Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.10Z: Rauschen bei ZSB-AM und ESB-AM


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation
}}

[[Datei:P_ID1046__Mod_Z_2_9.png|right|frame|Gemeinsames Blockschaltbild für ZSB-AM und ESB-AM]]
Nun soll der Einfluss von Rauschen auf den Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; bei&nbsp; "ZSB–AM"&nbsp; bzw.&nbsp; "ESB–AM"&nbsp; vergleichend gegenübergestellt werden.&nbsp; Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Blockschaltbild.


Rot hervorgehoben sind in diesem Bild die Unterschiede zwischen den beiden Systemvarianten,&nbsp; nämlich der Modulator&nbsp; (ZSB bzw. ESB)&nbsp; sowie die dimensionslose Konstante
:$$ K = \left\{ \begin{array}{c} 2/\alpha_{\rm K} \\ 4/\alpha_{\rm K} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm ZSB} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm ESB} \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$
des empfängerseitigen Trägersignals &nbsp;$z_{\rm E}(t) = K · \cos(ω_{\rm T} · t)$,&nbsp; das als frequenz- und phasensynchron mit dem Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; beim Sender angenommen werden soll.

In grüner Farbe beschriftet sind diejenigen Systemkenngrößen, die in der gemeinsamen Leistungskenngröße zusammengefasst sind: 
:$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$

Weiter ist zu beachten:
* Das Cosinussignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Frequenz &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; steht stellvertretend für ein aus mehreren Frequenzen zusammengesetztes Quellensignal der Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$.
*Der Zusammenhang zwischen der Sendeleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; und der Leistung&nbsp; $P_{q}$&nbsp; hängt unter anderem vom Modulationsverfahren ab.
* Die ZSB–AM mit Träger wird durch den Modulationsgrad &nbsp;$m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; parametrisiert,&nbsp; während die ESB–AM durch das Seitenband–zu–Träger–Verhältnis &nbsp;$μ = A_{\rm N}/(2 · A_{\rm T})$&nbsp; bestimmt ist.
* Der frequenzunabhängige Kanalübertragungsfaktor &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; wird durch die Konstante &nbsp;$K$&nbsp; ausgeglichen,&nbsp; so dass im rauschfreien Fall &nbsp;$(N_0 = 0)$&nbsp; das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; mit dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; übereinstimmt.
* Das Sinken–SNR kann somit wie folgt angegeben werden&nbsp; $(T_0$ gibt hierbei die Periodendauer des Quellensignals an$)$:
:$$ \rho_{v } = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} P_{q} = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int_{0}^{ T_{\rm 0}} {q^2(t)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t, \hspace{0.5cm}P_{\varepsilon} = \int_{-B_{\rm NF}}^{ +B_{\rm NF}} \hspace{-0.1cm}{\it \Phi_{\varepsilon}}(f)\hspace{0.1cm}{\rm d}f\hspace{0.05cm}.$$





Hinweise: 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation#Seitenband.E2.80.93zu.E2.80.93Tr.C3.A4ger.E2.80.93Verh.C3.A4ltnis|Seitenband-zu-Träger-Verhältnis]].
*Die Ergebnisse für die ZSB–AM finden Sie auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Sinken-SNR_und_Leistungskenngr.C3.B6.C3.9Fe|Sinken-SNR und Leistungskenngröße]].
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Demodulation wird hier betrachtet?
|type="()"}
+ Synchrondemodulation.
-  Hüllkurvendemodulation.

{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Größen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; bei der&nbsp;  "<u>ZSB–AM ohne Träger</u>"&nbsp; $(m → ∞)$?
|type="[]"}
- Es gilt &nbsp;$ρ_v = 2 · ξ$.
+ Es gilt &nbsp;$ρ_v = ξ$.
- Es gilt &nbsp;$ρ_v = ξ/2$.

{Welcher Zusammenhang besteht zwischen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; bei der&nbsp;  "<u>ESB–AM ohne Träger</u>"&nbsp; $(μ → ∞)$?
|type="[]"}
- Es gilt &nbsp;$ρ_v = 2 · ξ$.
+ Es gilt &nbsp;$ρ_v = ξ$.
- Es gilt &nbsp;$ρ_v = ξ/2$.

{Es gelte &nbsp;$ξ = 10^4$.&nbsp; Berechnen Sie den Sinken–Störabstand der&nbsp; "<u>ZSB–AM ohne Träger</u>"&nbsp; für den Modulationsgrad &nbsp;$m = 0.5$&nbsp; bzw. &nbsp;$m = 1$.
|type="{}"}
$m = 0.5\text{:} \ \   10 · \lg \ ρ_v \ = \ $  { 30.46 3% } $\ \rm dB$ 
$m = 1.0\text{:} \ \   10 · \lg \ ρ_v \ = \ $ { 35.23 3% } $\ \rm dB$ 
 
{ Es gelte weiter &nbsp;$ξ = 10^4$.&nbsp; Berechnen Sie den Sinken–Störabstand der&nbsp; "<u>ESB–AM"</u>&nbsp;  für den Parameter &nbsp;$μ = 0.354$&nbsp; bzw. &nbsp;$μ = 0.707$.
|type="{}"}
$μ = 0.354\text{:} \ \  \ 10 · \lg \ ρ_v \ = \ $ { 30.46 3% } $\ \rm dB$  
$μ = 0.707\text{:} \ \  \ 10 · \lg \ ρ_v \ = \ $ { 35.23 3% } $\ \rm dB$ 


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Es handelt sich um einen&nbsp; <u>Synchrondemodulator</u>.&nbsp; Richtig ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.


'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Bei ZSB–AM ohne Träger gilt&nbsp; $P_{\rm S} = P_q/2$.&nbsp; Dies ist auch gleichzeitig die Leistung des Nutzanteils des Sinkensignals&nbsp; $v(t)$. 
*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it Φ}_ε(f)$&nbsp; des Rauschanteils von&nbsp; $v(t)$&nbsp; ergibt sich aus der Faltung:
[[Datei:P_ID1048__Mod_Z_2_9_b.png|right|frame|Rauschleistungsdichte bei ZSB-AM]]

[[Datei:P_ID1049__Mod_Z_2_9_c.png|right|frame|Rauschleistungsdichte bei&nbsp; OSB-AM]]
:$${\it \Phi}_\varepsilon(f) = {\it \Phi}_{z{\rm E} }(f) \star {\it \Phi}_n (f) = \frac{1}{\alpha_{\rm K}^2} \cdot \big[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \big]\star {\it \Phi}_n (f) \hspace{0.05cm}.$$
*Der Ausdruck&nbsp; $\big[$ ... $\big]$&nbsp; beschreibt das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Signalamplitude&nbsp; $K = 2$. 
*Mit&nbsp; $1/α_K^2$&nbsp; wird die Korrektur der Kanaldämpfung berücksichtigt. 
*Unter Berücksichtigung von&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2$&nbsp; ergibt sich somit:
:$${\it \Phi}_\varepsilon(f) = \frac{N_0}{\alpha_{\rm K}^2} 
 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm} P_\varepsilon = \int_{-B_{\rm NF}}^{+B_{\rm NF}} {{\it \Phi}_\varepsilon(f) }\hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{2 \cdot N_0 \cdot B_{\rm NF}}{\alpha_{\rm K}^2}\hspace{0.05cm}.$$
*Daraus folgt für das Signal-zu-Rausch-Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$:
:$$\rho_{v } = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }} = \frac{2 \cdot P_{\rm S}}{2 \cdot N_0 \cdot B_{\rm NF}/\alpha_{\rm K}^2} = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}\hspace{0.15cm}\underline { = \xi} \hspace{0.05cm}.$$


'''(3)'''&nbsp;Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Bei der ESB gilt im Gegensatz zur ZSB&nbsp;  $P_S = P_q/4$&nbsp; sowie
:$${\it \Phi}_\varepsilon(f) = {\it \Phi}_{z{\rm E} }(f) \star {\it \Phi}_n (f) = \frac{4}{\alpha_{\rm K}^2} \cdot \big[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \big]\star {\it \Phi}_n (f) \hspace{0.05cm}.$$
*Unter Berücksichtigung von&nbsp; $B_{\rm HF} = B_{\rm NF}$&nbsp; (siehe nebenstehende Skizze für die OSB–Modulation) erhält man nun:
:$${\it \Phi}_\varepsilon(f) = \frac{2 \cdot N_0}{\alpha_{\rm K}^2} \hspace{0.3cm}  \Rightarrow \hspace{0.3cm} P_\varepsilon = \frac{4 \cdot N_0 \cdot B_{\rm NF}}{\alpha_{\rm K}^2}\hspace{0.05cm}.$$

*Das bedeutet:&nbsp; Verzichtet man auf die Übertragung des Trägers, so zeigt die Einseitenbandmodulation genau das gleiche Rauschverhalten wie die ZSB–AM.



'''(4)'''&nbsp; Ausgehend vom cosinusförmigen Träger mit der Amplitude&nbsp; $A_{\rm T}$&nbsp; und dem ebenfalls cosinusförmigen Nachrichtensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; erhält man bei ZSB–AM mit Träger:
:$$ s(t)  =  \big (q(t) + A_{\rm T}\big ) \cdot \cos( \omega_{\rm T} \cdot t)
 =  A_{\rm T} \cdot \cos( \omega_{\rm T} \cdot t) + \frac{A_{\rm N}}{2}\cdot \cos\big(( \omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t \big)+ \frac{A_{\rm N}}{2}\cdot \cos\big(( \omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t\big)\hspace{0.05cm}.$$
*Die Sendeleistung ergibt sich somit zu
:$$ P_{\rm S}= \frac{A_{\rm T}^2}{2} + 2 \cdot \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} = \frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{A_{\rm N}^2}{4} \hspace{0.05cm}.$$
*Unter Berücksichtigung von&nbsp; $P_q = A_{\rm N}^2/2$&nbsp; und&nbsp; $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
:$$P_{\rm S}= \frac{A_{\rm N}^2}{4} \cdot \left[ 1 + \frac{2 \cdot A_{\rm T}^2}{A_{\rm N}^2}\right] = \frac{P_q}{2} \cdot \left[ 1 + {2 }/{m^2}\right]\hspace{0.05cm}.$$
*Mit der Rauschleistung&nbsp; $P_ε$&nbsp; gemäß der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man somit:
:$$\rho_{v } = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }} = \frac{2 \cdot P_{\rm S}\cdot (1 + 2/m^2)}{2 \cdot N_0 \cdot B_{\rm NF}/\alpha_{\rm K}^2} = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} \cdot \frac{1}{1 +{2 }/{m^2}} \hspace{0.05cm}.$$
*Und in logarithmischer Darstellung:
:$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\left[{1 +{2 }/{m^2}}\right] \hspace{0.05cm}.$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \ (m = 0.5)  =  40 \,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} (9) \hspace{0.15cm}\underline {= 30.46\, {\rm dB}}$$ 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \ (m = 1.0)  =  40 \,{\rm dB} - 10 \cdot {\rm lg} (3) \hspace{0.15cm}\underline {= 35.23\, {\rm dB} \hspace{0.05cm}}.$$



'''(5)'''&nbsp; Bei der ESB–AM gibt es nur ein Seitenband.
*Deshalb gilt unter Berücksichtigung des Seitenband–zu–Träger–Verhältnisses&nbsp; $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$:
:$$ P_{\rm S}= \frac{A_{\rm T}^2}{2} + \frac{(A_{\rm N}/2)^2}{2} = {A_{\rm N}^2}/{8} \cdot \big[ 1 + {4 \cdot A_{\rm T}^2}/{A_{\rm N}^2}\big] = {P_q}/{4} \cdot \big[ 1 + {1 }/{\mu^2}\big] \hspace{0.05cm}.$$
*Somit erhält man mit der Rauschleistung entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''':
:$$\rho_{v } = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }} = \frac{4 \cdot P_{\rm S}\cdot (1 + 1/\mu^2)}{4 \cdot N_0 \cdot B_{\rm NF}/\alpha_{\rm K}^2} = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}} \cdot \frac{1}{1 +{1 }/{\mu^2}}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\big[{1 +{1 }/{\mu^2}}\big] \hspace{0.05cm}.$$
*Man erhält also bei der ESB–AM das gleiche Ergebnis wie bei einer ZSB–AM mit dem Modulationsgrad&nbsp; $m = \sqrt{2} · μ$.&nbsp; Daraus folgt weiter:
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}({\rm ESB,} \hspace{0.1cm}\mu = {0.5}/{\sqrt{2}}) = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}({\rm ZSB,} \hspace{0.1cm}m=0.5) \hspace{0.15cm}\underline {=30.46\,{\rm dB}},$$ 
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}({\rm ESB,} \hspace{0.1cm}\mu = {1.0}/{\sqrt{2}})  = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}({\rm ZSB,} \hspace{0.1cm}m=1.0) \hspace{0.15cm}\underline {=35.23\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^2.4  Einseitenbandmodulation^]]