Quelltext der Seite Applets:Sampling of Analog Signals and Signal Reconstruction

{{LntAppletLinkEn|sampling}}
 
== Applet Description==
<br>
The applet deals with the system components&nbsp; &bdquo;sampling&rdquo;&nbsp; and&nbsp; &bdquo;signal reconstruction&rdquo;, two components that are of great importance for understanding the&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; $({\rm PCM})$&nbsp; for example. &nbsp; The upper graphic shows the model on which this applet is based.&nbsp; Below it are the samples&nbsp; $x(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; of the time continuous signal&nbsp; $x(t)$. The (infinite) sum over all these samples is called the sampled signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$. 

[[Datei:EN_Abtastung_1.png|center|frame|Top: &nbsp;&nbsp; Underlying model for sampling and signal reconstruction<br>Bottom: &nbsp; Example for time discretization of the continuous&ndash;time signal&nbsp; $x(t)$]]

*At the transmitter, the time discrete (sampled) signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; is obtained from the continuous&ndash;time signal&nbsp; $x(t)$.&nbsp; This process is called&nbsp; '''sampling''' &nbsp; or&nbsp; '''A/D conversion'''.  
*The corresponding program parameter for the transmitter is the sampling rate&nbsp; $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$.&nbsp; The lower graphic shows the sampling distance&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp;. 
*In the receiver, the discrete-time received signal&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; is used to generate the continuous-time sink signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; '''signal reconstruction'''&nbsp; or&nbsp; '''D/A conversion'''&nbsp; corresponding to the receiver frequency response&nbsp; $H_{\rm E}(f)$. 


The applet does not consider the PCM blocks&nbsp; &bdquo;Quantization&rdquo;and &nbsp;&bdquo;encoding/decoding&rdquo;. &nbsp; The digital transmission channel is assumed to be ideal.&nbsp; 

[[Datei:Abtastung_2_neu.png|right|frame|Receiver frequency response&nbsp; $H_{\rm E}(f)$]]

The following consequences result from this:
*In the program simplifying&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; is set.
* With suitable system parameters, the error signal &nbsp; $\varepsilon(t) = y(t)-x(t)\equiv 0$&nbsp; is therefore also possible. 


The sampling theorem and the signal reconstruction can be better explained in the frequency domain.&nbsp; Therefore all spectral functions are displayed in the program;

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t)$,&nbsp; $X_{\rm A}(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x_{\rm A}(t)$,&nbsp; $Y(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ y(t)$,&nbsp; $E(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ \varepsilon(t).$&nbsp;

Parameters for the receiver frequency response&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; are the cut&ndash;off frequency and the rolloff factor&nbsp; (see lower graph):
:$$f_{\rm G} = \frac{f_2 +f_1}{2},\hspace{1cm}r = \frac{f_2 -f_1}{f_2 +f_1}.$$

''Notes:''

'''(1)''' &nbsp; All signal values are normalized to&nbsp; $\pm 1$. 

'''(2)''' &nbsp; The power calculation is done by integration over the respective period duration&nbsp; $T_0$:
:$$P_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x^2(t)\ {\rm d}t,\hspace{0.8cm}P_\varepsilon = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} \varepsilon^2(t).$$

'''(3)''' &nbsp; The <u>signal power</u>&nbsp; $P_x$&nbsp; and the <u>distortion power</u>&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; are also output in normalized form, which implicitly assumes the reference resistance&nbsp; $R = 1\, \rm \Omega$&nbsp;;

'''(4)''' &nbsp; From these the <u>signal&ndash;distortion&ndash;distance</u>&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$&nbsp; can be calculated.
 
'''(5)''' &nbsp; Does the spectral function&nbsp; $X(f)$&nbsp; for positive frequencies consists of&nbsp; $I$&nbsp; Diraclines with the (possibly complex) weights&nbsp; $X_1$, ... , $X_I$,<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so applies to the transmission power taking into account the mirror-image lines at the negative frequencies:

:$$P_x = 2 \cdot \sum_{i=1}^I |X_k|^2.$$

'''(6)''' &nbsp; Correspondingly, the following applies to the distortion power if the spectral function&nbsp; $E(f)$&nbsp; in the range&nbsp; $f>0$&nbsp; has&nbsp; $J$&nbsp; Diraclines with weights&nbsp; $E_1$, ... , $E_J$: 

:$$P_\varepsilon = 2 \cdot \sum_{j=1}^J |E_j|^2.$$  

 
==Theoretical Background==


===Description of sampling in the time domain===

[[Datei:P_ID1120__Sig_T_5_1_S1_neu.png|center|frame|Zur Zeitdiskretisierung des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$]]

Im Folgenden verwenden wir für die Beschreibung der Abtastung folgende Nomenklatur:
*Das zeitkontinuierliche Signal sei&nbsp; $x(t)$.
*Das in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastete zeitdiskretisierte Signal sei&nbsp; $x_{\rm A}(t)$.
*Außerhalb der Abtastzeitpunkte&nbsp; $\nu \cdot T_{\rm A}$&nbsp; gilt stets&nbsp; $x_{\rm A}(t) \equiv 0$.
*Die Laufvariable&nbsp; $\nu$&nbsp; sei&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Reelle_Zahlenmengen|ganzzahlig]]:  &nbsp; &nbsp; $\nu \in \mathbb{Z} =  \{\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , –3, –2, –1, \hspace{0.2cm}0, +1, +2, +3, \text{...} \hspace{0.05cm}\} $.
*Dagegen ergibt sich zu den äquidistanten Abtastzeitpunkten mit der Konstanten&nbsp; $K$:
 
:$$x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A}) = K \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante hängt von der Art der Zeitdiskretisierung ab. Für die obige Skizze gilt&nbsp; $K = 1$.
<br><br>
===Description of sampling with Dirac pulse (Ist das richtig?)===

Im Folgenden gehen wir von einer geringfügig anderen Beschreibungsform aus.&nbsp; Die folgenden Seiten werden zeigen, dass diese gewöhnungsbedürftigen Gleichungen durchaus zu sinnvollen Ergebnissen führen, wenn man sie konsequent  anwendet.

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Definitionen:}$&nbsp;

* Unter&nbsp; '''Abtastung'''&nbsp; verstehen wir hier die Multiplikation des zeitkontinuierlichen Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit einem&nbsp; '''Diracpuls''':

:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.05cm}.$$

*Der&nbsp; '''Diracpuls (im Zeitbereich)'''&nbsp; besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit gleichem Impulsgewicht&nbsp; $T_{\rm A}$:
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
 \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$}}
 

Aufgrund dieser Definition ergeben sich für das abgetastete Signal folgende Eigenschaften:
:$$x_{\rm A}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A})\cdot
 \delta (t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

*Das abgetastete Signal zum betrachteten Zeitpunkt&nbsp; $(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; ist gleich&nbsp; $T_{\rm A} \cdot x(\nu \cdot T_{\rm A}) · \delta (0)$.
*Da&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; unendlich ist, sind eigentlich alle Signalwerte&nbsp; $x_{\rm A}(\nu \cdot T_{\rm A})$&nbsp; ebenfalls unendlich groß und auch der oben eingeführte Faktor&nbsp; $K$.
*Zwei Abtastwerte&nbsp; $x_{\rm A}(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm A}(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; unterscheiden sich jedoch  im gleichen Verhältnis wie die Signalwerte&nbsp; $x(\nu_1 \cdot T_{\rm A})$&nbsp; und&nbsp; $x(\nu_2 \cdot T_{\rm A})$.
*Die Abtastwerte von&nbsp; $x(t)$&nbsp; erscheinen in den Impulsgewichten der Diracfunktionen:
*Die zusätzliche Multiplikation mit&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; ist erforderlich, damit&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; gleiche Einheit besitzen.&nbsp; Beachten Sie hierbei, dass&nbsp; $\delta (t)$&nbsp; selbst die Einheit „1/s” aufweist.


===Description of sampling in the frequency domain===

Zum Spektrum des abgetasteten Signals&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; kommt man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Frequenzbereich|Faltungssatzes]]. Dieser besagt, dass der Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Spektralbereich entspricht:
 
:$$x_{\rm A}(t) = x(t) \cdot p_{\delta}(t)\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm}
 X_{\rm A}(f) = X(f) \star P_{\delta}(f)\hspace{0.05cm}.$$

Entwickelt man den&nbsp; Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$ &nbsp; (im Zeitbereich) &nbsp; in eine&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; und transformiert diese unter Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]&nbsp; in den Frequenzbereich, so ergibt sich mit dem Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; zweier benachbarter Diraclinien im Frequenzbereich  folgende Korrespondenz &nbsp; &rArr; &nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Beweis]]:
 
:$$p_{\delta}(t) =  \sum_{\nu = - \infty }^{+\infty} T_{\rm A} \cdot
 \delta(t- \nu \cdot T_{\rm A}
 )\hspace{0.2cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.2cm} P_{\delta}(f) =  \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
 (f- \mu \cdot f_{\rm A} ).$$

[[Datei:P_ID1121__Sig_T_5_1_S3_NEU.png|right|frame|Diracpuls im Zeit- und Frequenzbereich  mit&nbsp; $T_{\rm A} = 50\ {\rm &micro;s}$&nbsp; und&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 20\ \text{kHz}$]]
Das Ergebnis besagt:
*Der Diracpuls&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp; im Zeitbereich besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, jeweils im gleichen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit gleichem Impulsgewicht&nbsp; $T_{\rm A}$.
*Die Fouriertransformierte von&nbsp; $p_{\delta}(t)$&nbsp;  ergibt wiederum einen Diracpuls, aber nun im Frequenzbereich  &nbsp; ⇒  &nbsp; $P_{\delta}(f)$.
*Auch&nbsp; $P_{\delta}(f)$&nbsp; besteht aus unendlich vielen Diracimpulsen, nun im jeweiligen Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; und alle mit dem Impulsgewicht&nbsp; $1$.
*Die Abstände der Diraclinien in Zeit– und Frequenzbereich folgen demnach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz]]: &nbsp; $T_{\rm A} \cdot f_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$


Daraus folgt: &nbsp; Aus dem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird durch Faltung mit der um&nbsp; $\mu \cdot f_{\rm A}$&nbsp; verschobenen Diraclinie:
 
:$$X(f) \star \delta
 (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 )= X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

Wendet man dieses Ergebnis auf alle Diraclinien des Diracpulses an, so erhält man schließlich:
 
:$$X_{\rm A}(f) = X(f) \star \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} \delta
 (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 ) = \sum_{\mu = - \infty }^{+\infty} X (f- \mu \cdot f_{\rm A}
 )\hspace{0.05cm}.$$

{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Abtastung des analogen Zeitsignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; in äquidistanten Abständen&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; führt im Spektralbereich zu einer&nbsp; '''periodischen Fortsetzung'''&nbsp; von&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit dem Frequenzabstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$.}}


[[Datei:P_ID1122__Sig_T_5_1_S4_neu.png|right|frame|Spektrum des abgetasteten Signals]]
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
Die obere Grafik zeigt&nbsp; '''(schematisch!)'''&nbsp; das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Analogsignals&nbsp; $x(t)$, das Frequenzen bis&nbsp; $5 \text{ kHz}$&nbsp; beinhaltet.

Tastet man das Signal mit der Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}\,\text{ = 20 kHz}$, also im jeweiligen Abstand&nbsp; $T_{\rm A}\, = {\rm 50 \, &micro;s}$&nbsp; ab, so erhält man das unten skizzierte periodische Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$. 
*Da die Diracfunktionen unendlich schmal sind, beinhaltet das abgetastete Signal&nbsp;  $x_{\rm A}(t)$&nbsp; auch beliebig hochfrequente Anteile. 
*Dementsprechend ist die Spektralfunktion&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des abgetasteten Signals bis ins Unendliche ausgedehnt.}}


===Signal reconstruction===

[[Datei:P_ID1123__Sig_T_5_1_S5a_neu.png|right|frame|Gemeinsames Modell von &bdquo;Signalabtastung&rdquo; und &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;]]
Die Signalabtastung ist bei einem digitalen Übertragungssystem kein Selbstzweck, sondern sie muss irgendwann wieder rückgängig gemacht werden.&nbsp; Betrachten wir zum Beispiel das folgende System: 
*Das Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der  Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; wird wie oben beschrieben abgetastet. 
*Am Ausgang eines idealen Übertragungssystems liegt das ebenfalls zeitdiskrete Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; vor. 
*Die Frage ist nun, wie der Block &nbsp; '''Signalrekonstruktion''' &nbsp; zu gestalten ist, damit auch&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; gilt.

[[Datei:P_ID1124__Sig_T_5_1_S5b_neu.png|right|frame|Frequenzbereichsdarstellung der &bdquo;Signalrekonstruktion&rdquo;]]
<br>Die Lösung ist einfach, wenn man die Spektralfunktionen betrachtet: &nbsp; 

Man erhält aus&nbsp; $Y_{\rm A}(f)$&nbsp; das Spektrum&nbsp; $Y(f) = X(f)$&nbsp; durch ein Tiefpass&nbsp;Filter mit dem&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich#.C3.9Cbertragungsfunktion_-_Frequenzgang|Frequenzgang]]&nbsp; $H_{\rm E}(f)$, der&nbsp;

*die tiefen Frequenzen unverfälscht durchlässt:
:$$H_{\rm E}(f) = 1 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \le B_{\rm
  NF}\hspace{0.05cm},$$
*die hohen Frequenzen vollständig unterdrückt:
:$$H_{\rm E}(f) = 0 \hspace{0.3cm}{\rm{f\ddot{u}r}} \hspace{0.3cm} |f| \ge f_{\rm A} - B_{\rm
  NF}\hspace{0.05cm}.$$
 
Weiter ist aus der nebenstehenden Grafik zu erkennen: &nbsp; Solange die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt sind, kann&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; bis&nbsp; $f_{\rm A}–B_{\rm NF}$&nbsp; beliebig geformt sein kann, 
*beispielsweise linear abfallend (gestrichelter Verlauf) 
*oder auch rechteckförmig, 


===The Sampling Theorem===

Die vollständige Rekonstruktion des Analogsignals&nbsp; $y(t)$&nbsp; aus dem abgetasteten Signal&nbsp; $y_{\rm A}(t) = x_{\rm A}(t)$&nbsp; ist nur möglich, wenn die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; entsprechend der Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF}$&nbsp; des Nachrichtensignals richtig gewählt wurde. 

Aus der obigen Grafik  erkennt man, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss: &nbsp; $f_{\rm A} - B_{\rm   NF} > B_{\rm   NF} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm A} > 2 \cdot  B_{\rm   NF}\hspace{0.05cm}.$
 
{{BlaueBox|TEXT=
$\text{Abtasttheorem:}$&nbsp; Besitzt ein Analogsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; nur Spektralanteile im Bereich&nbsp; $\vert f \vert < B_{\rm NF}$, so kann dieses aus seinem abgetasteten Signal&nbsp; $x_{\rm A}(t)$&nbsp; nur dann vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate hinreichend groß ist:
:$$f_{\rm A} ≥ 2 \cdot B_{\rm NF}.$$ 

Für den Abstand zweier Abtastwerte muss demnach gelten:
 
:$$T_{\rm A} \le \frac{1}{ 2 \cdot B_{\rm   NF} }\hspace{0.05cm}.$$}}


Wird bei der Abtastung der größtmögliche Wert &nbsp; ⇒ &nbsp; $T_{\rm A} = 1/(2B_{\rm NF})$&nbsp; herangezogen, 
*so muss zur Signalrekonstruktion des Analogsignals aus seinen Abtastwerten 
*ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 1/(2T_{\rm A})$&nbsp; verwendet werden.


{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Grafik zeigt oben das auf&nbsp; $\pm\text{ 5 kHz}$&nbsp; begrenzte Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Analogsignals, unten das Spektrum&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; des im Abstand&nbsp; $T_{\rm A} =\,\text{ 100 &micro;s}$&nbsp; abgetasteten Signals &nbsp; ⇒ &nbsp; $f_{\rm A}=\,\text{ 10 kHz}$. 
[[Datei:P_ID1125__Sig_T_5_1_S6_neu.png|right|frame|Abtasttheorem im Frequenzbereich]]
Zusätzlich eingezeichnet ist der Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; des tiefpassartigen Empfangsfilters zur Signalrekonstruktion, dessen Grenzfrequenz exakt&nbsp; $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2 = 5\,\text{ kHz}$&nbsp; betragen muss.


*Mit jedem anderen&nbsp; $f_{\rm G}$–Wert ergäbe sich&nbsp; $Y(f) \neq X(f)$. 
*Bei&nbsp; $f_{\rm G} < 5\,\text{ kHz}$&nbsp; fehlen die oberen&nbsp; $X(f)$–Anteile.
* Bei&nbsp; $f_{\rm G} > 5\,\text{ kHz}$&nbsp; kommt es aufgrund von Faltungsprodukten zu unerwünschten Spektralanteilen in&nbsp; $Y(f)$.


Wäre am Sender die Abtastung mit einer Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} < 10\ \text{ kHz}$&nbsp;  erfolgt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $T_{\rm A} >100 \ {\rm &micro;  s}$, so wäre das Analogsignal&nbsp; $y(t) = x(t)$&nbsp; aus den Abtastwerten&nbsp; $y_{\rm A}(t)$&nbsp; auf keinen Fall rekonstruierbar.}}
<br clear=all>
==Exercises==
<br>
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]

*First, select the number&nbsp; ('''1''', ... , '''10''')&nbsp; of the task to be processed.
*A task description is displayed. The parameter values are adjusted.
*Solution after pressing &bdquo;sample solution&rdquo;.
*The number&nbsp; '''0'''&nbsp; corresponds to a &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Same setting as at program start.
*All signal values are normalized to&nbsp; $\pm 1$&nbsp; to be understood.&nbsp; Powers are normalized values, too.  


{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Source signal:&nbsp; $x(t) = A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t -\varphi)$&nbsp; with&nbsp; $f_0 = \text{4 kHz}$. &nbsp; Sampling with&nbsp; $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$.&nbsp; Rectanglular low pass;&nbsp; cut-off frequency:&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$. <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Interpret the shown graphics and evaluate the present signal reconstruction for all permitted parameter values of&nbsp;$A$&nbsp; and&nbsp;$\varphi$. }}

*&nbsp;The spectrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; consists of two dirac functions at&nbsp; $\pm \text{4 kHz}$, each with pulse weight &nbsp;$0.5$. 
*&nbsp;By the periodic continuation&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; has lines of equal height at&nbsp; $\pm \text{4 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{6 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{14 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{16 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{24 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{26 kHz}$,&nbsp; etc.
*&nbsp;The rectanglular low pass with the cut-off frequency&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$&nbsp; removes all lines except the two at&nbsp; $\pm \text{4 kHz}$&nbsp; &rArr; &nbsp;$Y(f) =X(f)$&nbsp; &rArr; &nbsp;$y(t) =x(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp; $P_\varepsilon = 0$.
*&nbsp;The signal reconstruction works perfectly here&nbsp; $(P_\varepsilon = 0)$&nbsp; for all amplitudes&nbsp;$A$&nbsp; and any phases&nbsp;$\varphi$.


{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Continue with&nbsp; $A=1$,&nbsp; $f_0 = \text{4 kHz}$,&nbsp; $\varphi=0$,&nbsp; $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$. &nbsp; Which results do the rolloff&ndash;factors&nbsp; $r=0.2$,&nbsp; $r=0.5$&nbsp; and &nbsp; $r=1$ provide?   <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Specify the power values&nbsp; $P_x$&nbsp; and&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp;. &nbsp; For which&nbsp; $r$&ndash;values is&nbsp; $P_\varepsilon= 0$?&nbsp; Do these results also apply to other&nbsp; $A$&nbsp; and&nbsp; $\varphi$?  }}

:*&nbsp;With&nbsp; $|X_1|=0.5$&nbsp; the signal power is&nbsp; $P_x = 2\cdot 0.5^2 = 0.5$.&nbsp; The distortion power&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; depends significantly on the rolloff&ndash;factor&nbsp; $r$&nbsp;.
:*&nbsp;$P_\varepsilon$&nbsp; is zero for&nbsp; $r \le 0.2$.&nbsp;  The&nbsp; $X_{\rm A}(f)$ line at&nbsp; $f_0 = \text{4 kHz}$&nbsp; is not changed by the low pass and the unwanted&nbsp; line at&nbsp; $\text{6 kHz}$&nbsp; is fully suppressed.
:*&nbsp;$r = 0.5$&nbsp;:&nbsp; $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.35$,&nbsp; $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.15$&nbsp; &rArr; &nbsp; $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0. 15$&nbsp; &rArr; &nbsp;$P_\varepsilon = 0.09$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=7.45\ \rm dB$.
:*$r = 1.0$&nbsp;:&nbsp; $Y(f = \text{4 kHz}) = 0.3$,&nbsp; $Y(f = \text{6 kHz}) = 0.2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $|E(f = \text{4 kHz})| = |E(f = \text{6 kHz})|= 0. 2$&nbsp; &rArr; &nbsp;$P_\varepsilon = 0.16$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=4.95\ \rm dB$.
:*&nbsp;For all&nbsp; $r$&nbsp; the distortion power  $P_\varepsilon$&nbsp; is independent of&nbsp; $\varphi$. &nbsp; The amplitude&nbsp; $A$&nbsp; affects&nbsp; $P_x$&nbsp; and&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; in the same way &nbsp; &rArr; &nbsp; the quotient is independent of&nbsp; $A$.
    
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Nun gelte&nbsp; $A=1$,&nbsp; $f_0 = \text{5 kHz}$,&nbsp; $\varphi=0$,&nbsp; $f_{\rm A} = \text{10 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5 kHz}$,&nbsp; $r=0$&nbsp; $($Rechteck&ndash;Tiefpass$)$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis der Signalrekonstruktion.}}

:*&nbsp;$X(f)$&nbsp; besteht aus zwei Diraclinien bei&nbsp; $\pm \text{5 kHz}$&nbsp; $($Gewicht &nbsp;$0.5)$. &nbsp;Durch die periodische Fortsetzung hat&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; Linien bei&nbsp; $\pm \text{5 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{15 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{25 kHz}$,&nbsp; usw.
:*&nbsp; Der Rechteck&ndash;Tiefpass entfernt die Linien bei&nbsp; $\pm \text{15 kHz}$,&nbsp; $\pm \text{25 kHz}$,&nbsp;  Die Linien bei&nbsp; $\pm \text{5 kHz}$&nbsp; werden wegen&nbsp; $H_{\rm E}(\pm f_{\rm G}) = H_{\rm E}(\pm \text{5 kHz}) = 0.5$ halbiert 
:*&nbsp;&nbsp; &rArr; &nbsp;  $\text{Gewichte von }X(f = \pm \text{5 kHz})$:&nbsp; $0.5$ &nbsp; | &nbsp; $\text{Gewichte von }X(f_{\rm A} = \pm \text{5 kHz})$:&nbsp; $1.0$; &nbsp; &nbsp; | &nbsp; $\text{Gewichte von }Y(f = \pm \text{5 kHz})$:&nbsp; $0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y(f)=X(f)$.
:*&nbsp;Die Signalrekonstruktion funktioniert also auch hier perfekt&nbsp; $(P_\varepsilon = 0)$.&nbsp; Das gilt auch für die Phase&nbsp; $\varphi=180^\circ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t) = -A \cdot \cos (2\pi \cdot f_0 \cdot t)$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von&nbsp; '''(3)'''&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi=30^\circ$.&nbsp; Interpretieren Sie die Unterschiede gegenüber der Einstellung&nbsp; '''(3)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi=0^\circ$.}}

:*&nbsp;Die Phasenbeziehung geht verloren.&nbsp; Das Sinkensignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; verläuft cosinusförmig&nbsp; $(\varphi_y=0^\circ)$&nbsp; mit um&nbsp; $\cos(\varphi_x)$&nbsp; kleinerer Amplitude als das Quellensignal&nbsp; $x(t)$.
:*&nbsp;Begründung im Frequenzbereich:&nbsp; Bei der periodische Fortsetzung von&nbsp; $X(f)$&nbsp; &rArr;&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; sind nur die Realteile zu addieren.&nbsp; Die Imaginärteile löschen sich aus.
:*&nbsp;Die&nbsp; $f_0$&ndash;Diraclinie von&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ist reell, die von&nbsp; $X(f)$&nbsp; komplex und die von&nbsp; $E(f)$&nbsp; imaginär &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varepsilon(t)$&nbsp; verläuft minus&ndash;sinusförmig &nbsp; &rArr; &nbsp;   $P_\varepsilon = 0.125$. 

'''Carolin: Bitte letzte Zeile der Musterlösung ändern'''

{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Verdeutlichen Sie sich nochmals das Ergebnis von&nbsp; '''(4)'''&nbsp; im Vergleich zu den Einstellungen&nbsp; $f_0 = \text{5 kHz}$,&nbsp; $\varphi=30^\circ$,&nbsp; $f_{\rm A} = \text{11 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{5.5 kHz}$.}}
:*&nbsp;Bei dieser Einstellung hat das&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&ndash;Spektrum auch einen positiven Imaginärteil bei&nbsp; $\text{5 kHz}$&nbsp; und einen negativen Imaginärteil gleicher Höhe bei&nbsp; $\text{6 kHz}$.
:*&nbsp;Der Rechteck&ndash;Tiefpass mit der Grenzfrequenz&nbsp; $\text{5.5 kHz}$&nbsp; entfernt diesen zweiten Anteil.&nbsp; Somit ist bei dieser Einstellung&nbsp; $Y(f) =X(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_\varepsilon = 0$.
:*&nbsp;Jede&nbsp; $f_0$&ndash;Schwingung beliebiger Phase ist fehlerfrei aus seinen Abtastwerten rekonstruierbar, falls&nbsp; $f_{\rm A} =  2 \cdot f_{\rm 0} + \mu, \ f_{\rm G}= f_{\rm A}/2$&nbsp; $($beliebig kleines $\mu>0)$.
:*&nbsp;Bei <u>wertkontinuierlichem</u> Spektrum mit &nbsp; $X(|f|> f_0) \equiv 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; $\big[$keine Diraclinien bei $\pm f_0 \big ]$  genügt grundsätzlich die Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} =  2 \cdot f_{\rm 0}$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $\varphi=90^\circ$.&nbsp; Interpretieren Sie die Darstellungen im Zeit&ndash; und Frequenzbereich.}}     
:*&nbsp;Das Quellensignal wird genau bei seinen Nulldurchgängen abgetastet &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm A}(t) \equiv 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;$y(t) \equiv 0$&nbsp; &rArr; &nbsp;$\varepsilon(t)=-x(t)$&nbsp; &rArr; &nbsp;$P_\varepsilon = P_x$&nbsp; &rArr; &nbsp;$10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=0\ \rm dB$.
:*&nbsp;Beschreibung im Frequenzbereich:&nbsp; Wie in&nbsp; '''(4)'''&nbsp; löschen sich die Imaginärteile von&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; aus.&nbsp; Auch die Realteile von&nbsp; $X_{\rm A}(f)$&nbsp; sind wegen des Sinusverlaufs Null.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''&nbsp; Nun betrachten wir das&nbsp; $\text {Quellensignal 2}$.&nbsp; Die weiteren Parameter seien&nbsp; $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,&nbsp; $r=0$.&nbsp; Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}     
:*&nbsp;Das Quellensignal besitzt Spektralanteile bis&nbsp; $\pm \text{2 kHz}$.&nbsp; Die Signalleistung ist $P_x = 2 \cdot \big[0.1^2 + 0.25^2+0.15^2\big]= 0.19 $.&nbsp; 
:*&nbsp;Mit der Abtastrate&nbsp; $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$&nbsp; sowie den Empfängerparametern&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$&nbsp; und&nbsp;  $r=0$ funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt:&nbsp; $P_\varepsilon = 0$.
:*&nbsp;Ebenso mit dem Trapez&ndash;Tiefpass mit&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$, wenn für den Rolloff&ndash;Faktor gilt:&nbsp;   $r \le 0.2$.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''&nbsp; Was passiert, wenn die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = \text{1.5 kHz}$&nbsp; des Rechteck&ndash;Tiefpasses zu klein ist?&nbsp; Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}  
:*&nbsp;Das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=-0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t -60^\circ)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{2 kHz} \cdot t +120^\circ)$&nbsp; ist gleich dem (negierten) Signalanteil bei&nbsp; $\text{2 kHz}$.&nbsp; '''Stimmt das?'''
:*&nbsp;Die Verzerrungsleistung ist&nbsp; $P_\varepsilon(t)=2 \cdot 0.15^2= 0.045$&nbsp; und der Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungsabstand&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)=10 \cdot \lg \ (0.19/0.045)= 6.26\ \rm dB$.  

{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''&nbsp; Was passiert, wenn die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = \text{3.5 kHz}$&nbsp; des Rechteck&ndash;Tiefpasses zu groß ist?&nbsp; Interpretieren Sie insbesondere das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=y(t)-x(t)$.}}
:*&nbsp;Das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon(t)=0.3 \cdot \cos(2\pi \cdot \text{3 kHz} \cdot t +60^\circ)$&nbsp; ist nun gleich dem vom Tiefpass nicht entfernten $\text{3 kHz}$&ndash;Anteil des Sinkensignals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; '''Stimmt das?'''
:*&nbsp;Gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(8)'''&nbsp; verändert sich die Frequenz von&nbsp; $\text{2 kHz}$&nbsp; auf&nbsp; $\text{3 kHz}$&nbsp; und auch die Phasenbeziehung.
:*&nbsp;Die Amplitude dieses&nbsp; $\text{3 kHz}$&ndash;Fehlersignals ist gleich der Amplitude des&nbsp; $\text{2 kHz}$&ndash;Anteils von$x(t)$.&nbsp; Auch hier gilt&nbsp; $P_\varepsilon(t)= 0.045$,&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)= 6.26\ \rm dB$.

{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''&nbsp; Abschließend betrachten wir das&nbsp; $\text {Quellensignal 4}$&nbsp; $($Anteile bis&nbsp; $\pm \text{4 kHz})$, sowie&nbsp; $f_{\rm A} = \text{5 kHz}$,&nbsp; $f_{\rm G} = \text{2.5 kHz}$,&nbsp; $0 \le r\le 1$.&nbsp; Interpretation der Ergebnisse.}}     
:*&nbsp;Bis zum Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; $r=0.2$&nbsp; funktioniert die Signalrekonstruktion perfekt&nbsp; $(P_\varepsilon = 0)$.&nbsp; Erhöht man&nbsp; $r$, so nimmt&nbsp; $P_\varepsilon$&nbsp; kontinuierlich zu und&nbsp; $10 \cdot \lg \ (P_x/P_\varepsilon)$&nbsp; ab.  
:*&nbsp;Mit&nbsp; $r=1$&nbsp; werden die Signalfrequenzen&nbsp; $\text{0.5 kHz}$,&nbsp; ...,&nbsp; $\text{4 kHz}$&nbsp; abgeschwächt, umso mehr, je höher die Frequenz ist, zum Beispiel&nbsp; $H_{\rm E}(f=\text{4 kHz}) = 0.6$.
:*&nbsp;Ebenso beinhaltet&nbsp; $Y(f)$&nbsp; aufgrund der periodischen Fortsetzung auch Anteile bei den Frequenzen&nbsp; $\text{6 kHz}$,&nbsp; $\text{7 kHz}$,&nbsp; $\text{8 kHz}$,&nbsp; $\text{9 kHz}$&nbsp; und&nbsp; $\text{9.5 kHz}$.
:*&nbsp;Zu den Abtastzeitpunkten&nbsp; $t\hspace{0.05cm}' = n \cdot T_{\rm A}$&nbsp; stimmen&nbsp; $x(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und&nbsp; $y(t\hspace{0.05cm}')$&nbsp; exakt überein  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varepsilon(t\hspace{0.05cm}') = 0$.&nbsp; Dazwischen nicht &nbsp; &rArr; &nbsp; kleine Verzerrungsleistung&nbsp; $P_\varepsilon = 0.008$.

'''Carolin: Bitte zweite Zeile der Musterlösung ändern<br>
'''Außerdem müssten bei den Signalen 2 bis 4 jeweils der Phasenwert phi_1 = 180 Grad ausgegeben werden (Realteil von 1 kHz jeweils negativ)

 


==Applet Manual==
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[[Datei:Anleitung_Auge.png|right|600px]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl: &nbsp; Codierung <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(binär,&nbsp; quaternär,&nbsp; AMI&ndash;Code,&nbsp; Duobinärcode) 

&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl: &nbsp; Detektionsgrundimpuls<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (nach Gauß&ndash;TP,&nbsp; CRO&ndash;Nyquist,&nbsp; nach Spalt&ndash;TP}

&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Prametereingabe zu&nbsp; '''(B)'''<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(Grenzfrequenz,&nbsp; Rolloff&ndash;Faktor,&nbsp; Rechteckdauer)  

&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Steuerung der Augendiagrammdarstellung<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(Start,&nbsp; Pause/Weiter,&nbsp; Einzelschritt,&nbsp; Gesamt,&nbsp; Reset)

&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Geschwindigkeit der Augendiagrammdarstellung

&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung:&nbsp; Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$ 

&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung:&nbsp; Detektionsnutzsignal &nbsp;$d_{\rm S}(t - \nu \cdot T)$

&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Darstellung:&nbsp; Augendiagramm im Bereich &nbsp;$\pm T$

&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe:&nbsp; $ö_{\rm norm}$&nbsp; (normierte Augenöffnung)  

&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Prametereingabe &nbsp;$10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$&nbsp; für&nbsp; '''(K)'''

&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe:&nbsp; $\sigma_{\rm norm}$&nbsp; (normierter Rauscheffektivwert)

&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe:&nbsp; $p_{\rm U}$&nbsp; (ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit)

&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Aufgabenauswahl

&nbsp; &nbsp; '''(N)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Aufgabenstellung

&nbsp; &nbsp; '''(O)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Musterlösung einblenden
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==About the Authors==
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert. 
*Die erste Version wurde 2008 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Slim_Lamine_.28Studienarbeit_EI_2006.29|Slim Lamine]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]). 
* 2020 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]]).


Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch&nbsp; [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]&nbsp; der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

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==Once again:&nbsp; Open Applet in new Tab==

{{LntAppletLinkEn|sampling}}