Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation
}}

[[Datei:P_ID1701__Mod_A_4_6.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von&nbsp; $q(t)$&nbsp; und&nbsp; $s(t)$&nbsp;  &ndash; gültig für ASK und BPSK]]
Die Sendesignale von ASK&nbsp; (''Amplitude Shift Keying'')&nbsp; und BPSK&nbsp; (''Binary Phase Shift Keying'')&nbsp; können beide in der Form 
:$$s(t) = q(t) · z(t)$$ 
dargestellt werden, wobei &nbsp;$z(t)$&nbsp; eine harmonische Schwingung mit der Frequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; und der Amplitude &nbsp;$1$&nbsp; darstellt.&nbsp; Die Trägerphase &nbsp;$ϕ_{\rm T}$&nbsp; ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

*Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole $±1$ gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.
*Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: &nbsp;$a_ν ∈ \{0, 1\}$&nbsp; – des Quellensignals
:$$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$
:anzusetzen, während im Fall der BPSK &nbsp;$a_ν ∈ \{-1, +1\}$&nbsp; zu berücksichtigen ist. 


In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren &nbsp;${\it Φ}_q(f)$&nbsp; und &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls &nbsp;$g_q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$s_0 = 2 \ \rm V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; ergeben.&nbsp; Damit lautet die Spektralfunktion:
:$$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
Zu bestimmen sind die Konstanten &nbsp;$A$, &nbsp;$B$, &nbsp;$C$&nbsp; und &nbsp;$D$&nbsp; für die Modulationsverfahren&nbsp; $\rm ASK$&nbsp; und&nbsp; $\rm BPSK$.









''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation|Lineare digitale Modulation]].
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]]&nbsp;  im Buch „Digitalsignalübertragung”.
*Die Leistungen sind in  &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; anzugeben;&nbsp; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Werte  ergeben sich bei ASK für die Parameter &nbsp;$A = {\it Φ}_q(f = 0)$&nbsp; und &nbsp;$B$&nbsp; $($Diracgewicht bei &nbsp;$f = 0)$?
|type="{}"}
$A \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
$B \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V^2$ 


{Bestimmen Sie für das ASK–Sendesignal die Parameter &nbsp;$C = {\it Φ}_s(f = f_{\rm T})$&nbsp; und &nbsp;$D$&nbsp;  $($Diracgewicht bei $f = f_{\rm T})$ .
|type="{}"}
$C \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
$D \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \rm V^2$ 

{Welche Werte  ergeben sich bei BPSK für die Parameter &nbsp;$A$&nbsp; und &nbsp;$B$?
|type="{}"}
$A \ = \ $ { 4 3% }  $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$
$B \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ 

{Welche Werte  ergeben sich bei BPSK für die Parameter &nbsp;$C$&nbsp; und &nbsp;$D$?
|type="{}"}
$C \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-6} \  \rm V^2/Hz$ 
$D \ = \ $ { 0. }  $\ \rm V^2$

{Welche Aussagen treffen immer zu, also auch dann, wenn &nbsp;$g_q(t)$&nbsp; kein NRZ–Rechteckimpuls ist?
|type="[]"}
+ Der kontinuierliche Anteil von &nbsp;$ {\it Φ}_q(f)$&nbsp; ist formgleich mit &nbsp;$|G_q(f)|^2$.
- ${\it Φ}_q(f)$&nbsp; beinhaltet bei ASK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.
- ${\it Φ}_q(f)$ beinhaltet bei BPSK eine einzige Diraclinie $($bei $f = 0)$.

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt&nbsp; $m_q = s_0/2$.&nbsp; Das Diracgewicht ist somit&nbsp; $B = m_q^2 = s_0^2/4\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V^2}$. 

*Ohne diesen Gleichanteil ergäbe sich das stochastische Rechtecksignal&nbsp; $q(t) - m_q ∈ \{+s_0/2, -s_0/2\}$. 
*Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil&nbsp; $(s_0/2)^2 · T · {\rm si}^2(πfT)$. 
*Hieraus lässt sich der gesuchte Wert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ermitteln:
:$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot
10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$



'''(2)'''&nbsp; Das Spektrum&nbsp; $Z(f)$&nbsp; eines Cosinussignals&nbsp; $z(t)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $\pm f_{\rm T}$, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $1/2$.
*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_z(f)$&nbsp; besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht&nbsp; $1/4$. 
*Die Faltung&nbsp; ${\it Φ}_q(f) ∗ {\it Φ}_z(f)$&nbsp; ergibt das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_s(f)$&nbsp; des Sendesignals.&nbsp; Daraus folgt: 
:$$C =  {A}/{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm
V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = {B}/{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$

''Anmerkung:'' &nbsp; Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über&nbsp; ${\it Φ}_s(f)$:
:$$P_{\rm S}  = \int_{ - \infty }^\infty \hspace{-0.3cm}  {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f
 = 2 \cdot \int_{ 0 }^\infty \hspace{-0.3cm}  {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm
 d}f= 2 \cdot \left [ \frac{C}{T}  + D \right ] =
 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm
V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}}  + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1
\,{\rm V^{2}}}.$$



'''(3)'''&nbsp; Bei BPSK ist das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bipolar anzusetzen. 
*Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie &nbsp;  ⇒  &nbsp; $\underline{B = 0}$.
*   Der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß wie bei der ASK:
:$$A =  {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$



'''(4)'''&nbsp; Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:
:$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D =
\frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$



'''(5)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Aussage</u>:
* Bei BPSK&nbsp; (bipolares Quellensignal)&nbsp; beinhaltet&nbsp; ${\it Φ}_q(f)$&nbsp; auch dann keine einzige Diraclinie, wenn&nbsp; $g_q(t)$&nbsp; von der Rechteckform abweicht&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole vorausgesetzt). 
*Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/T$. 


Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie auf der Seite&nbsp;  „AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen”&nbsp; im Buch „Digitalsignalübertragung”.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.2 Lineare digitale Modulation^]]