Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.6: Quantisierungskennlinien


{{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Pulscodemodulation
}}

[[Datei:P_ID1623__Mod_Z_4_5.png|right|frame|Nichtlineare Quantisierungskennlinien]]
Es wird die nichtlineare Quantisierung betrachtet und es gilt weiterhin das Systemmodell gemäß&nbsp; [[Aufgaben:4.5_Nichtlineare_Quantisierung| Aufgabe 4.5]]. 

Die Grafik zeigt zwei Kompressorkennlinien &nbsp;$q_{\rm K}(q_{\rm A})$:
* Rot eingezeichnet ist die sogenannte &nbsp; '''A–Kennlinie''',&nbsp; die vom CCITT&nbsp; ("Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique")&nbsp; für das Standardsystem PCM 30/32 empfohlen wurde.&nbsp; Für &nbsp;$0 ≤ q_{\rm A} ≤ 1$&nbsp; gilt hier:
:$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A})} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \\ \frac{A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A}} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {{1}/{A} \le q_{\rm A} \le 1} \hspace{0.05cm}, \\ \\ {q_{\rm A} < {1}/{A}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
* Der blau–gestrichelte Kurvenzug gilt für die so genannte &nbsp; '''13–Segment–Kennlinie'''.&nbsp; Diese ergibt sich aus der A–Kennlinie durch stückweise Linearisierung;&nbsp; sie wird in der&nbsp; [[Aufgaben:4.5_Nichtlineare_Quantisierung| Aufgabe 4.5]]&nbsp; ausführlich behandelt.





Hinweise: 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Kompression_und_Expandierung|"Kompression und Expandierung"]].
*Für die durchgehend rot gezeichnete A-Kennlinie ist der Quantisierungsparameter &nbsp;$A = 100$&nbsp; gewählt.&nbsp; <br>Mit dem vom CCITT vorgeschlagenen Wert &nbsp;$A = 87.56$&nbsp; ergibt sich ein ähnlicher Verlauf. 
*Für die beiden weiteren Kurven gilt &nbsp;$A = A_1$ &nbsp; (strich&ndash;punktierte Kurve)&nbsp; bzw. &nbsp; $A = A_2$&nbsp; (punktierte Kurve),&nbsp; wobei für &nbsp;$A_1$&nbsp; bzw. &nbsp;$A_2$&nbsp; die beiden möglichen Zahlenwerte &nbsp;$50$&nbsp; und &nbsp;$200$&nbsp; vorgegeben sind.&nbsp; In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; sollen Sie entscheiden,&nbsp; welche Kurve zu welchem Zahlenwert gehört.




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche Argumente sprechen für die nichtlineare Quantisierung?
|type="[]"}
- Das größere SNR – auch bei gleichwahrscheinlichen Amplituden. 
+ Bei Audio sind kleine Amplituden wahrscheinlicher als große.
+ Die Verfälschung kleiner Amplituden ist subjektiv störender.

{Welche Unterschiede gibt es zwischen der A–Kennlinie und der 13–Segment–Kennlinie?
|type="[]"}
+ Die A–Kennlinie beschreibt einen kontinuierlichen Verlauf.
+ Die 13–Segment–Kurve nähert die A–Kennlinie stückweise linear an.
- Bei der Realisierung zeigt die A–Kennlinie wesentliche Vorteile.

{Lässt sich allein aus &nbsp;$q_{\rm A} = 1$   &nbsp; ⇒   &nbsp; $q_{\rm K} = 1$&nbsp; der Parameter &nbsp;$A$&nbsp; ableiten?
|type="()"}
-  Ja. 
+ Nein. 

{Lässt sich &nbsp;$A$&nbsp; bestimmen,&nbsp; wenn man vorgibt,&nbsp; dass der Übergang zwischen den beiden Bereichen kontinuierlich sein soll? 
|type="()"}	
- Ja. 
+ Nein. 

{Bestimmen Sie &nbsp;$A$&nbsp; aus der Bedingung &nbsp;$q_{\rm K}(q_{\rm A} = 1/2) = 0.8756$.
|type="{}"}
$A \ = \ $ { 94 3% } 

{Welche Parameterwerte wurden für die weiteren Kurven verwendet?
|type="()"}
- Es gilt &nbsp;$A_1 = 50$&nbsp; und &nbsp;$A_2 = 200$.
+ Es gilt &nbsp;$A_1 = 200$&nbsp; und &nbsp;$A_2 = 50$.





</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}

'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 2 und 3</u>: 
*Eine Signalverfälschung von leisen Tönen oder in Sprachpausen wird subjektiv als störender empfunden als zum Beispiel ein zusätzliches Geräusch bei Heavy Metal. 
*Bezüglich des Quantisierungsrauschens bzw. des SNR gibt es durch eine nichtlineare Quantisierung allerdings keine Verbesserung,&nbsp; wenn von einer Gleichverteilung der Amplitudenwerte ausgegangen wird. 
*Berücksichtigt man aber,&nbsp; dass bei Sprach– und Musiksignalen kleinere Amplituden sehr viel häufiger auftreten als große &nbsp; &rArr; &nbsp; "Laplaceverteilung",&nbsp; so ergibt sich durch die nichtlineare Quantisierung auch ein besseres SNR.



'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1 und 2</u>: 
*Durch die Linearisierung in den einzelnen Segmenten ist in diesen bei der 13–Segment–Kennlinie die Intervallbreite der verschiedenen Quantisierungsstufen konstant,&nbsp; was sich bei der Realisierung günstig auswirkt. 
*Dagegen gibt es bei der nichtlinearen Quantisierung gemäß der A–Kennlinie keine Quantisierungsintervalle gleicher Breite.&nbsp; Das bedeutet: &nbsp; Die Aussage 3 ist falsch.



'''(3)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; "<u>NEIN</u>":
*Für&nbsp; $q_{\rm A} = 1$&nbsp; erhält man unabhängig von&nbsp; $A$&nbsp; den Wert&nbsp; $q_{\rm K} = 1$. 
*Allein mit dieser Vorgabe kann&nbsp; $A$&nbsp; also nicht ermittelt werden.
 


'''(4)'''&nbsp; Richtig ist wiederum&nbsp;  "<u>NEIN</u>":
*Für&nbsp; $q_{\rm A} = 1/A$&nbsp; liefern beide Bereichsgleichungen den gleichen Wert&nbsp; $q_{\rm K}= 1/[1 + \ln(A)]$. 
*Auch damit kann&nbsp; $A$&nbsp; nicht bestimmt werden. 



'''(5)'''&nbsp; Mit dieser Forderung ist&nbsp; $A$&nbsp; nun berechenbar:
:$$0.875 = \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A/2)} {1
\hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} =
\frac{1\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} {\rm ln}(2)
\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+
\hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\approx \frac{1-0.693
\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+
\hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm ln}(A) = \frac{0.875 - 0.307 } {1
-0.875 }= 4.544 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A \hspace{0.15cm}\underline {\approx
94} \hspace{0.05cm}.$$



'''(6)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 2</u>:
*Die Kurve für &nbsp; $A_1 = 200$ &nbsp; liegt oberhalb der Kurve mit &nbsp; $A = 100$,&nbsp; die Kurve mit &nbsp;$A_2 = 50$&nbsp; unterhalb. 
*Dies zeigt die folgende Rechnung,&nbsp; gültig  für &nbsp;$q_{\rm A} = 0.5$:
:$$A= 100\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1 + \ln(100) - \ln(2)}{1 + \ln(100)}=
\frac{1+4.605- 0.693} {1 +4.605}\approx
0.876  \hspace{0.05cm},$$
:$$A= 200\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1+5.298- 0.693} {1 +5.298}\approx
0.890  \hspace{0.05cm},$$
:$$A= 50\text{:}\hspace{0.4cm} q_{\rm K}= \frac{1+3.912- 0.693} {1 +3.912}\approx
0.859  \hspace{0.05cm}.$$





{{ML-Fuß}}



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