Quelltext der Seite Digitalsignalübertragung/Optimierung der Basisbandübertragungssysteme

 
{{Header
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}}


== Voraussetzungen und Optimierungskriterium ==
<br>
Für dieses Kapitel &bdquo;Optimierung der Basisbandübertragungssysteme&rdquo; gilt das folgende Blockschaltbild.&nbsp; Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

[[Datei:P_ID1286__Dig_T_1_4_S1_v1.png|right|frame|Blockschaltbild eines Basisbandübertragungssystems|class=fit]]
*Die Übertragung erfolgt binär,&nbsp; bipolar und redundanzfrei.&nbsp; Der Abstand zwischen den Symbolen ist &nbsp;$T$&nbsp; und die&nbsp; (äquivalente)&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 1/T$.&nbsp; Mehrstufige und/oder redundante Systeme werden erst  im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 2: &nbsp; "Codierte und mehrstufige Übertragung"]]&nbsp;  dieses Buches behandelt.
*Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist rechteckförmig und weist die Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; sowie die Impulsdauer &nbsp;$T_{\rm S} \le T$&nbsp; auf.&nbsp; Stimmt die Sendeimpulsdauer &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; mit der Symboldauer $T$ überein,&nbsp; so spricht man von NRZ&ndash;Rechteckimpulsen&nbsp; ("non-return-to-zero").&nbsp; Im Fall &nbsp;$T_{\rm S} < T$&nbsp; liegt das RZ&ndash;Format vor&nbsp; ("return-to-zero").<br>
*Als Übertragungskanal wird das AWGN&ndash;Modell mit der&nbsp; (einseitigen)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; verwendet,&nbsp; so dass für das Empfangssignal &nbsp;$r(t) = s(t) + n(t)$&nbsp; gilt.&nbsp; Meist arbeitet man mit der  zweiseitigen Rauschleistungsdichte  &nbsp;$N_0/2$.
*Die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; des Empfangsfilters sei ebenfalls rechteckförmig,&nbsp; allerdings mit der Breite &nbsp;$T_{\rm E}$&nbsp; und der Höhe &nbsp;$1/T_{\rm E}$.&nbsp; Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist demzufolge &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 1$.&nbsp; Nur im Sonderfall &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S} $&nbsp; kann man &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; als Matched&ndash;Filter bezeichnen.
*Um Impulsinterferenzen auszuschließen,&nbsp; muss bei der Optimierung stets die Randbedingung &nbsp;$T_{\rm S} + T_{\rm E} \le 2T$&nbsp; eingehalten werden.&nbsp; Impulsinterferenzen werden erst im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 3: &nbsp; "Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren"]]&nbsp; dieses Buches betrachtet.
*Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge&nbsp; $〈v_ν〉$&nbsp; als bestmögliche Schätzung für die Quellenensymbolfolge&nbsp; $〈q_ν〉$&nbsp; wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle &nbsp;$E = 0$&nbsp; und optimalen Detektionszeitpunkten&nbsp; $($unter den gegebenen Voraussetzungen bei &nbsp;$\nu \cdot T)$&nbsp; verwendet.


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; 
Unter&nbsp; '''Systemoptimierung'''&nbsp; verstehen wir hier,&nbsp; die Parameter &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; und &nbsp;$T_{\rm E}$&nbsp; von Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und  Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; so zu bestimmen,&nbsp; dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; den kleinstmöglichen Wert annimmt.}}


== Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung==
<br>
Die Optimierung der Systemvariablen wird entscheidend dadurch beeinflusst, 
#ob&nbsp; "Leistungsbegrenzung"&nbsp; 
#oder &nbsp; "Spitzenwertbegrenzung"&nbsp; 


des Sendesignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; als Randbedingung der Optimierung gefordert wird.

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Unter &nbsp;'''Leistungsbegrenzung'''&nbsp; versteht man,&nbsp; dass die&nbsp; (mittlere)&nbsp; Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; einen vorgegebenen Maximalwert &nbsp;$P_\text{S, max}$&nbsp; nicht überschreiten darf:
:$$P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm
S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.$$
*Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen,&nbsp; wird man natürlich die mittlere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. 
*Deshalb wird im Folgenden stets &nbsp;$P_{\rm S} = P_\text{S, max}$&nbsp; gesetzt.}}


Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. 
*Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt,&nbsp; unter Anderem deshalb, 
*weil die als &bdquo;Elektrosmog&rdquo; bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der&nbsp; (mittleren)&nbsp; Strahlungsleistung abhängt.


<u>Anzumerken ist:</u> &nbsp; Ein Funkübertragungssystem arbeitet natürlich nicht im Basisband.&nbsp; Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 4: &nbsp; "Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren"]]&nbsp; dieses Buches dahingehend modifiziert,&nbsp; dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind.

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Von &nbsp;'''Spitzenwertbegrenzung'''&nbsp; spricht man immer dann,&nbsp; wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist.&nbsp; Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung:
:$$\vert s(t) \vert \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm}{\rm
alle}\hspace{0.15cm}t.$$
*Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt,&nbsp; aber nicht die mittlere Leistung,&nbsp; sondern die Spitzenleistung. 
*Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff&nbsp; "Amplitudenbegrenzung",&nbsp; der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.}}


Die Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig,&nbsp; wenn
*der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist,&nbsp; oder<br>
*die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen Grenzwert überschreiten darf.&nbsp; Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten hier drei verschiedene Konstellationen. Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und die Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; seien jeweils rechteckförmig und die Amplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; des Ausgangsimpulses stimmt stets mit der Eingangsimpulsamplitude  &nbsp;$s_0$&nbsp; überein.<br>

$\text{System A}$&nbsp; $(T_{\rm S} = T, \  T_{\rm E} = T)$:
[[Datei:P_ID3132__Dig_T_1_4_S2_A1_v2.png|right|frame|Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; sowie die Impulse &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; bei &nbsp;$\text{System A}$|class=fit]]
*NRZ&ndash;Sendegrundimpuls,
*Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
*Detektionsgrundimpuls: &nbsp; Dreieck,
*Energie pro Bit:  &nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
*Rauschleistung: &nbsp; $\sigma_d^2 = N_0/(2T)$,
*Bestmögliche Konstellation 
*Bitfehlerwahrscheinlichkeit: &nbsp; $p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B}=
 {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot s_0^2 \cdot
 T}/{N_0} }\right) = {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$


$\text{System B}$&nbsp; $(T_{\rm S} = T, \  T_{\rm E} = T/2)$:
[[Datei:P_ID3133__Dig_T_1_4_S2_A2_v1.png|right|frame|Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; sowie die Impulse &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; bei &nbsp;$\text{System B}$|class=fit]]
*NRZ&ndash;Sendegrundimpuls,
*Kein Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} \ne T_{\rm S}$,
*Detektionsgrundimpuls: &nbsp; Trapez,
*Energie pro Bit:  &nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
*Rauschleistung: &nbsp; $\sigma_d^2 = N_0/T$,
*stets &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; schlechter als das &nbsp;$\text{System A}$ 
*Bitfehlerwahrscheinlichkeit: &nbsp; $p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B}=
 {\rm Q} \left( \sqrt{ {s_0^2 \cdot
 T}/{N_0} }\right) = {\rm Q} \left( \sqrt{ E_{\rm B} /{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$


$\text{System C}$&nbsp; $(T_{\rm S} = T/2, \  T_{\rm E} = T/2)$:
[[Datei:P_ID3134__Dig_T_1_4_S2_A3_v2.png|right|frame|Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; sowie die Impulse &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; bei &nbsp;$\text{System C}$|class=fit]]
*RZ&ndash;Sendegrundimpuls,
*Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
*Detektionsgrundimpuls: &nbsp;  kleineres Dreieck,
*Energie pro Bit:  &nbsp; $E_{\rm B} = 1/2 \cdot s_0^2 \cdot T$,
*Rauschleistung: &nbsp; $\sigma_d^2 = N_0/T$,
*bei Leistungsbegrenzung gleichwertig mit &nbsp;$\text{System A}$,
*bei Spitzenwertbegrenzung &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; schlechter als &nbsp;$\text{System A}$,
*Bitfehlerwahrscheinlichkeit: &nbsp; $p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} =
 {\rm Q} \left( \sqrt{ { s_0^2 \cdot
 T}/{N_0} }\right)=  {\rm Q} \left( \sqrt{2 \cdot {E_{\rm B} }/{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$}}


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Es gelten gleiche Voraussetzungen wie im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$.&nbsp; Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; gemäß den Berechnungen im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$. 
[[Datei:P_ID1288__Dig_T_1_4_S2_v1.png|right|frame|Systemvergleich bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung|class=fit]]

* in Abhängigkeit vom Verhältnis &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (linkes Diagramm), 
*als Funktion von &nbsp;$s_0^2 \cdot T /N_0$&nbsp; (rechtes Diagramm). 


Diese beiden Diagramme in doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren:<br>
*Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung &nbsp;$(P_{\rm S})$&nbsp; bzw. bei konstanter Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$. Da der Abszissenwert zusätzlich auf &nbsp;$N_0$&nbsp; bezogen ist, gibt &nbsp;$p_{\rm B}(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten &nbsp;$N_0$&nbsp; richtig wieder.<br>

*Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar.&nbsp; Wie nachfolgend hergeleitet wird,&nbsp; liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; formgleich sind (Matched&ndash;Filter). Die kleinere Leistung von System &nbsp;$\rm C$&nbsp; wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen.<br>

*Dagegen wird bei System &nbsp;$\rm B$&nbsp; die Matched&ndash;Filter&ndash;Bedingung nicht eingehalten &nbsp;$(T_{\rm E} \ne T_{\rm S})$&nbsp; und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; rechts von der durch die Systeme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; vorgegebenen Grenzkurve.<br>

*Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug &nbsp;$\rm A$&nbsp; (NRZ&ndash;Impuls, Matched&ndash;Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann.<br>

*Die Kurve &nbsp;$\rm B$&nbsp; in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung,&nbsp; da wiederum NRZ&ndash;Sendeimpulse verwendet werden.&nbsp; Der Abstand von &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched&ndash;Filter&ndash;Bedingung zurückzuführen.<br>

*Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched&ndash;Filter&ndash;System &nbsp;$\rm C$&nbsp; um&nbsp; $\text{3 dB}$&nbsp; rechts vom Optimum.&nbsp; Der Grund für diese Degradation ist,&nbsp; dass bei gleichem Spitzenwert&nbsp; (gleicher Spitzenleistung)&nbsp; das System &nbsp;$\rm C$&nbsp; nur die halbe mittlere Leistung wie das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; bereitstellt.<br>}}


== Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung ==
<br>
Die Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)$&nbsp; kann aufgrund des monotonen Funktionsverlaufs der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion &nbsp;$ {\rm Q}(x)$&nbsp; auf die Maximierung des Signal&ndash;zu&ndash;Rausch&ndash;Leistungsverhältnisses &nbsp;$\rho_d$&nbsp; vor dem Schwellenwertentscheider&nbsp; $($kurz: &nbsp; '''Detektions&ndash;SNR'''$)$&nbsp; zurückgeführt werden:
:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}\hspace{0.8cm}\Rightarrow \hspace{0.8cm}\rho_d ={g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm}{\rm Maximum}\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei gibt &nbsp;$g_0 = g_d(t=0)$&nbsp; die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an und &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; bezeichnet die Detektionsstörleistung für das gegebene Empfangsfilter.&nbsp; Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass<br>
*der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$&nbsp;  das erste Nyquistkriterium erfüllt, und<br>
*die Energie des Sendegrundimpulses &nbsp;$g_s(t)$&nbsp;  einen vorgegebenen Wert &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; nicht überschreitet.


In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits mehrfach erwähnt,&nbsp; dass beim AWGN&ndash;Kanal  mit der&nbsp; (einseitigen)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; für das optimale System unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung gilt:
:$$p_{\rm B, \hspace{0.08cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
 \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis benutzen wir für die folgende Definition:

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung'''&nbsp; einer vorliegenden Konfiguration ist der Quotient aus dem tatsächlichen und dem größtmöglichen Signal&ndash;zu&ndash;Rausch&ndash;Leistungsverhältnis am Entscheider&nbsp; $($'''Detektions&ndash;SNR'''$)$:
:$$\eta_{\rm L} =  \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}
 L} } }=  \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
Nachfolgend wird bewiesen, dass
*die so definierte Größe tatsächlich die Bedingung &nbsp;$0 \le \eta_{\rm L} \le 1$&nbsp; erfüllt und somit als &bdquo;Wirkungsgrad&rdquo; interpretiert werden kann,
*der Wert   &nbsp;$\eta_{\rm L} = 1$&nbsp; dann erreicht wird,&nbsp; wenn die Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; formgleich mit dem Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist.}}


{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Beweis:}$&nbsp; Der Beweis erfolgt im Frequenzbereich.&nbsp; Aus Darstellungsgründen normieren wir den Sendegrundimpuls:
:$$h_{\rm S}(t)  =   \frac{g_s(t)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
  H_{\rm S}(f)  =   \frac{G_s(f)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.05cm}.$$
Damit hat &nbsp;$h_{\rm S}(t)$&nbsp; die Einheit &bdquo;$\rm 1/s$&rdquo; und &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; ist dimensionslos.&nbsp; Für die einzelnen Systemgrößen folgt daraus:<br>

'''(1)''' &nbsp; Aufgrund des ersten Nyquistkriteriums muss gelten:
:$$ G_d(f) =  G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f)  =   G_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f)  \cdot H_{\rm E}(f)=   H_{\rm
 Nyq}(f)= \frac{G_{\rm  Nyq}(f)}{g_0 \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$
'''(2)''' &nbsp; Die Amplitude des Detektionsgrundimpulses ist gleich
:$$g_d(t=0) =  g_0 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f  = g_0\hspace{0.05cm}.$$
'''(3)''' &nbsp; Die Energie des Sendegrundimpulses ist wie folgt gegeben:
:$$E_{\rm B} =  g_0^2 \cdot T^2 \cdot
 \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f)\vert ^2 \,{\rm d} f  \hspace{0.05cm}.$$
'''(4)''' &nbsp; Die Detektionsstörleistung lautet:
:$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \,{\rm d} f =
 \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {\vert H_{\rm Nyq}(f) \vert^2}{\vert H_{\rm S}(f) \vert^2} \,{\rm d} f\hspace{0.05cm}. $$
'''(5)''' &nbsp; Setzt man diese Teilergebnisse in die Gleichung für den Systemwirkungsgrad ein,&nbsp; so erhält man:
:$$\eta_{\rm L} = \left [ {T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f) \vert^2 \,{\rm d} f
 \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac { \vert H_{\rm Nyq}(f) \vert ^2}{ \vert H_{\rm S}(f) \vert^2} \,{\rm d} f } \right ]^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
'''(6)''' &nbsp; Wir wenden nun auf den Ausdruck in der Klammer die Schwartzsche Ungleichung&nbsp; [BS01]<ref>Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.:&nbsp; Taschenbuch der Mathematik.&nbsp; 5. Auflage. Frankfurt: Harry Deutsch, 2001.</ref> an:
:$$\frac{1}{\eta_{\rm L} } = T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 1}(f) \vert^2 \,{\rm d} f
 \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 2}(f) \vert^2 \,{\rm d} f
 \hspace{0.3cm}\ge\hspace{0.3cm}
 \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 1}(f) \cdot H_{\rm 2}(f) \vert \,{\rm d} f \right ]^2$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1}{\eta_{\rm L} } = T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f) \vert^2 \,{\rm d} f
 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac { \vert H_{\rm Nyq}(f) \vert ^2}{ \vert H_{\rm S}(f) \vert ^2} \,{\rm d} f \hspace{0.2cm}\ge\hspace{0.2cm}
 \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.5cm}H_{\rm Nyq}(f)  \,{\rm d} f \right ]^2  = 1. $$
'''(7)''' &nbsp; Damit ist gezeigt,&nbsp; dass der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung tatsächlich die Bedingung  &nbsp;$\eta_{\rm L} \le 1$&nbsp;  erfüllt.

'''(8)''' &nbsp; Die Auswertung zeigt,&nbsp; dass für &nbsp;$H_{\rm S, \hspace{0.08cm}opt}(f) = \gamma \cdot \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$&nbsp;
in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen gilt:
:$$\gamma^2 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \frac {1}{\gamma^2} \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f =  \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f)  \,{\rm d} f \right ]^2  = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta_{\rm L} =  1 \hspace{0.05cm}.$$
'''(9)''' &nbsp; Dieses Ergebnis ist unabhängig vom Parameter &nbsp;$\gamma$,&nbsp; den wir deshalb vereinfachend zu &nbsp;$\gamma = 1$&nbsp; setzen: &nbsp; $H_{\rm S, \hspace{0.08cm}opt}(f) = \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$.
<div align="right">'''q.e.d.'''</div>}}



==Wurzel–Nyquist–Systeme==
<br>
Das wesentliche Ergebnis der Berechnungen auf den letzten Seiten war,&nbsp; dass beim optimalen Binärsystem unter der Nebenbedingung &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung|Leistungsbegrenzung]]
*der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$&nbsp; die erste Nyquistbedingung erfüllen muss,&nbsp; und
*die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; des Empfangsfilters formgleich mit dem Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; zu wählen ist; &nbsp;
* gleiches gilt für die Spektralfunktionen &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; und &nbsp;$G_s(f)$.


Sind sowohl &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; als auch &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; rechteckförmig mit &nbsp;$T_{\rm S} = T_{\rm E} \le T$,&nbsp; so werden beide Bedingungen erfüllt.
*Nachteil dieser Konfiguration ist allerdings der große Bandbreitenbedarf aufgrund der nur langsam abfallenden,&nbsp; &nbsp;$\rm si$&ndash;förmigen Spektralfunktionen  &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; und &nbsp;$H_{\rm E}(f)$. 
*In der unteren Grafik ist die Spektralfunktion des rechteckförmigen NRZ&ndash;Sendegrundimpulses als gestrichelte violette Kurve eingezeichnet.

[[Datei:P_ID1289__Dig_T_1_4_S4_v1.png|right|frame|Verschiedene Sendespektren bei Basisbandübertragung|class=fit]]


Ausgehend vom  Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Frequenzverlauf &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$:
:$$G_d(f) =  G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f)  =   g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm
 CRO}(f)} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm
 E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}\hspace{0.05cm},$$
ergeben sich für jeden Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$&nbsp; günstigere Spektraleigenschaften und ein geringerer Bandbreitenbedarf.


Die Grafik zeigt die normierten Sendespektren &nbsp;$H_{\rm S}(f)= G_s(f)/(g_0 \cdot T)$&nbsp; in logarithmierter Darstellung für die drei Rolloff&ndash;Faktoren 
*$r = 0$&nbsp; (grüne Kurve),
*$r = 0.5$&nbsp; (blaue  Kurve), und 
*$r = 1$&nbsp; (rote  Kurve).


Anmerkungen: 
*Bei der Basisbandübertragung spielt der Bandbreitenbedarf nur eine untergeordnete Rolle. 
*Die Grafik gilt aber auch für &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Trägerfrequenzsysteme]]&nbsp; bei Darstellung im äquivalenten Tiefpassbereich. 
*Bei diesen Systemen spielt die Bandbreite eine sehr wichtige  Rolle. Denn: &nbsp; Jedes zusätzliches Hertz an Bandbreite kann sehr teuer sein. <br clear=all>
== Systemoptimierung bei Spitzenwertbegrenzung==
<br>
Die Systemoptimierung hängt beim AWGN&ndash;Kanal  mit der&nbsp; (einseitigen)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; in starkem Maße davon ab,&nbsp; welche Nebenbedingung festgelegt wird:
*Bei &nbsp;"Leistungsbegrenzung"&nbsp; (gekennzeichnet durch den Index&nbsp; "'''L'''")&nbsp; darf die Energie des Sendegrundimpulses &nbsp;$g_s(t)$&nbsp;  einen vorgegebenen Wert &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; nicht überschreiten.&nbsp; Hier gilt für die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit und das maximale SNR: 
:$$p_{\rm B, \hspace{0.08cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
 \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$
*Bei &nbsp;"Spitzenwertbegrenzung"&nbsp; (oder&nbsp; "Amplitudenbegrenzung",&nbsp; gekennzeichnet durch den Index "'''A'''")&nbsp; ist dagegen der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\vert s(t) \vert \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm}{\rm
alle}\hspace{0.15cm}t$. Hier gilt für die entsprechenden Größen:
:$$p_{\rm B, \hspace{0.08cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}
 \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}={2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$

Für diesen zweiten Fall legen wir fest:

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Definition:}$&nbsp; Der &nbsp;'''Systemwirkungsgrad bei Spitzenwertbegrenzung'''&nbsp; ("Amplitudenbegrenzung")&nbsp; lautet:
:$$\eta_{\rm A} =  \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}
 A} } }=  \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{ 2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
*Auch dieser Systemwirkungsgrad erfüllt die Bedingung &nbsp;$0 \le \eta_{\rm A} \le 1$. 
*Es gibt allerdings nur ein einziges System mit dem Ergebnis &nbsp;$\eta_{\rm A} = 1$: &nbsp; '''Der NRZ&ndash;Rechteck&ndash;Sendegrundimpuls und das daran angepasste Empfangsfilter'''.}}


Ein Vergleich mit dem &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung|Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung]] &nbsp; &rArr; &nbsp; $\eta_{\rm L}$&nbsp; zeigt:
* $\eta_{\rm A}$&nbsp; unterscheidet sich von &nbsp;$\eta_{\rm L}$&nbsp; dadurch, dass nun im Nenner &nbsp;$s_0^2 \cdot T$&nbsp; anstelle von &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; steht. Es gilt folgender Zusammenhang:
:$$\eta_{\rm A} =  \frac{E_{\rm B}}{s_0^2 \cdot T} \cdot \eta_{\rm L}= \frac{\eta_{\rm L}}{C_{\rm S}^2}\hspace{0.05cm}.$$
*Hierbei bezeichnet der &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelfaktor Scheitelfaktor]&nbsp; $C_{\rm S}$&nbsp; (englisch: &nbsp; "Crestfaktor")&nbsp; das Verhältnis von Maximalwert &nbsp;$s_0$&nbsp; und Effektivwert &nbsp;$s_{\rm eff}$&nbsp; des Sendesignals:
:$$C_{\rm S} =  \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}=  \frac{s_0}{s_{\rm eff}}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm eff} = \sqrt {E_{\rm B}/T}.$$



{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wir betrachten wie im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung| $\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; drei unterschiedliche Konfigurationen mit jeweils rechteckförmigen Zeitfunktionen &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; und geben hierfür die Systemwirkungsgrade an:
* $\text{System A:}$ &nbsp; &nbsp;$\rho_d =  {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} = { 2 \cdot s_0^2 \cdot
 T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1.0,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =
 1.0\hspace{0.05cm}.$
* $\text{System B:}$ &nbsp; &nbsp;$\rho_d =   {E_{\rm B} }/{N_0} ={ s_0^2 \cdot
 T}/{N_0}\hspace{1.35cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 0.5,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =
 0.5\hspace{0.05cm}.$
* $\text{System C:}$ &nbsp; &nbsp;$\rho_d =  {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} = { s_0^2 \cdot
 T}/{N_0}\hspace{0.8cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1.0,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =
 0.5\hspace{0.05cm}.$


Man erkennt:
*Beim &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; sind beide Systemwirkungsgrade maximal gleich &nbsp;$1$. 
*Beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; sind diese Systemwirkungsgrade aufgrund der fehlenden Anpassung &nbsp;$(T_{\rm E} \ne T_{\rm S})$&nbsp; nur jeweils &nbsp;$0.5$. 
*Beim &nbsp;$\text{System C}$&nbsp;  hat zwar der Systemwirkungsgrad &nbsp;$\eta_{\rm L}$&nbsp; wegen &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S}$&nbsp; den Maximalwert  &nbsp;$\eta_{\rm L} = 1$.&nbsp; Dagegen ist bei diesem System &nbsp;$\eta_{\rm A} = 0.5$,&nbsp; da der RZ&ndash;Impuls nicht die maximale Energie besitzt,&nbsp; die aufgrund der Spitzenwertbegrenzung erlaubt wäre.&nbsp; Der Crestfaktor hat hier den Wert &nbsp;$C_{\rm S} = \sqrt{2}$.}}


{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; 
Nun betrachten wir eine &nbsp;[http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme Wurzel&ndash;Nyquist&ndash;Konfiguration]&nbsp; mit Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Gesamtfrequenzgang:
:$$H_{\rm S}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}, \hspace{0.5cm}H_{\rm
 E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = {H_{\rm CRO}(f)}\hspace{0.05cm}.$$
Die Frequenzgänge&nbsp; $H_{\rm S}(f)$&nbsp; und&nbsp; $H_{\rm CRO}(f)$&nbsp; geben hierbei die normierten Spektralfunktionen von Sendegrundimpuls und Detektionsgrundimpuls an.&nbsp; Es gilt:   
:$$G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm S}(f)},\hspace{0.5cm} G_d(f) =     g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)} = G_{\rm Nyq}(f)\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme am Sender&nbsp; (oben)&nbsp; und am Empfänger&nbsp; (unten),&nbsp; jeweils für die Rolloff&ndash;Faktoren &nbsp;$r = 0.25$, &nbsp;$r = 0.5$&nbsp; und &nbsp;$r = 0.1$.&nbsp; Es sei daran erinnert,&nbsp; dass eine solche Konfiguration unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung unabhängig vom Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$&nbsp; optimal ist. Vor dem Entscheider ergibt sich stets ein vollständig geöffnetes Auge&nbsp; (siehe untere Bildreihe)&nbsp; und es gilt für den Systemwirkungsgrad: &nbsp; $\eta_{\rm L} = 1$.
[[Datei:P_ID1290__Dig_T_1_4_S5_v2.png|right|frame|Augendiagramme bei Wurzel-Nyquist-Konfigurationen|class=fit]]

Man erkennt aus dieser Darstellung:
*Der Sendeimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; erfüllt nicht die Nyquistbedingung: &nbsp; Das Auge am Sender&nbsp; (obere Bildreihe)&nbsp; ist nicht vollständig geöffnet und der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert.

*Der Crestfaktor &nbsp;$C_{\rm S} =  s_0/s_{\rm eff}$&nbsp; ist stets größer als&nbsp; $1$&nbsp; und damit der Wirkungsgrad &nbsp;$\eta_{\rm A}<1 $.&nbsp; Für &nbsp;$r = 0.5$:&nbsp; &nbsp;$C_{\rm S} \approx 1.45$&nbsp; &rArr; &nbsp;$\eta_{\rm A} \approx 0.47$.&nbsp; Das Detektions&ndash;SNR ist dann um  &nbsp;$10 \cdot \lg \ \eta_{\rm A} \approx 3.2 \ \rm dB$&nbsp; geringer als bei der Rechteck&ndash;Rechteck&ndash;Konfiguration.<br>

*Im Grenzfall &nbsp;$r = 0$&nbsp; gilt sogar &nbsp;$C_{\rm S} \to \infty$&nbsp; und &nbsp;$\eta_{\rm A} \to 0$. &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; fällt hier noch langsamer als mit &nbsp;$1/t$&nbsp; ab,&nbsp; und es gilt:
:$$\max_t\{ s(t) \} = \max_t \hspace{0.15cm}\left [  \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot
 T)\ \right ]\rightarrow \infty\hspace{0.05cm}.$$

*Begrenzt man das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; durch einen gegen Null gehenden Gewichtungsfaktor auf einen endlichen Maximalwert &nbsp;$s_0$, so führt dies zu einem geschlossenem Auge vor dem Entscheider.}}


== Optimierung des Rolloff–Faktors bei Spitzenwertbegrenzung ==
<br>
Für dieses letzte Unterkapitel wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
*Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; sei NRZ&ndash;rechteckförmig; &nbsp;bei Spitzenwertbegrenzung ist dies optimal.<br>

*Der Gesamtfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$&nbsp; erfülle die Nyquistbedingung.

*Der Nyquistfrequenzgang werde durch einen Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass realisiert: &nbsp;  $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm CRO}(f)$.

*Da die Impulsamplitude &nbsp;$g_0$&nbsp; unabhängig vom Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$&nbsp; ist, lässt sich die SNR&ndash;Maximierung auf die Minimierung der Rauschleistung am Entscheider zurückführen:
:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum,}
 \hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.5cm}
 H_{\rm E}(f) =\frac {H_{\rm CRO}(f)}{{\rm si}(\pi f T)}\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion &nbsp;$|H_{\rm E}(f)|^2$&nbsp; für drei verschiedene Rolloff&ndash;Faktoren.&nbsp; Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; vor dem Entscheider.&nbsp; Man erkennt aus dieser Darstellung:

[[Datei:P_ID1291__Dig_T_1_4_S6_v2.png|right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors bei Spitzenwertbegrenzung|class=fit]]

*Der Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r = 0$&nbsp; (Rechteck&ndash;Frequenzgang)&nbsp; führt trotz des sehr schmalbandigen Empfangsfilters nur zum Wirkungsgrad &nbsp;$\eta_{\rm A} \approx 0.65$,&nbsp; da&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; wegen der &nbsp;$\rm si$-Funktion im Nenner mit wachsendem &nbsp;$f$&nbsp; ansteigt.<br>

*Der Rolloff&ndash;Faktor &nbsp; $r = 1$&nbsp; bewirkt zwar ein doppelt so breites Spektrum,&nbsp; führt aber zu keiner Rauschanhebung.&nbsp; Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen,&nbsp; ergibt sich ein besserer Wert: &nbsp; $\eta_{\rm A} \approx 0.88$.

*Der größte Systemwirkungsgrad ergibt sich für &nbsp;$r \approx 0.8$&nbsp; (flaches Maximum)&nbsp; mit &nbsp; $\eta_{\rm A} \approx 0.89$.&nbsp; Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.<br>

*Durch Vergleich mit dem optimalen Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f) = {\rm si}(\pi f T)$&nbsp; bei Spitzenwertbegrenzung,&nbsp; der zum Ergebnis &nbsp;$\sigma_d^2 = N_0/(2T)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\eta_{\rm A}= 1$ führt,&nbsp; erhält man für den Systemwirkungsgrad:
:$$\eta_{\rm A} = \left  [T \cdot
 \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \right ]^{-1}
  \hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; 
*Das absolute Optimum bei Spitzenwertbegrenzzung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\eta_{\rm A}= 1$&nbsp; ergibt sich nur mit einem  rechteckförmigen Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und einer ebenfalls  rechteckförmigen Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; gleicher Breite &nbsp;$T$.

*Das beste Cosinus-Rolloff-Nyquistspektrum mit &nbsp;$r = 0.8$&nbsp; (blaue Kurve)&nbsp; ist gegenüber dem Matched-Filter&nbsp; (violett-gestrichelte Kurve)&nbsp; um ca. &nbsp;$0.5 \ \rm  dB$&nbsp; schlechter,&nbsp; da die Fläche unter der blauen Kurve um ca. &nbsp;$12\%$&nbsp; größer ist als die Fläche unter der violetten Kurve.

*Die so genannte &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme|Wurzel&ndash;Wurzel&ndash;Konfiguration]] &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm S}(f) = H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm CRO}(f)}$&nbsp; macht also nur Sinn,&nbsp; wenn man von Leistungsbegrenzung ausgeht.}}


==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:1.6_Wurzel-Nyquist-System|Aufgabe 1.6: Wurzel–Nyquist–System]]

[[Aufgaben:1.6Z_Zwei_Optimalsysteme|Aufgabe 1.6Z: Zwei Optimalsysteme]]

[[Aufgaben:1.7_Systemwirkungsgrade|Aufgabe 1.7: Systemwirkungsgrade]]

==Quellenverzeichnis==

<references/>


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