Quelltext der Seite Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung


{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme}}

[[Datei:P_ID2145__Mob_z_2_1.png|right|frame|2D&ndash;Übertragungsfunktion, als Realteil und Imaginärteil]]
Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die&nbsp; ''zweidimensionale Impulsantwort''
:$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$$

Der erste Parameter&nbsp; $(\tau)$&nbsp; kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite &nbsp;$(t)$&nbsp; macht Aussagen über die Zeitvarianz. 

Durch die Fouriertransformation von&nbsp; $h(\tau,\ t)$&nbsp; kommt man schließlich zur&nbsp; ''zeitvarianten Übertragungsfunktion''
:$$H(f,\hspace{0.1cm} t)
 \hspace{0.2cm}  \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t)  
 \hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; in Abhängigkeit der Frequenz dargestellt, und zwar für verschiedene Werte der absoluten Zeit &nbsp;$t$&nbsp; im Bereich von $0 \ \text{...} \ 10 \ \rm ms$.

Im Allgemeinen ist&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; komplex.&nbsp; Der Realteil (oben) und der Imaginärteil (unten) sind separat gezeichnet.










''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
* In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter&nbsp; $M = 1$&nbsp; dargestellt.
* Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebenen zeitvarianten Übertragungsfunktion:
:$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3  \hspace{0.05cm},$$
:$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8  \hspace{0.05cm},$$
:$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4   \hspace{0.05cm}.$$

* Wie schon aus obiger Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der 2D&ndash;Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; mittelwertfrei.



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Liegt hier ein zeitvarianter Kanal vor?
|type="()"}
+ Ja.
- Nein.

{Treten bei diesem Kanal Echos auf?
|type="()"}
- Ja.
+ Nein.

{Wie kann hier die 2D&ndash;Impulsantwort beschrieben werden?
|type="()"}
- $h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau) + B \cdot \delta(\tau \, &ndash;5 \, \rm &micro; s)$.
- $h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau)$.
+ $h(\tau,\ t) = z(t) \cdot \delta(\tau)$.

{Schätzen Sie, für welchen Kanal die Daten aufgenommen wurden.
|type="()"}
- AWGN&ndash;Kanal,
- Zweiwege&ndash;Kanal,
- Rayleigh&ndash;Kanal,
+ Rice&ndash;Kanal.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Wie aus der Grafik zu ersehen, ist die Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; abhängig von&nbsp; $t$.&nbsp; Damit ist auch&nbsp; $h(\tau,\ t)$&nbsp; zeitabhängig.&nbsp; Richtig ist also <u>JA</u>.



'''(2)'''&nbsp; Betrachtet man einen festen Zeitpunkt, zum Beispiel&nbsp; $t = 2 \ \rm ms$, so erhält man für die zeitvariante Übertragungsfunktion
:$$H(f,\hspace{0.1cm} t = 2\, {\rm ms}) =  - {\rm j} \cdot 1.3  \hspace{0.05cm} = {\rm const.}$$

*Damit lautet die dazugehörige 2D&ndash;Impulsantwort:
:$$h(\tau,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3  \cdot \delta (\tau) \hspace{0.05cm} 
  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} M = 1 \hspace{0.05cm}.$$

*Mit einem Pfad kann es aber nicht zu Mehrwegausbreitung kommen.&nbsp; Das heißt, die richtige Lösung ist <u>NEIN</u>.



'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Es liegt hier zwar Zeitvarianz, aber keine Frequenzselektivität vor.
*Die Vorschläge 1 und 2 beschreiben dagegen zeitinvariante Systeme.



'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u>: 
*Für den AWGN&ndash;Kanal kann keine 2D&ndash;Übertragungsfunktion angegeben werden. 
*Bei einem Zweiwegekanal ist&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; zu keiner Zeit&nbsp; $t$&nbsp; konstant. 
*Da in der&nbsp; $H(f,\ t)$&ndash;Grafik in Real&ndash; und Imaginärteil jeweils ein Gleichanteil ungleich Null zu erkennen ist, kann auch der Rayleigh&ndash;Kanal ausgeschlossen werden. 
*Die Daten für die vorliegende Aufgabe stammen nach Ausschlussverfahren von einem&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Kanalmodell_und_Rice.E2.80.93WDF| Rice&ndash;Kanal]].&nbsp; Zur Generierung wurden folgende Parameter verwendet:
:$$\sigma =  {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 x_0 = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y_0 = -{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
  f_{\rm D,\hspace{0.05cm} max} = 100\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



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