Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 5.1Z: cos² -Rauschbegrenzung


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Stochastische Systemtheorie
}}

[[Datei:P_ID491__Sto_Z_5_1.png|right|frame|oben:&nbsp; Eingangs&ndash;LDS&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$, <br>unten:&nbsp; Filterfrequenzgang $H(f)$]]
Wir betrachten bandbegrenztes weißes Rauschen&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$.&nbsp; Dieses ist im Bereich&nbsp; $|f| \le B_x$&nbsp;  konstant gleich&nbsp; $N_0/2$&nbsp; und außerhalb gleich Null. 

Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:

*Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{-16} \ \rm V^2/Hz$, 
*(einseitige)&nbsp; Rauschbandbreite&nbsp; $B_x = 10 \ \rm kHz$.


Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang
:$$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,}  \\   0 & {{\rm{sonst}}}  \\\end{array}} \right.$$

angelegt.&nbsp; Hierbei bezeichnet&nbsp; $f_0$&nbsp; die absolute Filterbandbreite,&nbsp; die zwischen&nbsp; $B_x/2$&nbsp; und&nbsp; $2B_x$&nbsp; variieren kann.&nbsp; Das Filterausgangssignal wird mit&nbsp; $y(t)$&nbsp; bezeichnet.





Hinweise: 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie|Stochastische Systemtheorie]].
*Bezug genommen wird auch auf die  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]. 
 
*Benutzen Sie,&nbsp; falls nötig,&nbsp; die nachfolgenden Gleichungen:
:$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}}  \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \hspace{0.15cm}(
\text{für großes }x),$$
:$$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
:$$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie groß ist der Effektivwert des Eingangssignals&nbsp; $x(t)$?
|type="{}"}
$\sigma_x \ = \ $  { 1 3% } $\ \rm &micro; V$


{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass ein momentaner Spannungswert des Eingangssignals betragsmäßig größer als&nbsp; $5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V$&nbsp; ist?
|type="{}"}
${\rm Pr}(|x(t)| > 5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V) \ =  \ $  { 0.6 3% } $\ \cdot 10^{-6}$


{Wie groß ist der Mittelwert (Gleichanteil) des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$?
|type="{}"}
$m_y\  \ =  \ $  { 0. } $\ \rm &micro; V$


{Berechnen Sie den Effektivwert des Ausgangssignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; für&nbsp;  $f_0 = B_x/2$.
|type="{}"}
$\sigma_y \ =  \ $  { 0.433 3% } $\ \rm &micro; V$


{Berechnen Sie den Effektivwert von&nbsp; $y(t)$&nbsp; unter der Bedingung&nbsp; $f_0 = 2 \cdot B_x$.
|type="{}"}
$\sigma_y \ =  \ $ { 0.731 3% } $\ \rm &micro; V$


{Es gelte weiter&nbsp; $f_0 = 2 \cdot B_x$. &nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; betragsmäßig größer als&nbsp; $5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V$&nbsp; ist?
|type="{}"}
${\rm Pr}(|y(t)| > 5 \hspace{0.05cm} \rm &micro; V) \ =  \ $ { 8 3% } $\ \cdot 10^{-12}$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Varianz (Leistung) &nbsp; &#8658; &nbsp; Effektivwert zum Quadrat des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; beträgt
:$$\sigma _x ^2  = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x  = N_0  \cdot B_x  = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
\sigma _x  \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm &micro;}{\rm V}}.$$


'''(2)'''&nbsp; Entsprechend dem Kapitel &bdquo;Gaußverteilte Zufallsgrößen&rdquo; und der hier angegebenen Näherung&nbsp; $($für große&nbsp; $x)$&nbsp; erhält man:
:$$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{&micro; V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}}  \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.6 \cdot 10^{ - 6}} .$$


'''(3)'''&nbsp; Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist mittelwertfrei&nbsp; $(m_x = 0)$. 
*Sonst müsste&nbsp; ${\it Φ}_x(f)$&nbsp; noch eine Diracfunktion bei&nbsp; $f= 0$&nbsp; beinhalten. 
*Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert &nbsp; &#8658; &nbsp; $m_y\hspace{0.05cm}\underline{ = 0}$.



'''(4)'''&nbsp; Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:
:$${\it \Phi}_y (f) = {N_0 }/{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$

*Damit kann die Varianz&nbsp; $\sigma _y^2$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:
:$$\sigma _y ^2  = {N_0 }/{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} =  N_0  \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$

*Das bestimmte Integral ist vorgegeben.&nbsp; Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert Null.&nbsp; Daraus folgt:
:$$\sigma _y ^2  = {N_0}/{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0  + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0  \cdot f_0 $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_0 = B_x/2\text{:}\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2  = \frac{3}{16} \cdot N_0  \cdot B_x  = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2  = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2  \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{&micro; V}}}{\rm{.}}$$



'''(5)'''&nbsp; Nun besitzt das Eingangs-LDS für&nbsp; $|f| > B_x$&nbsp; keine Anteile. 
*Deshalb gilt:
:$$\sigma _y ^2  = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0  \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$

*Die numerische Auswertung liefert hierfür:
:$$\sigma _y ^2  = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x  + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right) = N_0  \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{  = 0.731\;{\rm{&micro; V}}}{\rm{.}}$$



'''(6)'''&nbsp; Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; gilt:
:$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{&micro; V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{&micro; V}}}}{{0.731\;{\rm{&micro; V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$

*Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den folgenden Wert: 
:$$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{&micro; V}}} \right) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 8 \cdot 10^{ - 12}}.$$
{{ML-Fuß}}



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