Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.11: Pre-emphase und De-emphase


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation
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[[Datei:P_ID1116__Mod_A_3_10.png|right|frame|Realisierung einer Preemphase]]
Bei der Sprach– und Tonsignalübertragung wird das Signalfrequenzband vor dem FM–Modulator über ein RC–Hochpassglied gemäß der Skizze vorverzerrt. Man bezeichnet diese Maßnahme als &bdquo;Preemphase&rdquo;&nbsp; $\rm (PE)$.

Der Amplitudengang des Preemphase–Netzwerks lautet 
*mit den beiden Grenzfrequenzen &nbsp;$f_{\rm G1} = (2π · R_1 · C)^{–1}$&nbsp; und &nbsp;$f_{\rm G2} = f_{\rm G1}/α_0$, sowie 
*dem Gleichsignalübertragungsfaktor &nbsp;$α_0 = R_2/(R_1 + R_2)$:
:$$ |H_{\rm PE} (f)| = \alpha_0 \cdot \sqrt{\frac{1 + (f/f_{\rm G1})^2}{1 + (f/f_{\rm G2})^2}} \hspace{0.05cm}.$$

Für die Praxis kann man davon ausgehen, dass die maximale Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; sehr viel kleiner als &nbsp;$f_{\rm G2}$&nbsp; ist. 

Berücksichtigt man weiter, dass der Gleichsignalübertragungsfaktor &nbsp;$α_0$&nbsp; durch eine Verstärkung um &nbsp;$α$&nbsp; verändert werden kann, so ist im Weiteren von folgendem Preemphase–Frequenzgang auszugehen &nbsp;$(f_{\rm G} = f_{\rm G1} = 3 \ \rm  kHz)$:
:$$|H_{\rm PE} (f)| \approx \alpha \cdot \sqrt{{1 + \left({f}/{f_{\rm G}}\right)^2}} \hspace{0.05cm}.$$
Mit diesem Netzwerk lautet der Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A}$&nbsp; in Abhängigkeit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$:
:$$ \Delta f_{\rm A} (f_{\rm N}) = \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min} \cdot \sqrt{{1 + \left({f_{\rm N}}/{f_{\rm G}}\right)^2}} \hspace{0.05cm}.$$
*Hierbei ist &nbsp;$Δf_\text{A, min}$&nbsp; der Frequenzhub für sehr kleine Frequenzen &nbsp;$(f_{\rm N} → 0)$. 
*Dieser Parameter ist so zu wählen, dass der maximale Frequenzhub &nbsp;$Δf_\text{A, max}$&nbsp; nicht größer wird als &nbsp;$45 \ \rm kHz$.


Um das Nutzsignal nicht zu verfälschen, muss diese Vorverzerrung durch ein&nbsp;  &bdquo;Deemphase&rdquo;–Netzwerk beim Empfänger wieder ausgeglichen werden.&nbsp; Ziel und Zweck von Preemphase/Deemphase ist es allein, die Abhängigkeit des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses von der Signalfrequenz zu vermindern.

In dieser Aufgabe werden folgende Größen verwendet:
* Sinken–SNR bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation&nbsp;  $\rm (ZSB–AM)$:
:$$\rho_{{\rm AM} } = \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} } = \xi\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{{\rm AM} } = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi \hspace{0.05cm},$$
* Sinken–SNR und Störabstandsgewinn bei Frequenzmodulation&nbsp;  $\rm (FM)$&nbsp; ohne Preemphase/Deemphase:
:$$ \rho_{\rm FM} = {3}/{2 } \cdot \eta^2 \cdot \rho_{\rm AM  } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
G_{\rm FM} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm FM} -
10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm AM}= 10 \cdot {\rm
lg} \hspace{0.15cm}{3}/{2 } \cdot \eta^2
 \hspace{0.05cm},$$
*Sinken–SNR und Störabstandsgewinn bei Frequenzmodulation&nbsp;  $\rm  (FM)$&nbsp; durch Preemphase/Deemphase:
:$$ \rho_{\rm DE} = \frac{(f_{\rm N}/f_{\rm G})^3}{3 \cdot (f_{\rm N}/f_{\rm G} - \arctan (f_{\rm N}/f_{\rm G}) }
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
G_{\rm DE} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm DE} -
10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm FM}\hspace{0.05cm}$$





''Hinweise:''
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation|Rauscheinfluss bei Winkelmodulation]].
*Bezug genommen wirdinsbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Rauscheinfluss_bei_Winkelmodulation#Preemphase_und_Deemphase|Preemphase und Deemphase]].
*Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von einem Nachrichtensignal aus, das Frequenzen bis einschließlich &nbsp;$B_{\rm NF}= 9 \ \rm kHz$&nbsp; beinhaltet.
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Geben Sie eine mögliche Realisierung des Deemphase–Netzwerks &nbsp;$H_{\rm DE}(f)$&nbsp; an.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
|type="[]"}
+ $H_{\rm DE}(f)$&nbsp; ist ein Tiefpass erster Ordnung.
- $H_{\rm DE}(f)$&nbsp; ist ein Hochpass erster Ordnung.
- $H_{\rm DE}(f)$&nbsp; ist ein Bandpass.
+ Zusätzlich muss der Faktor &nbsp;$α$&nbsp; korrigiert werden.


{Wie groß ist der Störabstandsgewinn &nbsp;$G_{\rm FM}$&nbsp; der herkömmlichen FM gegenüber AM bei den genannten Nachrichtenfrequenzen &nbsp;$ f_{\rm N}$?
|type="{}"}
$ f_{\rm N} = \text{9 kHz:}  \hspace{0.2cm} G_{\rm FM} \ = \ $ { 15.74 3% } $\ \rm dB$ 
$ f_{\rm N} = \text{3 kHz:}  \hspace{0.2cm} G_{\rm FM} \ = \ $ { 25.28 3% } $\ \rm dB$
$ f_{\rm N} = \text{1 kHz:}  \hspace{0.2cm} G_{\rm FM} \ = \ $ { 34.82 3% } $\ \rm dB$

{Wie groß ist &nbsp;$Δf_\text{A, min}$ &nbsp; mit &nbsp; $Δf_\text{A, max} = 45 \ \rm  kHz$ &nbsp; und &nbsp; $B_{\rm NF} = f_\text{N, max}= 9 \ \rm kHz$ &nbsp; zu wählen?
|type="{}"}
$Δf_\text{A, min}  \ = \ $ { 14.23 3% } $\ \rm kHz$ 

{Welcher zusätzliche Gewinn ist durch Preemphase/Deemphase zu erzielen? 	
|type="{}"}
$ f_{\rm N} = \text{9 kHz:}  \hspace{0.2cm} G_{\rm DE} \ = \ $ { 7.1 3% } $\ \rm dB$ 
$ f_{\rm N} = \text{3 kHz:}  \hspace{0.2cm} G_{\rm DE} \ = \ $ { 1.9 3% } $\ \rm dB$ 
$ f_{\rm N} = \text{1 kHz:}  \hspace{0.2cm} G_{\rm DE} \ = \ $ { 0.28 3% } $\ \rm dB$ 






</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind <u>der erste und der letzte Lösungsvorschlag</u>:
*Der Betragsfrequenzgang des Deemphase–Netzwerks ist wie folgt festgelegt:
:$$ |H_{\rm DE} (f)| = \frac{1}{|H_{\rm PE} (f)|}= \frac{1}{\alpha}\cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_{\rm G})^2}} \hspace{0.05cm}.$$
*Der Frequenzgang eines einfachen RC–Tiefpasses – auch bekannt als Tiefpass erster Ordnung – lautet:
:$$ H_{\rm RC-TP} (f) = \frac{1}{{1 + {\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_{\rm RC-TP} (f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$



'''(2)'''&nbsp;  Die Frequenzmodulation  ist auf die maximale Frequenz&nbsp; $B_{\rm NF} = f_\text{N, max}= 9 \ \rm kHz$&nbsp; ausgelegt.&nbsp; Dann soll der (maximale) Frequenzhub&nbsp; $Δf_{\rm A} = 45\ \rm  kHz$&nbsp; betragen. 
*Daraus folgt für den Modulationsindex:
:$$ \eta = \frac{\Delta f_{\rm A}}{f_{\rm N} } = 5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
G_{\rm FM} (f_{\rm N} = 9\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}
\hspace{0.15cm}(1.5 \cdot 5^2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.74\,{\rm dB}}
 \hspace{0.05cm}.$$

*Mit der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $ f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$&nbsp;  ergibt sich ein um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; größerer Modulationsindex und damit ein um den Faktor&nbsp; $10 · \lg \ 9 = 9.54 \ \rm  dB$&nbsp; größerer Störabstand:
:$$G_{\rm FM} (f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}
\hspace{0.15cm}(1.5 \cdot 15^2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 25.28\,{\rm dB}}
 \hspace{0.05cm}.$$

*Ein weiterer Zugewinn ergibt sich durch den Übergang von&nbsp; $3\ \rm  kHz$&nbsp; auf&nbsp; $1\ \rm   kHz$:
:$$G_{\rm FM} (f_{\rm N} = 1\,{\rm kHz}) =  25.28\,{\rm dB} + 9.54\,{\rm
 dB}\hspace{0.15cm}\underline {= 34.82\,{\rm dB}}
 \hspace{0.05cm}.$$



'''(3)'''&nbsp;  Der maximale Frequenzhub ergibt sich für $f_{\rm N} = B_{\rm NF}$. 
*Daraus folgt mit $f_{\rm G}  = 3 \ \rm    kHz$ und $B_{\rm NF} = 9 \ \rm   kHz$:
:$$\Delta f_{\rm A} (B_{\rm NF}) = \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min} \cdot \sqrt{{1 + \left(\frac{B_{\rm NF}}{f_{\rm G}}\right)^2}} = \sqrt {10} \cdot \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min}= \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}max} = 45\,{\rm kHz}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min} = \frac{45\,{\rm kHz}}{\sqrt {10}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.23\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp;  Mit der angegebenen Formel erhält man folgende &bdquo;Gewinne durch Premphase/Deemphase&rdquo;: 
:$$G_{\rm DE} (f_{\rm N} = 9\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm
lg}\hspace{0.15cm} \frac{(f_{\rm N}/f_{\rm G})^3}{3 \cdot (f_{\rm
N}/f_{\rm G} - \arctan (f_{\rm N}/f_{\rm G}) }= 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{3^3}{3 \cdot (3 -
1.249) }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
:$$ G_{\rm DE} (f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{1^3}{3 \cdot (1 - \pi/4) }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
:$$G_{\rm DE} (f_{\rm N} = 1\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{(1/3)^3}{3 \cdot (1/3 - 0.322) }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.28\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^3.3 Rauscheinfluss bei PM und FM^]]