Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.11: On-Off-Keying und Binary Phase Shift Keying


{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation}}

[[Datei:P_ID2060__Dig_A_4_11.png|right|frame|Zwei Signalraumkonstellation für OOK und BPSK]]
Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren:
* "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; $\rm (OOK)$,&nbsp; in manchen Büchern auch als&nbsp; "Amplitude Shift Keying"&nbsp; $\rm  (ASK)$&nbsp; bezeichnet, 

* "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$.


Für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir vom AWGN&ndash;Kanal aus.&nbsp; In diesem Fall ist die Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; (bezogen auf Symbole oder auf Bit gleichermaßen):
:$$p_{\rm S} = p_{\rm B} =  {\rm Q} \left (  \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )
 \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet
* $d$&nbsp; den Abstand der Signalraumpunkte,&nbsp; und

* $\sigma_n^2 = N_0/2$&nbsp; die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens.


In den Teilfragen ab Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird zudem auf die mittlere Symbollenergie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; Bezug genommen.






Hinweise:
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation"]].

* Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| "Lineare digitale Modulation &ndash; Kohärente Demodulation"]]&nbsp; sowie das Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulation| "Lineare digitale Modulation"]]&nbsp; des Buches &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo;.
 
* Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
:$${\rm Q}(x)  \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
\hspace{0.05cm}.$$




===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Wieviele Bit &nbsp;$(b)$&nbsp; stellt jeweils ein Symbol dar?&nbsp; Wie groß ist die Stufenzahl&nbsp; $M$?
|type="{}"}
$b \hspace{0.35cm} = \ $ { 1 3% }
$M  \ = \ $ { 2 3% }

{Welche Darstellung zeigen die Signalraumkonstellationen?
|type="()"}
- Die Darstellung im (tatsächlichen) Bandpassbereich,
+ die Darstellung im (äquivalenten) Tiefpassbereich.

{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; abhängig von&nbsp; $E_{\rm S}/N_0$?
|type="{}"}
$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{2.3cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 14.8 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;4}$
$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.362 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;4}$

{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; abhängig von&nbsp; $E_{\rm S}/N_0$?
|type="{}"}
$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{2.3cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 117 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;8}$
$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.926 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;8}$
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Sowohl&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying" als auch&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; sind binäre Modulationsverfahren:
:$$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$


'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>,&nbsp; erkennbar an der imaginären Basisfunktion&nbsp; $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$. 
*Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen reell: cosinusförmig und (minus&ndash;)sinusförmig.



'''(3)'''&nbsp; Die vorgegebene Gleichung lautet bei&nbsp; "On&ndash;Off&ndash;Keying"&nbsp; mit 
*$d = \sqrt {E}$,
 
*$E_{\rm S} = E/2$&nbsp; (wobei gleichwahrscheinliche Symbole&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; vorausgesetzt sind),
 
*$\sigma_n^2 = N_0/2$:

:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}   {\rm Q} \left (  \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )=   {\rm Q} \left (  \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right )
 \hspace{0.05cm}.$$

*Für&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$&nbsp; ergibt sich somit:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{14.8 \cdot 10^{-4}}
\hspace{0.05cm}.$$

*Entsprechend gilt für&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm S}/N_0) = 12 \ \rm dB$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 15.85$:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{15.85}) \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 15.85} } \cdot {\rm e}^{-15.85/2} = \underline{0.362 \cdot 10^{-4}}
\hspace{0.05cm}.$$


'''(4)'''&nbsp; Im Unterschied zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt bei&nbsp; "Binary Phase Shift Keying":  
*$d = 2 \cdot \sqrt {E}$,
 
*$E_{\rm S} = E$, 


beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$.
 
*Daraus folgt:
:$$p_{\rm S} =   {\rm Q} \left (  \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) =  {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right )
 \hspace{0.05cm}.$$

*Mit&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 9$&nbsp; ergibt sich daraus der Zahlenwert:
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{117 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm}.$$

*Und mit&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$: 
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{31.7}) \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 31.7} } \cdot {\rm e}^{-31.7/2} = \underline{0.926 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



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