Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.14Z: Offset–QPSK vs. MSK


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation
}}

[[Datei:P_ID1742__Mod_Z_4_13.png|right|frame|Koeffizientenzuordnung bei O-QPSK und MSK]]
Eine Realisierungsmöglichkeit für die&nbsp; $\rm MSK$&nbsp; bietet die&nbsp; &bdquo;Offset–QPSK&rdquo;&nbsp; $\rm (O–QPSK)$, wie aus den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Blockschaltbildern]]&nbsp; im Theorieteil hervorgeht.

Beim&nbsp; &bdquo;normalen Offset–QPSK–Betrieb&rdquo;&nbsp; werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge &nbsp;$〈q_k〉$&nbsp; einem Bit &nbsp;$a_{{\rm I}ν}$&nbsp; im Inphasezweig und sowie einem Bit &nbsp;$a_{{\rm Q}ν}$&nbsp; im Quadraturzweig zugeordnet.

Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals &nbsp;$q(t)$.&nbsp; Dabei ist zu beachten:
* Die Darstellung der Offset–QPSK gilt für einen rechteckigförmigen Grundimpuls.&nbsp; Die Koeffizienten &nbsp;$a_{{\rm I}ν}$&nbsp; und &nbsp;$a_{{\rm Q}ν}$&nbsp; können die Werte &nbsp;$±1$&nbsp; annehmen.
* Durchläuft der Zeitindex der Quellensymbole die Werte &nbsp;$k =1,$ ... $, 8$, so nimmt die Zeitvariable &nbsp;$ν$&nbsp; nur die Werte &nbsp;$1,$ ... $, 4$&nbsp; an.
* Die Skizze berücksichtigt auch den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.


Bei der&nbsp; &bdquo;MSK–Realisierung mittels Offset–QPSK&rdquo;&nbsp; ist eine Umcodierung erforderlich.&nbsp; Hierbei gilt mit &nbsp;$q_k ∈ \{+1, –1\}$&nbsp; und &nbsp;$a_k ∈ \{+1, –1\}$:
:$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$
Beispielsweise erhält man unter der Annahme &nbsp;$a_0 = +1$:
:$$a_1 =  a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.4cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,\hspace{0.4cm}
a_3  =  a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.4cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$
Weiter ist zu berücksichtigen:
* Die Koeffizienten &nbsp;$a_0 = +1$, &nbsp;$a_2 = +1$, &nbsp;$a_4 = -1$&nbsp; sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten &nbsp;$a_6$&nbsp; und &nbsp;$a_8$&nbsp; werden dem Signal &nbsp;$s_{\rm I}(t)$&nbsp; zugeordnet.
* Dagegen werden die Koeffizienten &nbsp;$a_1 = +1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = -1$&nbsp; sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal &nbsp;$s_{\rm Q}(t)$&nbsp; beaufschlagt.











''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation|Nichtlineare digitale Modulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK|Realisierung der MSK als Offset-QPSK]].
 
*In &nbsp;[[Aufgaben:4.14_Phasenverlauf_der_MSK |Aufgabe 4.14]]&nbsp; wird die zugehörige Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; ermittelt, wobei ebenfalls der&nbsp; (normierte)&nbsp; MSK–Grundimpuls zugrunde liegt:
:$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\pi/2 \cdot t/T ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$&nbsp; des Quellensignals?
|type="{}"}
$T_{\rm B} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$


{Wie groß ist die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; der Offset–QPSK?
|type="{}"}
$T \ = \ $ { 2 3%  } $\ \rm  &micro; s$

{Geben Sie die genannten Amplitudenkoeffizienten der Offset–QPSK an.
|type="{}"}
$a_{\rm I3} \hspace{0.25cm} = \ $ { 1 3% } 
$a_{\rm Q3} \ = \ $ { 1 3% }
$a_{\rm I4} \hspace{0.25cm} = \ $ { -1.03--0.97 }
$a_{\rm Q4} \ = \ $ { 1 3% }

{Wie groß ist die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; der &nbsp;MSK?
|type="{}"}
$T \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm &micro; s$

{Geben Sie die genannten  Amplitudenkoeffizienten der MSK an.
|type="{}"}
$a_5 \ = \ $ { -1.03--0.97 }
$a_6 \ = \ $ { 1 3% } 
$a_7 \ = \ $ { -1.03--0.97 } 
$a_8 \ = \ $ { 1 3% } 


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aus der oberen Skizze kann man $T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm &micro; s}$ ablesen.


'''(2)'''&nbsp; Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer $T$ doppelt so groß wie die Bitdauer  $T_{\rm B}$:
:$$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm &micro;  s}} \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt:
:$$ a_{\rm I3} = q_5  \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$
:$$a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ 
:$$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$
:$$a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Bei der MSK ist die Symboldauer $T$ gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$:
:$$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm &micro;  s}} \hspace{0.05cm}.$$


'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$:
:$$q_5 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$ 
:$$q_6 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$
:$$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$ 
:$$q_8 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.4 Nichtlineare digitale Modulation^]]