Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums


{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses}}

[[Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png|right|frame|Betrachtetes Jakes–Spektrum]]
Bei einem Mobilfunksystem macht sich der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts|Dopplereffekt]]&nbsp; auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; bemerkbar. 

Es ergibt sich das so genannte&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; in der Grafik dargestellt ist.&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; hat nur Anteile innerhalb des Bereichs&nbsp; $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
 \hspace{0.05cm}.$$

Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$.&nbsp; Diese ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; durch die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]].

Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung &nbsp;$({\rm J}_0)$&nbsp; erhält man:
:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Um den Dopplereffekt &ndash; und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger &ndash; bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$. 

Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Für den Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
*Am Eingang des im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$&nbsp; an. 
*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$









''Hinweise:'' 
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet&nbsp;  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh&ndash;Prozesses]]. 
* Das digitale Filter wird im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]]&nbsp; des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; ausführlich behandelt.
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welchen Wert hat das Jakes&ndash;Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} = 0$?
|type="{}"}
${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $\ \cdot  10^{\rm &ndash;3} \ 1/{\rm Hz}$

{Welche Dimensionierung ist richtig, wobei &nbsp;$K$&nbsp; eine geeignet gewählte Konstante ist?
|type="()"}
- Es gilt&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
+ Es gilt&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$

{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; bestimmen?
|type="()"}
- $K$&nbsp; kann beliebig gewählt werden. 
- Das Integral über&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|$&nbsp; muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
+ Das Integral über&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2$&nbsp; muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.

{Ist&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; durch die beiden Bedingungen  gemäß&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; eindeutig festgelegt?
|type="()"}
- Ja.
+ Nein.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Das Jakes&ndash;Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:
:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} = 
 \frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: 
*Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$. 
*Für das LDS am Ausgang gilt dann:
:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot | H_{\rm DF}(f_{\rm D}|^2
 \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. 
*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.



'''(4)'''&nbsp; <u>Richtig ist NEIN</u>: 
*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion. 
*Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift. 
*Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt. 
*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.


Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:
[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png|right|frame|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]


* Das Jakes&ndash;Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt. 
*Für kleine $\Delta t$&ndash;Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.3 Rayleigh–Fading mit Gedächtnis^]]