Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 4.8: Rautenförmige 2D-WDF


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Linearkombinationen von Zufallsgrößen
}}

[[Datei:P_ID412__Sto_A_4_8.png|right|frame|Rautenförmige 2D-WDF]]
Wir betrachten eine 2D&ndash;Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $(x,\hspace{0.08cm} y)$,&nbsp; deren Komponenten sich jeweils als Linearkombinationen zweier Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; ergeben:
:$$x=2u-2v+1,$$
:$$y=u+3v.$$

Weiter ist zu beachten:
*Die zwei statistisch unabh&auml;ngigen Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; sind jeweils gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
*In der Abbildung sehen Sie die 2D&ndash;WDF.&nbsp; Innerhalb des blau eingezeichneten Parallelogramms gilt: 
:$$f_{xy}(x,\hspace{0.08cm} y) = H = {\rm const.}$$
*Au&szlig;erhalb des Parallelogramms sind keine Werte m&ouml;glich: &nbsp; $f_{xy}(x, y) = 0$.







Hinweise: 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen|Linearkombinationen von Zufallsgrößen]].
*Bezug genommen wird auch auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Regressionsgerade|Regressionsgerade]].
*Wir verweisen hier auch auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]].
*Gehen Sie - wenn m&ouml;glich - von den angegebenen Gleichungen aus.&nbsp; Nutzen Sie die Informationen der obigen Skizze vorwiegend nur zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse.
 




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Wie gro&szlig; ist die H&ouml;he&nbsp; $H$&nbsp; der 2D&ndash;WDF innerhalb des Parallelogramms?
|type="{}"}
$H \ = \ $ { 0.125 3% }


{Welche Werte von&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; liegen dem Eckpunkt&nbsp; $(-1,\hspace{0.08cm} 3)$&nbsp; zugrunde?
|type="{}"}
$u \ = \ $ { 0. }
$v \ = \ $ { 1 3% }


{Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{xy}$.
|type="{}"}
$\rho_{xy}\ = \ $ { -0.457--0.437 }


{Wie lautet die Korrelationsgerade&nbsp; $(\rm KG)$?&nbsp; Bei welchem Punkt&nbsp; $y_0$&nbsp; schneidet diese die&nbsp; $y$-Achse?
|type="{}"}
$y_0\ = \ $ { 2.5 3% }


{Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_x(x)$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; negativ ist?
|type="{}"}
${\rm Pr}(x < 0)\ = \ $  { 0.125 3% }


{Berechnen Sie die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_y(y)$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y >3$&nbsp; ist?
|type="{}"}
${\rm Pr}(y > 3)\ = \ $ { 0.167 3% }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Fl&auml;che des Parallelogramms kann aus zwei gleich gro&szlig;en Dreiecken zusammengesetzt werden. 
*Die Fl&auml;che des Dreiecks&nbsp; $(1,0)\ (1,4)\ (-1,3)$&nbsp; ergibt &nbsp; $0.5 &middot; 4 &middot; 2 = 4$. 
*Die Gesamtfl&auml;che ist doppelt so groß: &nbsp; $F = 8$. 
*Da das WDF&ndash;Volumen stets&nbsp; $1$&nbsp; ist;&nbsp; $H= 1/F\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}$.



'''(2)'''&nbsp; Der minimale Wert von&nbsp; $x$&nbsp; ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $\underline{ u=0}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{ v=1}$.&nbsp; Daraus folgen aus obigen Gleichungen die Ergebnisse&nbsp; $x= -1$&nbsp; und&nbsp; $y= +3$.



'''(3)'''&nbsp; Die im Theorieteil angegebene Gleichung gilt allgemein,&nbsp; also f&uuml;r jede beliebige WDF der beiden statistisch unabh&auml;ngigen Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$,&nbsp; so lange diese gleiche Streuungen aufweisen&nbsp; $(\sigma_u = \sigma_v)$. 

*Mit&nbsp; $A = 2$,&nbsp; $B = -2$,&nbsp; $D = 1$&nbsp; und&nbsp; $E = 3$&nbsp; erh&auml;lt man:
:$$\rho_{xy } =  \frac {\it A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(\it A^{\rm 2}+\it B^{\rm 2})(\it D^{\rm 2}+\it E^{\rm 2})}} =\frac {2 \cdot 1 -2 \cdot 3}{\sqrt{(4 +4)(1+9)}} = \frac {-4}{\sqrt{80}} = \frac {-1}{\sqrt{5}}\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.447}. $$



'''(4)'''&nbsp; Die Korrelationsgerade lautet allgemein:
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x-m_x)+m_y.$$

*Aus den linearen Mittelwerten&nbsp; $m_u = m_v = 0.5$&nbsp; und den in der Aufgabenstellung angegebenen Gleichungen erh&auml;lt man&nbsp; $m_x = 1$&nbsp; und&nbsp; $m_y = 2$.

*Die Varianzen von&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; betragen jeweils&nbsp; $\sigma_u^2 = \sigma_v^2 =1/12$.&nbsp; Daraus folgt:
:$$\sigma_x^2 = 4 \cdot \sigma_u^2 + 4 \cdot \sigma_v^2 = 2/3,$$
:$$\sigma_y^2 = \sigma_u^2 + 9\cdot \sigma_v^2 = 5/6.$$

*Setzt man diese Werte in die Gleichung der Korrelationsgeraden ein,&nbsp; so ergibt sich:
:$$y=K(x)=\frac{\sqrt{5/6}}{\sqrt{2/3}}\cdot (\frac{-1}{\sqrt{5}})\cdot(x-1)+2= - x/{2} + 2.5.$$

*Daraus folgt der Wert&nbsp; $y_0=K(x=0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2.5}$



'''(5)'''&nbsp; Mit den Hilfsgr&ouml;&szlig;en &nbsp; $q= 2u$, &nbsp; $r= -2v$ &nbsp; und &nbsp; $s= x-1$&nbsp; gilt der Zusammenhang: &nbsp;  $s= q+r$. 

[[Datei:P_ID414__Sto_A_4_8_e.png|right|frame|Dreieckförmige WDF $f_x(x)$]]

*Da&nbsp; $u$&nbsp;  und&nbsp; $v$&nbsp;  jeweils zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichverteilt sind,&nbsp; ist&nbsp; $q$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; zwischen&nbsp; $-2$&nbsp; und&nbsp; $0$ gleichverteilt .

*Da zudem&nbsp; $q$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; nicht statistisch voneinander abh&auml;ngen,&nbsp; gilt f&uuml;r die WDF der Summe:
:$$f_s(s) = f_q(q) \star f_r(r).$$

*Die Addition&nbsp; $x = s+1$&nbsp; f&uuml;hrt zu einer Verschiebung der Dreieck&ndash;WDF um&nbsp; $1$&nbsp; nach rechts. 
*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit&nbsp; (gr&uuml;n hinterlegt)&nbsp; gilt deshalb: &nbsp; 
:$${\rm Pr}(x < 0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.125}.$$
<br clear=all>
[[Datei: P_ID415__Sto_A_4_8_f.png|right|frame|Trapezförmige WDF $f_y(y)$]]
'''(6)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; gilt mit&nbsp; $t = 3v$:
:$$f_y(y) = f_u(u) \star f_t(t).$$

*Die Faltung zwischen zwei verschieden breiten Rechtecken ergibt ein Trapez. 
*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man&nbsp; 
:$${\rm Pr}(y>3) =1/6\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.167}.$$  
*Diese Wahrscheinlichkeit ist in der rechten Skizze gr&uuml;n hinterlegt.


{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.3 Linearkombinationen^]]