Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.4: Einfacher Phasenmodulator


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Phasenmodulation (PM)
}}

[[Datei:P_ID1086__Mod_A_3_4.png|right|frame|&bdquo;Näherungsweiser Phasenmodulator&rdquo;]]
Die nebenstehende Schaltung erlaubt die näherungsweise Realisierung eines phasenmodulierten Signals.&nbsp; 

Der &nbsp;$90^\circ$–Phasenschieber formt aus dem cosinusförmigen Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; ein Sinussignal gleicher Frequenz, so dass für das modulierte Signal geschrieben werden kann:
:$$ s(t) = z(t) + q(t) \cdot \frac{z(t- T_0/4)}{A_{\rm T}} 
= A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + q(t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
Der zweite Term beschreibt eine &bdquo;ZSB–AM ohne Träger&rdquo;.&nbsp; Zusätzlich wird der um &nbsp;$90^\circ$&nbsp; phasenverschobene Träger addiert.&nbsp; Bei cosinusförmigem Quellensignal &nbsp;$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)$&nbsp; ergibt sich somit:
:$$s(t) =  A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + A_{\rm N} \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t)  $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \big[\cos (\omega_{\rm T} \cdot t) + \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \cdot \sin (\omega_{\rm T} \cdot t) \big] \hspace{0.05cm}.$$
Das Verhältnis &nbsp;$η = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; bezeichnen wir als den Modulationsindex;&nbsp; die Trägeramplitude wird im Folgenden zur Vereinfachung zu&nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp; gesetzt.

*Im Gegensatz zur &nbsp;[[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Phasenmodulation|idealen  Phasenmodulation]]&nbsp; unterscheidet sich bei dieser &bdquo;näherungsweisen Phasenmodulation&rdquo; der Modulationsindex&nbsp; $η$&nbsp; und der Phasenhub &nbsp;$ϕ_{\rm max}$. 
*Außerdem erkennt man, dass die Hüllkurve &nbsp;$a(t) ≠ 1$&nbsp; ist.&nbsp; Das bedeutet, dass hier der Phasenmodulation eine unerwünschte Amplitudenmodulation überlagert ist.


Berechnet werden sollen in dieser Aufgabe aus der Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene (Ortskurve) 
*die Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; und 
*die Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$. 


Anschließend sollen die Verfälschungen analysiert werden, die sich ergeben, wenn bei diesem nichtidealen PM-Modulator empfangsseitig ein idealer PM-Demodulator eingesetzt wird, der das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; proportional zur Phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; setzt.








''Hinweise:'' 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 
*Zur näherungsweisen Berechnung des Klirrfaktors können Sie folgende Gleichungen benutzen:
:$$\arctan(\gamma) \approx \gamma - {\gamma^3}/{3} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\gamma) ={3}/{4} \cdot \cos(\gamma) +{1}/{4} \cdot \cos(3 \cdot \gamma) \hspace{0.05cm}.$$


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal.&nbsp; Welche Aussage trifft zu?
|type="()"}
- Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist ein Kreisbogen.
- Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine horizontale Gerade.
+ Die Ortskurve &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; ist eine vertikale Gerade.


{Berechnen Sie die (normierte) Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$A_{\rm T} = 1$.&nbsp; Wie groß sind deren Minimal– und Maximalwert mit &nbsp;$η = 1$?
|type="{}"}
$a_{\rm min} \ = \ $ { 1 3%  }
$a_{\rm max} \ = \ $ { 1.414 3%  }

{Berechnen Sie den Maximalwert der Phase &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; für &nbsp;$η = 1$&nbsp; und &nbsp;$η = 0.5$.
|type="{}"}
$η = 1.0\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 45 3% } $\ \rm Grad$
$η = 0.5\text{:} \ \ \   ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 26.6 3% } $\ \rm Grad$

{Welche Verzerrungen ergeben sich nach idealer Phasendemodulation von &nbsp;$s(t)$?
|type="()"}
- Es treten keine Verzerrungen auf.
- Es treten lineare Verzerrungen auf.
+ Es treten nichtlineare Verzerrungen auf.

{Berechnen Sie den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp;  unter Berücksichtigung der auf der Angabenseite genannten trigonometrischen Beziehungen.
|type="{}"}
$η = 1.0\text{:} \ \ \   K \ = \ $ { 11.1 3% } $\ \text{%}$
$η = 0.5\text{:} \ \ \   K \ = \ $ { 2.2 3% } $\ \text{%}$




</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
[[Datei:P_ID1087__Mod_A_3_4_a.png|right|frame|Konstruktion der &bdquo;vertikalen&rdquo; Ortskurve aus den Zeigern]]
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Das äquivalente Tiefpass–Signal lautet:
:$$s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot \left ( 1 + {\rm j}\cdot \frac {\eta}{2}\cdot \left ({\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\right) \right) 
 =  A_{\rm T} \cdot \big ( 1 + {\rm j}\cdot {\eta}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) \big)\hspace{0.05cm}.$$
*Die Grafik verdeutlicht, dass die Ortskurve&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; nun eine vertikale Gerade ist im Gegensatz zur idealen PM&nbsp; (Kreisbogen)&nbsp; und zur ZSB–AM&nbsp; (horizontale Gerade).&nbsp; 
*Im Folgenden wird&nbsp; $A_{\rm T} = 1$&nbsp; gesetzt.


'''(2)'''&nbsp; Die Hüllkurve ergibt sich aus der zeitabhängigen Zeigerlänge zu
:$$a(t)  =  \sqrt{1 + \eta^2 \cdot \cos^2 (\omega_{\rm N} \cdot t)} \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline { = 1}, \hspace{0.3cm}a_{\rm max} = \sqrt{1 + \eta^2 }\hspace{0.05cm}.$$
*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt sich der Maximalwert zu &nbsp;$a_{\rm max} = \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline { ≈ 1.414}$.



'''(3)'''&nbsp; Für die Phasenfunktion dieses einfachen Phasendemodulators  gilt:
:$$\phi(t) = \arctan \frac{{\rm Im}[s_{\rm TP}(t)]}{{\rm Re}[s_{\rm TP}(t)]} = \arctan (\eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t)) \hspace{0.05cm}.$$
*Der Maximalwert tritt beispielsweise zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf und beträgt&nbsp; $ϕ_{\rm max} = \arctan(η)$. 
:*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; erhält man&nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = 45^\circ}$&nbsp; $($im Vergleich:&nbsp; Bei idealer PM&nbsp; $57.3^\circ)$,
:*Für&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $ϕ_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 26.6^\circ}$&nbsp; $($bei idealer PM&nbsp; $28.7^\circ)$.



'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
*Es gilt&nbsp; '''nicht''':&nbsp; &nbsp; &nbsp; $\arctan\big [η · \cos(γ)\big ] = η · \cos(γ)$. 
*Das heißt, dass das Sinkensignal im Gegensatz zum Quellensignal nicht cosinusförmig verläuft. 
*Dies weist auf nichtlineare Verzerrungen hin. 



'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $γ = η · \cos(ω_N · t)$&nbsp; und&nbsp; $\arctan(γ) ≈ γ – γ^3/3$&nbsp; erhält man:
:$$ \phi(t) =  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \cos^3 (\omega_{\rm N} \cdot t))=
  \eta \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - \frac{\eta^3}{3}\cdot \left [ {3}/{4}\cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) + {1}/{4}\cdot \cos (3 \omega_{\rm N} \cdot t)\right ] $$ 
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} \phi(t) =  \left(\eta - {\eta^3}/{4} \right) \cdot \cos (\omega_{\rm N} \cdot t) - {\eta^3}/{12}\cdot \cos (3\omega_{\rm N} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
*Das bedeutet:&nbsp; Bei Verwendung der angegebenen Reihenentwicklung&nbsp; (Terme 5. und höherer Ordnung werden vernachlässigt)&nbsp; ist nur der Klirrfaktor dritter Ordnung von Null verschieden.&nbsp; Man erhält:
:$$K = K_3 = \frac{\eta^3/12}{\eta-\eta^3/4}= \frac{1}{12/\eta^2 -3} \hspace{0.05cm}.$$
*Für&nbsp; $η = 1$&nbsp; ergibt sich der Zahlenwert&nbsp; $K = 1/9 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 11.1\%}$. 
*Für&nbsp; $η = 0.5$&nbsp; ist der Klirrfaktor&nbsp; $K = 1/45 \hspace{0.15cm}\underline {≈ 2.2\%}$.


Eine Simulation zeigt, dass man durch den Abbruch der Reihe nach dem Term dritter Ordnung einen Fehler macht, der den Klirrfaktor als zu hoch erscheinen lässt: 
*Die per Simulation gewonnenen Werte sind&nbsp; $K ≈ 6%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 1)$&nbsp; und&nbsp; $K ≈ 2%$&nbsp; $($für&nbsp; $η = 0.5)$. 
*Der Fehler nimmt also mit wachsendem &nbsp;$η$&nbsp; mehr als proportional zu.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^3.1 Phasenmodulation (PM)^]]