sinne, sondern nur eine fiktive, mathematische Größe, nämlich die Ableitung der Winkelfunktion &nbsp;$ψ(t)$.}} 

==Signalverläufe bei Frequenzmodulation==
<br>
Wie im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; gehen wir weiterhin davon aus, dass das Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; cosinusförmig verläuft und das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; spitzenwertbegrenzt ist.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definition:}$&nbsp; Ist bei einem Übertragungssystem die Augenblickskreisfrequenz &nbsp;$ω_{\rm A}(t)$&nbsp; linear abhängig vom Momentanwert des Quellensignals &nbsp;$q(t)$, so spricht man von&nbsp; '''Frequenzmodulation'''&nbsp; $\rm (FM)$: 
:$$\omega_{\rm A}(t) = 2 \pi \cdot f_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)
\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; eine dimensionsbehaftete Konstante. Beschreibt &nbsp;$q(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so hat &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^{–1}s^{–1}$. }}


Für die Winkelfunktion&nbsp; $\psi(t)$&nbsp; und das modulierte Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; erhält man bei der Frequenzmodulation: 
:$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \big[\psi(t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

Aus dieser Gleichung lässt sich sofort ablesen: 
*Auch bei der Frequenzmodulation bewegt sich das äquivalente Tiefpass–Signal wegen der konstanten Hüllkurve  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $a(t) = A_{\rm T}$&nbsp; auf einem Kreisbogen. 
*Ein Frequenzmodulator kann mit Hilfe eines Integrators und eines Phasenmodulators realisiert werden.&nbsp; Der FM–Demodulator besteht demzufolge aus PM–Demodulator und Differenzierer, wie im oberen Teil der folgenden Grafik dargestellt ist. 

[[Datei:P_ID1093__Mod_T_3_2_S2_neu.png |right|frame|Zusammenhang zwischen Phasen&ndash; und Frequenzmodulation]]
<br><br><br><br><br><br><br>
Die untere Grafik zeigt den umgekehrten Zusammenhang &nbsp; &rArr; &nbsp; die mögliche Beschreibung von PM–Modulator und –Demodulator durch die entsprechenden FM–Komponenten. 
<br clear=all>
Man erkennt aus der oben angegebenen Gleichung auch, dass die auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Eine_sehr_einfache.2C_leider_nicht_ganz_richtige_Modulatorgleichung|Eine sehr einfache, leider nicht ganz richtige Modulatorgleichung]]&nbsp; im ersten Kapitel dieses Buches angegebene Gleichung im Fall der Frequenzmodulation nur in Sonderfällen gültig sein wird. 

Bei Frequenzmodulation ist die Umwandlung 
:$$s(t) = a(t) \cdot \cos (\omega (t) \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega (t) \cdot t + \phi_{\rm T})$$
nur manchmal erlaubt, zum Beispiel beim nichtlinearen digitalen Modulationsverfahren &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#FSK_.E2.80.93_Frequency_Shift_Keying|&bdquo;Frequency Shift Keying&rdquo;]]&nbsp; $\rm (FSK)$&nbsp; mit rechteckförmigem Grundimpuls. 

==Frequenzmodulation eines Cosinussignals==
<br>
Bei cosinusförmigem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und Frequenzmodulation gilt für die Augenblickskreisfrequenz:
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Integriert man diese über die Zeit, so erhält man die Winkelfunktion:
:$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \frac {K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Ein Vergleich mit den Aussagen im Kapitel &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp;  macht deutlich: 
*Die Frequenzmodulation eines Cosinussignals ergibt qualitativ das gleiche Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; wie die Phasenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals &nbsp;$q(t)$. 
*Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass die Modulatorkonstanten entsprechend dem Verhältnis &nbsp;$K_{\rm FM}/K_{\rm PM} = ω_{\rm N}$&nbsp; aneinander angepasst sind. 
*Das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; lässt sich somit bei den beiden Konstellationen „PM – Sinussignal” sowie „FM – Cosinussignal” einheitlich beschreiben:
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t)\big] \hspace{0.05cm}.$$
*Allerdings sind bei Anwendung dieser Gleichung für den Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; bei Phasen– und Frequenzmodulation unterschiedliche Gleichungen zu verwenden: 
:$$\eta_{\rm PM} = {K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}},$$
:$$\eta_{\rm FM} = \frac {K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
*Ist das Quellensignal keine harmonische Schwingung, sondern setzt sich aus mehreren Frequenzen zusammen, so unterscheiden sich die Zeitsignale bei Phasen&ndash; und Frequenzmodulation auch qualitativ.&nbsp; Dies erkennt man beispielsweise beim &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Modulierte_Signale_bei_digitalem_Quellensignal|früheren Vergleich von PSK und FSK]]. 


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; 
Wir gehen nun von einem cosinusförmigen Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 3 \ \rm V$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$&nbsp; aus und betrachten die Signalverläufe von Phasenmodulation&nbsp; $\rm (PM)$&nbsp; und Frequenzmodulation&nbsp; $\rm (FM)$&nbsp; bei gleichem Modulationsindex &nbsp;$η = 1.5$. 

[[Datei:P_ID1094__Mod_T_3_2_S3_neu.png|right|frame|$\rm (PM)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (FM)$&nbsp; eines Cosinussignals mit &nbsp;$η = 1.5$]]

Die&nbsp; <u>mittlere Grafik</u>&nbsp; zeigt das phasenmodulierte Signal (rote Kurve) für die Modulatorparameter &nbsp;$f_{\rm T} = 50  \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 0.5 V^{–1}$: 
:$$s_{\rm PM}(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)\big ] \hspace{0.05cm}.$$

*Bei Phasenmodulation ergibt sich mit &nbsp;$A_{\rm N} = 3 \ \rm V$&nbsp; für den Phasenhub (Modulationsindex)  &nbsp;$η = 1.5 ≈ π/2$. 
*Die maximale Abweichung der Nulldurchgänge von ihren (äquidistanten) Solllagen beträgt somit etwa ein Viertel der Trägerperiode. 
*Ist das Quellensignal &nbsp;$q(t) > 0$, so kommen die Nulldurchgänge verfrüht, bei &nbsp;$q(t) < 0$&nbsp; verspätet. 


Die&nbsp; <u> untere Grafik</u>&nbsp; zeigt das frequenzmodulierte Signal mit gleichem Modulationsindex &nbsp;$η$:
:$$s_{\rm FM}(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t)\big ] \hspace{0.05cm}.$$ 

Erreicht wird in diesem Fall &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; durch die Modulatorkonstante
:$$K_{\rm FM} = \frac {\eta \cdot \omega_{\rm N} }{A_{\rm N} } = {K_{\rm PM} \cdot \omega_{\rm N} } $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} =  0.5\,{\rm V}^{-1} \cdot 2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} = 15708\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1} \hspace{0.05cm}.$$

*Der Frequenzhub beträgt hier &nbsp;$Δf_{\rm A} = η · f_{\rm N} = 7.5 \ \rm  kHz$, und es treten Augenblicksfrequenzen zwischen &nbsp;$f_{\rm T}-Δf_{\rm A} = 42.5$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm T}+Δf_{\rm A} =57.5 \ \rm kHz$&nbsp; auf. 
*Die Nulldurchgänge stimmen nun bei den Maxima und den Minima des Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit denen des Trägersignals &nbsp;$z(t)$&nbsp; überein, während die maximalen Phasenabweichungen bei den Nulldurchgängen von &nbsp;$q(t)$&nbsp; zu erkennen sind.&nbsp; Dies ist genau umgekehrt wie bei der Phasenmodulation. }}


==WM–Spektrum einer harmonischen Schwingung==
<br>
Nun setzen wir für das Quellensignal allgemein eine harmonische Schwingung mit der Phase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; voraus: 
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}\big ].$$
Uns interessiert die Spektralfunktion &nbsp;$S(f)$. Zur einfacheren Darstellung betrachten wir im Folgenden das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; des analytischen Signals, aus dem &nbsp;$|S(f)|$&nbsp; in der bekannten Weise hergeleitet werden kann. Für jede Art von Winkelmodulation in der hier beschriebenen Weise – egal, ob Phasen– oder Frequenzmodulation – und auch unabhängig von der Phase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; des Quellensignals gilt: 
:$$|S_{\rm +}(f)| = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}|{\rm J}_n (\eta)| \cdot \delta \big[f -  (f_{\rm T} + n \cdot f_{\rm N})\big]\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung lässt sich wie folgt begründen: 
*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes TP-Signal bei PM]]&nbsp; wurde diese Gleichung für ein phasenmoduliertes Sinussignal abgeleitet, wobei &nbsp;$η = A_{\rm N} · K_{\rm PM}$&nbsp; den Modulationsindex angibt und &nbsp;${\rm J}_n(η)$&nbsp; die Besselfunkton erster Art und $n$–ter Ordnung bezeichnet. $K_{\rm PM}$&nbsp; ist die Modulatorkonstante. 
*Durch eine andere Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$&nbsp; ändert sich nur die Phasenfunktion &nbsp;${\rm arc} \ S_+(f)$, nicht aber das Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$. Dieses wichtige Ergebnis wurde auch durch die &nbsp;[[Aufgaben:3.3Z_Kenngrößenbestimmung|Aufgabe 3.3Z]]&nbsp; bestätigt.
*Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|Frequenzmodulation eines Cosinussignals]]&nbsp; wurde gezeigt, dass ein FM–Signal in gleicher Weise wie ein PM–Signal dargestellt werden kann, wenn der Modulationsindex &nbsp;$η = K_{\rm FM} · A_{\rm N}/ω_{\rm N}$&nbsp; verwendet wird. Folgerichtig sind auch die Betragsspektren bei Phasen- und Frequenzmodulation in gleicher Form darstellbar. 


Wir verweisen hier gerne auch auf den zweiten Teil des Lernvideos &nbsp;[[Winkelmodulation_-_Frequenz-_und_Phasenmodulation_(Lernvideo)|Winkelmodulation - Frequenz- und Phasenmodulation]].

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; 
Wir betrachten wieder eine harmonische Schwingung mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N} = 3 \ \rm V$&nbsp; nach 
*einer Phasenmodulation mit &nbsp;$K_{\rm PM} = \rm 0.5 \ \rm  V^{–1}$, 
*einer Frequenzmodulation mit &nbsp;$K_{\rm FM} = \rm 15708 \ \rm V^{–1}s^{–1}$. 


Die zugehörigen Signalverläufe sind im &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Frequenzmodulation_eines_Cosinussignals|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; dargestellt. 
*Bei beiden Systemen ergibt sich für &nbsp;$f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$&nbsp; ein Besselspektrum mit dem Modulationsindex &nbsp;$η = 1.5$. 
*Die identischen Betragsspektren des analytischen Signals (nur positive Frequenzen) sind in der oberen Bildhälfte dargestellt. 
*Bessellinien mit Werten kleiner als &nbsp;$0.03$&nbsp; sind hierbei in beiden Fällen vernachlässigt. 


[[Datei:P_ID1095__Mod_T_3_2_S4_neu.png|center|frame|Diskrete Spektren bei Phasen– und Frequenzmodulation]]

Die unteren Grafiken gelten für die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$. Man erkennt: 
*Bei der Phasenmodulation ergibt sich gegenüber &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; eine schmalere Spektralfunktion, da nun der Abstand der Bessellinien nur mehr &nbsp;$3 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt. Da sich der Modulationsindex &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; nicht ändert, ergeben sich die gleichen Besselgewichte wie bei &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$. 
*Auch bei der Frequenzmodulation treten nun die Bessellinien im Abstand von &nbsp;$3 \ \rm kHz$&nbsp; auf. Es gibt aber nun aufgrund des größeren Modulationsindex &nbsp;$η = 2.5$&nbsp;  deutlich mehr Bessellinien als im rechten oberen (für &nbsp;$η = 1.5$&nbsp; gültigen) Diagramm. 
*Dies folgt aus der Tatsache, dass bei Frequenzmodulation &nbsp;$η$&nbsp; umgekehrt proportional zu &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp;  ist.}}

==Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation==
<br>
Fassen wir einige Resultate dieses Abschnittss kurz zusammen, wobei wir beispielhaft die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$, die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 5  \ \rm kHz$&nbsp; und den Modulationsindex &nbsp;$η = π/2 \approx 1.5$&nbsp; voraussetzen: 

*Das Spektrum einer winkelmodulierten Schwingung besteht aus Bessellinien um den Träger &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; im Abstand &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; der Nachrichtenfrequenz und ist theoretisch unendlich weit ausgedehnt. 

*Selbst wenn man alle Spektrallinien mit Beträgen kleiner als  &nbsp;$0.01$&nbsp; vernachlässigt, beträgt die dann endliche Bandbreite für &nbsp;$η = π/2$&nbsp; noch immer &nbsp;$B_{\rm HF} = 8 · f_{\rm N} = 40  \ \rm kHz$. 

*Die Ortskurve – also der Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals in der komplexen Ebene – ist im Idealfall ein Kreisbogen mit einem Öffnungswinkel von &nbsp;$±1.57 \ {\rm rad} = ±90^\circ$. 

*Dieser Kreisbogen nach der vektoriellen Addition ergibt sich allerdings nur dann, wenn alle Bessellinien in der Ortskurve mit den richtigen Zeigerlängen, Phasenlagen und Kreisfrequenzen rotieren. 

*Logischerweise wird die kreisbogenförmige Ortskurve verändert, wenn Spektrallinien verfälscht werden (z. B. durch lineare Kanalverzerrungen) oder ganz fehlen (z. B. durch eine Bandbegrenzung). 

*Da der ideale Winkeldemodulator die Phase &nbsp;$ϕ_r(t)$&nbsp; des Empfangssignals detektiert und daraus das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; gewinnt, wird dieses verfälscht und zwar sogar nichtlinear. Das heißt: Die Verzerrungen sind irreversibel und können nicht durch ein lineares Filter kompensiert werden. 

*Das bedeutet gleichzeitig: &nbsp; Aufgrund linearer Verzerrungen im Kanal kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen im demodulierten Signal  &nbsp;$v(t)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;   es entstehen dadurch neue Frequenzen (Oberwellen), die im Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nicht enthalten waren. 

*Je kleiner die zur Verfügung stehende Bandbreite &nbsp;$B_{\rm HF}$&nbsp; ist und je größer der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; gewählt wird, desto größer wird der die nichtlinearen Verzerrungen beschreibende Klirrfaktor $K$. 

*Als Faustformel für die erforderliche HF–Bandbreite für einen geforderten Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; gilt nach der so genannten ''Carson–Regel'': 
:$$K < 10\%\text{:} B_{\rm HF}  \ge  2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +1)\hspace{0.05cm},$$
:$$K < 1\%\text{:}\hspace{0.12cm} B_{\rm HF} \ge 2 \cdot f_{\rm N} \cdot(\eta +2)\hspace{0.05cm}.$$

{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir gehen weiterhin von den Systemparametern &nbsp;$f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$, &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$η =  π/2$&nbsp; aus. Die Grafik zeigt für diesen Fall links das Betragsspektrum &nbsp;$ \vert S_{\rm TP}(f) \vert$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals und rechts die zugehörige komplexe Zeitfunktion &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$. 

[[Datei:P_ID1104__Mod_T_3_2_S5_neu.png|right|frame| Einfluss einer Bandbegrenzung bei Winkelmodulation]]
*Um den Klirrfaktor  auf Werte &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; zu begrenzen, ist nach der Carson–Regel die HF–Bandbreite &nbsp;$B_{1 \%} ≈ 36 \ \rm  kHz$&nbsp; erforderlich. 
*In diesem Fall setzt sich das äquivalente Tiefpass–Signal aus der Konstanten &nbsp;$D_0$&nbsp; und je drei entgegen dem Uhrzeigersinn &nbsp;$(D_1, D_2, D_3)$&nbsp; bzw. im Uhrzeigersinn &nbsp;$(D_{-1}, D_{-2}, D_{-3})$&nbsp; drehenden Zeigern zusammen:
:$$\begin{align*}r_{\rm TP}(t) & =  \sum_{n = - 3}^{+3}D_n  \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\end{align*}$$
*Die ockerfarbene Kurve in der Zeitbereichsdarstellung macht deutlich, dass sich das äquivalente Tiefpass-Signal durch diese Bandbegrenzung nur geringfügig vom (verzerrungsfreien) Halbkreis unterscheidet. 
<br clear=all>
Gibt man sich mit einem Klirrfaktor &nbsp;$K < 10\%$&nbsp; zufrieden, so ist die HF–Bandbreite &nbsp;$B_{10 \%} ≈ 26\ \rm  kHz$&nbsp; ausreichend. 
*Damit werden auch die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_3$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$&nbsp; abgeschnitten und die violett dargestellte Ortskurve beschreibt einen Parabelabschnitt. 
*Die Simulation dieses Fallbeispiels liefert den Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ 6\%$. Daran erkennt man, dass die Carson–Regel oft ein etwas zu pessimistisches Ergebnis liefert. }}

==Realisierung eines FM–Modulators==
<br>
Eine Frequenzmodulation erhält man dann, wenn die Schwingfrequenz eines Oszillators im Rhythmus des modulierenden Signals verändert wird. Als frequenzbestimmende Elemente dienen meist RC–Glieder oder Schwingkreise. 

[[Datei:P_ID1097__Mod_T_3_2_S6_neu.png |center|frame| Realisierung eines FM–Modulators und dessen Kennlinie]]

Die linke Grafik zeigt eine schaltungstechnische Realisierungsform; die genaue Schaltungsbeschreibung finden Sie in [Mäu 88]<ref name= "Mäu 88">Mäusl, R.: ''Analoge Modulationsverfahren.''  Heidelberg: Dr. Hüthig, 1988.</ref>.  Rechts ist die idealisierte Frequenz–Spannungskennlinie dargestellt. An dieser Stelle sollen nur einige wenige Anmerkungen gemacht werden: 
*Die anliegende Spannung &nbsp;$u(t)$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; und einem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; zusammen, der den ''Arbeitspunkt'' festlegt. 
*Die Kapazität $C$ der ''Kapazitätsdiode'' ist näherungsweise proportional zu &nbsp;$1/u^{2}(t)$, so dass sich die Schwingfrequenz des LC–Oszillators abhängig von &nbsp;$q(t)$&nbsp; verändert. 
*Bei nur kleiner Frequenzänderung hängen &nbsp;$u(t)$&nbsp; und $f_{\rm A}(t)$ linear zusammen. Damit ist die ''Augenblickskreisfrequenz'' mit der Steigung &nbsp;$K_{\rm FM}$&nbsp; der Modulatorkennlinie:  
:$$\omega_{\rm A}(t) = \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
*Die ''Gegentaktschaltung'' aus den beiden Kapazitätsdioden dient unter Anderem zur Kompensation von Unsymmetrien und damit zur Verminderung der quadratischen Verzerrungen. 
*Legt man am Eingang die Summe aus dem Gleichanteil &nbsp;$A_0$&nbsp; und dem differenzierten Quellensignal – also &nbsp;${\rm d}q(t)/{\rm d}t$&nbsp; – an, so erhält man am Ausgang das frequenzmodulierte Signal &nbsp;$s(t)$. 

==PLL–Realisierung eines FM–Demodulators==
<br>
Die folgende Grafik zeigt eine zweite Realisierungsmöglichkeit des FM–Demodulators. Weitere FM–Demodulatoren – zum Beispiel mittels Flankendiskriminator – werden in [Mäu 88]<ref name="Mäu 88"/> ausführlich behandelt. In Stichpunkten lässt sich diese Schaltung, die als Phasenregelschleife (''Phase–Locked–Loop'', PLL) arbeitet, wie folgt beschreiben: 
*Der Phasendetektor ermittelt die Phasenunterschiede (Abstände der Nulldurchgänge) zwischen dem Empfangssignal &nbsp;$r(t)$&nbsp; und dem vom VCO bereitgestellten Vergleichssignal. 
*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; nach Tiefpass–Filterung und Verstärkung ist dann näherungsweise gleich dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$, wenn dieses sendeseitig FM–moduliert wurde. 
*Das Ausgangssignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; wird gleichzeitig an den Eingang des spannungsgesteuerten Oszillators angelegt. Man bezeichnet diesen auch als ''Voltage Controlled Oscillator,'' abgekürzt VCO. 
*Das Ausgangssignal des VCO wird permanent in der Weise nachgeregelt, dass dessen Frequenz der Augenblicksfrequenz &nbsp;$f_{\rm A}(t)$&nbsp; des Empfangssignals entspricht. 


[[Datei:P_ID1098__Mod_T_3_2_S7_neu.png  |center|frame| PLL – Realisierung eines FM–Demodulators]]

Eine detaillierte Schaltungsbeschreibung des PLL–FM–Demodulators finden Sie ebenfalls in [Mäu 88]<ref name="Mäu 88"/>. 

==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_3.5:_PM_und_FM_bei_Rechtecksignalen|Aufgabe 3.5: PM und FM bei Rechtecksignalen]]

[[Aufgaben:Aufgabe_3.5Z:_Phasenmodulation_eines_Trapezsignals|Aufgabe 3.5Z: Phasenmodulation eines Trapezsignals]]

[[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_PM_oder_FM%3F_Oder_AM%3F|Aufgabe 3.6: PM oder FM? Oder AM?]]

[[Aufgaben:Aufgabe_3.7:_Winkelmodulation_einer_harmonischen_Schwingung|Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung]]

[[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Modulationsindex_und_Bandbreite|Aufgabe 3.8: Modulationsindex und Bandbreite]]

[[Aufgaben:Aufgabe_3.9:_Kreisbogen_und_Parabel|Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel]]


==Quellenverzeichnis==
<br>
<references/>

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