Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung}}

[[Datei:P_ID1434__Dig_Z_3_6.png|right|frame|Beidseitig abfallender Exponentialimpuls]]
Wie in der &nbsp;[[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_Transversalfilter_des_Optimalen_Nyquistentzerrers|Aufgabe 3.6]]&nbsp; betrachten wir wieder den optimalen Nyquistentzerrer, wobei nun als Eingangsimpuls &nbsp;$g_x(t)$ &nbsp;eine beidseitig abfallende Exponentialfunktion anliegt:
:$$g_x(t) = {\rm e }^{ -  |t|/T}\hspace{0.05cm}.$$

*Durch ein Transversalfilter &nbsp;$N$&ndash;ter Ordnung mit der Impulsantwort
:$$h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T)$$

:ist es immer möglich, dass der Ausgangsimpuls &nbsp;$g_y(t)$&nbsp; Nulldurchgänge bei&nbsp; $t/T = &plusmn;1, \ \text{...} \ , \ t/T = &plusmn;N$&nbsp; aufweist und &nbsp;$g_y(t = 0) = 1$&nbsp; ist. 
*Im allgemeinen Fall führen dann allerdings die Vorläufer und Nachläufer mit &nbsp;$| \nu | > N$&nbsp; zu Impulsinterferenzen.




Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|"Linare Nyquistentzerrung"]].
 



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Geben Sie die Signalwerte &nbsp;$g_x(\nu) = g_x(t = \nu T)$&nbsp; bei Vielfachen von &nbsp;$T$&nbsp; an.
|type="{}"}
$g_x(0)\ = \ $ { 1 3% }
$g_x(1)\ = \ $ { 0.368 3% }
$g_x(2)\ = \ $ { 0.135 3% }

{Berechnen Sie die optimalen Filterkoeffizienten für &nbsp;$N = 1$.
|type="{}"}
$k_0 \ = \ $ { 1.313 3% }
$k_1 \ = \ $ { -0.43775--0.41225 }

{Berechnen Sie die Ausgangswerte &nbsp;$g_2 = g_{y}(t = 2T)$&nbsp; und&nbsp; $g_3 = g_{y}(t = 3T)$.
|type="{}"}
$g_2 \ = \ $ { 0. }
$g_3\ = \ $ { 0. }

{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
+ Beim gegebenen Eingangsimpuls &nbsp;$g_x(t)$&nbsp; ist mit einem Transversalfilter zweiter Ordnung keine Verbesserung möglich.
- Die erste Aussage ist unabhängig vom Eingangsimpuls &nbsp;$g_x(t)$.
- Beim gegebenen Eingangsimpuls ergibt sich mit einem &bdquo;unendlichen&rdquo; Transversalfilter eine weitere Verbesserung.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die fünf ersten Abtastwerte des Eingangsimpulses im Abstand&nbsp; $T$&nbsp; lauten:
:$$g_x(0)\hspace{0.25cm}\underline{ = 1},\hspace{0.2cm}g_x(1) \hspace{0.25cm}\underline{= 0.368},\hspace{0.25cm}g_x(2) \hspace{0.25cm}\underline{=
0.135},\hspace{0.2cm}g_x(3) = 0.050,\hspace{0.2cm}g_x(4)  {= 0.018}
\hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:3.6_ONE-Transversalfilter|Aufgabe 3.6]]&nbsp; kommt man auf folgendes Gleichungssystem:
:$$2t = T \hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} k_0 \cdot g_x(1) +k_1 \cdot
[g_x(0)+g_x(2)]= 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
\frac{k_1}{k_0} = - \frac{g_x(1)}{g_x(0)+g_x(2)} \hspace{0.05cm},$$
:$$t = 0 \hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} k_0 \cdot g_x(0) + k_1 \cdot 2 \cdot
g_x(1) = 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} k_1 =
\frac{1-k_0}{0.736} \hspace{0.05cm}.$$

*Dies führt zum Ergebnis:
:$$k_0 - 0.324 \cdot 0.736 \cdot k_0 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow
\hspace{0.3cm} k_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1.313}, \hspace{0.2cm}k_1\hspace{0.15cm}\underline { = -0.425}
\hspace{0.05cm}.$$


[[Datei:P_ID1440__Dig_Z_3_6_c.png|right|frame|Eingangsimpuls&nbsp; (oben),&nbsp; und Ausgangsimpuls für&nbsp; $N = 1$]]
'''(3)'''&nbsp; Für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 2T$&nbsp; gilt:
:$$g_2 \ = \ k_0 \cdot g_x(2) +k_1 \cdot [g_x(1)+g_x(3)]$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} g_2 \ = \  1.313 \cdot 0.050 -0.425 \cdot [0.135+0.018]\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0}
\hspace{0.05cm}.$$

*Ebenso ist auch der Ausgangsimpuls zum Zeitpunkt $t = 3T$ gleich Null:
:$$g_3 \ = \ k_0 \cdot g_x(3) +k_1 \cdot [g_x(2)+g_x(4)$$
:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}g_3 \ = \  1.313 \cdot 0.135 -0.425 \cdot [0.368+0.050]\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0}
\hspace{0.05cm}.$$
*Die Abbildung zeigt,&nbsp; dass '''bei diesem exponentiell abfallenden Impuls das Transversalfilter erster Ordnung eine vollständige Entzerrung bewirkt'''. 

*Außerhalb des Intervalls &nbsp;$-T < t < T$&nbsp; ist &nbsp;$g_y(t)$&nbsp; identisch Null, innerhalb ergibt sich eine Dreieckform.



'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der&nbsp; <u>erste Lösungsvorschlag</u>: 
*Nachdem bereits mit einem Laufzeitfilter erster Ordnung alle Vor&ndash; und Nachläufer kompensiert werden,&nbsp; ergeben sich auch mit einem Filter zweiter Ordnung und auch für&nbsp; $N &#8594; &#8734;$&nbsp; keine weiteren Verbesserungen.
 
*Dieses Ergebnis gilt&nbsp; jedoch '''ausschließlich für den (beidseitig) exponentiell abfallenden Eingansgimpuls'''. 

*Bei fast jeder anderen Impulsform ist das Ergebnis um so besser,&nbsp; je größer&nbsp; $N$&nbsp; ist. 
{{ML-Fuß}}



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