Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.11: Frequenzbereichsbetrachtung der 4–QAM


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation
}}

[[Datei:Mod_A_4_10_vers2.png|right|frame|Leistungsdichtespektren von <br>BPSK und 4-QAM]]
Ausgehend von der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK]]&nbsp; (binäre Phasenmodulation)&nbsp; mit rechteckförmigem Grundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; der Breite &nbsp;$T_{\rm B} = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; und der Amplitude &nbsp;$s_0 = 2 \ \rm  V$&nbsp; soll  das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|4–QAM]]&nbsp; schrittweise ermittelt werden.

In der &nbsp;[[Aufgaben:4.7_Spektren_von_ASK_und_BPSK| Aufgabe 4.7]]&nbsp; wurde das Leistungdichtespektrum &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; der BPSK für genau diese Parameterwerte ermittelt.&nbsp; Mit
:$$A = s_0^2 \cdot T_{\rm B} = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}$$
erhält man für das tatsächliche Leistungsdichtespektrum&nbsp; (im Bandpassbereich):
:$${{\it \Phi}_s(f)} = {A}/{4} \cdot {\big [ {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f - f_{\rm T})) + {\rm si}^2(\pi \cdot T_{\rm B}\cdot (f + f_{\rm T}))\big ]}\hspace{0.05cm}.$$
In der oberen Grafik ist allerdings das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}$&nbsp; des äquivalenten Tiefpass–Signals dargestellt.&nbsp; Dieses ergibt sich aus &nbsp;${\it Φ}_s(f)$&nbsp; durch 
*Abschneiden aller Anteile bei negativen Frequenzen, 
*Vervierfachen der Anteile bei positiven Frequenzen&nbsp; (weil: &nbsp; ein Spektrum muss verdoppelt werden,&nbsp; ein LDS vervierfacht), 
*Verschieben um &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; nach links:
:$${{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)} = A \cdot {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B}). \hspace{0.2cm}$$

Die 4–QAM unterscheidet sich von der BPSK in folgenden Details:
* Aufspaltung des binären Quellensignals in zwei Teilsignale mit jeweils halber Bitrate,&nbsp; das heißt mit der Symboldauer &nbsp;$T = 2 · T_{\rm B}$.
* Multiplikation der Teilsignale mit Cosinus und Minus–Sinus,&nbsp; deren Amplituden &nbsp;$g_0$&nbsp; jeweils um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; kleiner sind als &nbsp;$s_0$. 
* Summation der beiden Teilsignale,&nbsp; die mit &nbsp;$s_{\cos}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{–\sin}(t)$&nbsp; bezeichnet werden:
:$$s(t) = s_{\rm cos}(t)+ s_{\rm -sin}(t) \hspace{0.05cm}.$$





Hinweise: 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation|"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"]].
*Bezug genommen wird aber auch auf die Seite&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|"BPSK &ndash; Binary Phase Shift Keying"]]&nbsp; im vorherigen Kapitel.
* Das Leistungsdichtespektrum (LDS) einer QAM-Komponente ist identisch mit dem vergleichbaren BPSK&ndash;LDS.  
*Energien sind in  &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$.
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei  &nbsp;"Binary Phase Shift Keying"&nbsp; (BPSK)?
|type="{}"}
$E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$

{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm} \cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$&nbsp; des 4–QAM–Teilsignals&nbsp; $s_{\cos}(t)$&nbsp; in der äquivalenten Tiefpassdarstellung? <br>Welcher Wert &nbsp;$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}\cos, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich bei der Frequenz  &nbsp;$f = 0$?
|type="{}"}
$B_0 \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$

{Wie lautet das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s,\hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f )$&nbsp; des gesamten 4–QAM–Signals $s(t)$? 
<br>Welcher Wert &nbsp;$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.08cm}{\rm TP}}(f = 0) $&nbsp; ergibt sich hier bei der Frequenz &nbsp;$f = 0$?
|type="{}"}
$Q_0 \ = \ $ { 8 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$

{Wie groß ist die Energie pro Bit &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B}$&nbsp; bei der &nbsp;"Quadratur&ndash;Amplitudenmodulation"&nbsp; (4–QAM)?
|type="{}"}
$E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm V^2/Hz$



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Leistung des BPSK–Sendesignals ist gleich dem Intergral über das Leistungsdichtespektrum. 
*Integriert man über das äquivalente Tiefpass–LDS, so ist noch der Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; zu berücksichtigen:
:$$P_{\rm BPSK}  =  \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{1}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{A}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f =  \frac{A}{2T_{\rm B}} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x =\frac{A}{2T_{\rm B}}$$
:$$\text{Mit} \ \ A = 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} T_{\rm B}= 10^{-6}\,{\rm s} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm BPSK} = 2\,{\rm V^2} ( = {s_0^2 }/{2})\hspace{0.05cm}.$$
*Die Energie pro Bit ist dementsprechend bei der BPSK:
:$$E_{\rm B} = {P_{\rm BPSK} \cdot T_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
*Hierbei ist wieder der Bezugswiderstand $1\ \rm Ω$ zugrunde gelegt.




'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der doppelten Symboldauer der 4–QAM&nbsp; $(T = 2 · T_{\rm B})$&nbsp; ist die Spektralfunktion gegenüber der BPSK nur halb so breit, aber doppelt so hoch, und anstelle von&nbsp; $s_0$&nbsp; ist nun der kleinere Wert&nbsp; $g_0$&nbsp; zu berücksichtigen. 
*Der LDS–Wert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; lautet damit:
:$${\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = \left ({s_0}/{\sqrt{2}} \right )^2 \cdot 2 \cdot T_{\rm B} ={s_0^2 \cdot T_{\rm B}} = B_0 \hspace{0.05cm}.$$
*Es ergibt sich somit genau der gleiche Wert wie bei der BPSK:
:$$B_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm cos,\hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}$$



'''(3)'''&nbsp; Das zweite Teilsignal&nbsp; $s_{–\sin}(t)$&nbsp; liefert den genau gleichen Beitrag wie das gerade betrachtete Signal&nbsp; $s_{\cos}(t)$. 
*Aufgrund der Orthogonalität zwischen der Cosinus– und der Minus–Sinusfunktion können die Leistungen addiert werden und man erhält:
:$$Q_0 = {\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 0 ) = 2 \cdot B_0 \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$



'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man für die Energie pro Bit:
:$$E_{\rm B}  =  \frac{1}{2} \cdot T_{\rm B} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {{\it \Phi}_{s, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} \cdot \int_{ - \infty }^{+\infty} {\rm si}^2(\pi f T_{\rm B})\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 
 \frac{Q_0 \cdot T_{\rm B}}{2T} = \frac{8 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz} \cdot 1\,{\rm \mu s}}{ 2 \cdot 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.15cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
*Man erkennt, dass bei den hier getroffenen Voraussetzungen die „Energie pro Bit” von BPSK und 4–QAM übereinstimmen.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren|^4.3 Quadratur–Amplitudenmodulation^]]