Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen „x“ und „e hoch x“


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Zweidimensionale Zufallsgrößen
}}

[[Datei:P_ID252__Sto_Z_4_2.png|right|frame|Eingangs-WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; und Kennlinie&nbsp; $y = {\rm e}^x$]]
Die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sei gleichverteilt zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$.&nbsp; Damit ist 
*der Mittelwert&nbsp; $m_x = 0$,&nbsp; und 
*die Varianz&nbsp; $\sigma_x^2 = 1/3$.


Durch die nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y = g(x) = {\rm e}^x$&nbsp; wird die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y $&nbsp;  gebildet.&nbsp; Zwischen den beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; besteht also ein fester,&nbsp; deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße&nbsp; $y$&nbsp; kann nur Werte zwischen&nbsp; $1/{\rm e}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm e}$&nbsp; annehmen.

Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|&bdquo;Transformation von Zufallsgrößen&rdquo;]]:
:$$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$





Hinweise: 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]]. 
*Berücksichtigen Sie,&nbsp; dass im betrachteten Bereich&nbsp; $-1 ≤ x ≤ +1$&nbsp; die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
:$$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie gro&szlig; ist der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$?
|type="{}"}
$m_y \ = \ $  { 1.175 3% }


{Berechnen Sie die Streuung&nbsp; $\sigma_y$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$.
|type="{}"}
$\sigma_y \ =  \ $ { 0.658 3% }


{Welche der folgenden Aussagen gelten hinsichtlich der 2D-WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$?
|type="[]"}
+ Au&szlig;erhalb der Kurve&nbsp; $y = {\rm e}^x$&nbsp; ist&nbsp; $f_{xy}(x, y)= 0$.
- F&uuml;r alle Werte&nbsp; $(x,\ {\rm e}^x)$&nbsp; ist die WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; konstant.
+ Die WDF beschreibt eine&nbsp; &bdquo;Diracwand&rdquo;&nbsp; entlang der Kurve&nbsp; $y = {\rm e}^x$.
+ Die Höhe der Diraclinien nimmt von links unten nach rechts oben ab.


{Berechnen Sie das gemeinsame Moment&nbsp; $m_{xy}$&nbsp; der Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$,&nbsp; also den Erwartungswert des Produkts&nbsp; $x \cdot y$.
|type="{}"}
$m_{xy}\ =  \ $ { 0.367 3% }


{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; zwischen den Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
|type="{}"}
$\rho_{xy}\ =  \ $ { 0.967 3% }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann in bekannter Weise aus der WDF $f_y(y)$&nbsp; ermittelt werden. 

*Eine zweite Berechnungsm&ouml;glichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln f&uuml;r Erwartungswerte:
:$$m_y={\rm E}\big[ y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{1}{\rm e}^{ x}\,\,{\rm d}x=\rm {1}/{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$


'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den quadratischen Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gilt:
:$$m_{2 y} = {\rm E}\big[ y^{\rm 2}\big] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]=     {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$

*Daraus erh&auml;lt man mit dem Satz von Steiner:
:$$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2  y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$


'''(3)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
*Au&szlig;erhalb der Kurve&nbsp; $y = {\rm e}^x$&nbsp; ist die WDF nat&uuml;rlich Null. 
*Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist,&nbsp; sind die WDF-Werte f&uuml;r den unendlich schmalen Bereich&nbsp; $y = {\rm e}^x$&nbsp; unendlich gro&szlig;.
*Das hei&szlig;t: &nbsp; Die WDF beschreibt eine gekr&uuml;mmte Diracwand. 
*Aufgrund des Abfalls der WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; mit steigenden&nbsp; $y$&nbsp; nimmt die H&ouml;he dieser Diracwand von&nbsp; $(-1, 1/{\rm e})$&nbsp; bis zu&nbsp; $(+1, {\rm e})$&nbsp; kontinuierlich ab.


 
'''(4)'''&nbsp; F&uuml;r das gemeinsame Moment gilt:
:$$m_{xy} = {\rm E}\big[ x\cdot y \big] = {\rm E}\big[ x\cdot  {\rm e}^{x} \big].$$

*Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:
:$$m_{xy} \approx {\rm E}\big[x\big] + {\rm E}\big[x^{\rm 2}\big] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 3}\big] + \frac{1}{6}  \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 4}\big]+ \frac{1}{24}  \cdot {\rm E}\big[ x^{\rm 5}\big].$$

*Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; gilt f&uuml;r alle ungeradzahligen Werte von&nbsp; $k$: &nbsp; $\rm E\big[\it x^{k}\rm \big] =\rm 0.$ Weiterhin gilt:
:$${\rm E}\big[ x^{\rm 2}\big] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm}
{\rm E}\big[ x^{\rm 4}\big] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4}  \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$


'''(5)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $m_x = 0$&nbsp; gilt&nbsp; $\mu_{xy} = m_{xy}$.&nbsp; Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
:$$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$

*Zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. 
*Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient&nbsp; $ \rho_{xy} \ne 1$.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.1 Zweidimensionale Zufallsgrößen^]]