Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen

}}

[[Datei:P_ID2384__KC_A_1_4.png|right|frame|Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung]]

Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik.&nbsp; Berücksichtigt sind dabei:
*Ein systematischer&nbsp; $(5, 2)$–Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; mit den Codeworten
:$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
*ein digitales&nbsp; (binäres)&nbsp; Kanalmodell,&nbsp; das den Vektor&nbsp; $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; in den Vektor&nbsp; $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; verfälscht;

*ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]&nbsp; (kurz: &nbsp; "ML–Decoder") &nbsp;mit der Entscheidungsregel
:$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$

Hier bezeichnet&nbsp; $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]]&nbsp; zwischen dem Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; und dem&nbsp; (möglicherweise)&nbsp; gesendeten Codewort&nbsp; $\underline{x_{i}}$.






Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und  Entscheiderstrukturen"]]. 
 



===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$.&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
|type="[]"}
- $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
- $\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
+ $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
- $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.


{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$.&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
|type="[]"}
+ $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
+ $\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
- $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
- $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$,&nbsp; wenn ihm mitgeteilt wird,&nbsp; dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?
|type="[]"}
- $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
- $\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
+ $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
- $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.



{Zu welchem Informationswort&nbsp; $v = (v_{1}, v_{2})$&nbsp; führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?
|type="{}"}
$v_{1} \ = \ $  { 1 }
$v_{2} \ = \ $ { 0. }



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$:
*Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$&nbsp; und den vier möglichen Codeworten&nbsp; $\underline{x}_{i}$&nbsp; ergeben sich wie folgt:
:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 3\hspace{0.05cm}.$$
*Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1$.



'''(2)'''&nbsp; Für&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$&nbsp; sind die&nbsp; <u>Antworten 1 und 2</u>&nbsp; richtig,&nbsp; wie die folgende Rechnung zeigt:
:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 4\hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
*Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von&nbsp; $x_{2}$&nbsp; genau so möglich wie für&nbsp; $x_{3}$,&nbsp; wenn $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$&nbsp; empfangen wird:
:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 1\hspace{0.05cm}.$$
*Der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; unterscheidet sich aber von&nbsp; $x_{2}$&nbsp; bezüglich des vierten Bits und von&nbsp; $x_{3}$&nbsp; im zweiten Bit.
* Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite,&nbsp; wird er sich für&nbsp; $x_{2}$&nbsp; entscheiden .



'''(4)'''&nbsp; Da es sich hier um einen systematischen Code handelt,&nbsp; ist die Entscheidung für&nbsp; $\underline{z} = (1, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; gleichbedeutend mit der Entscheidung 
:$$v_{1}  \ \underline{ = 1}, \ v_{2} \  \underline{= 0}.$$

*Es ist nicht sicher,&nbsp; dass&nbsp; $\underline{u} = (1, 0)$&nbsp;  tatsächlich gesendet wurde. 

*Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$&nbsp; hierfür am größten.

{{ML-Fuß}}



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^]]