Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 5.6: Filterdimensionierung


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften
}}

[[Datei:P_ID566__Sto_A_5_6.png|right|frame|Gewünschte AKF&nbsp; $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$]]
Eine zeitdiskrete Zufallsgröße&nbsp; $\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu  } \hspace{0.05cm}\right\rangle$&nbsp; mit der skizzierten Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm AKF$&nbsp; soll mit Hilfe eines digitalen Filters erzeugt werden.  

Die zeitdiskreten Gaußschen Eingangswerte&nbsp; $x_\nu$&nbsp; seien  jeweils gekennzeichnet durch
*den Mittelwert&nbsp; $m_x = 0$, 
*die Streuung&nbsp; $\sigma_x = 1$.



Hinweise:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_vorgegebener_AKF-Eigenschaften|Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften]].
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
*Alle AKF-Werte&nbsp; $\varphi_y(k \cdot T_{\rm A})$&nbsp; mit Index&nbsp; $|k| \gt 2$&nbsp; seien Null.
 


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
- Es eignet sich ein rekursives Filter erster Ordnung.
- Es eignet sich ein nichtrekursives Filter erster Ordnung.
+ Es eignet sich ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung.
- Die Ausgangswerte&nbsp; $y_\nu$&nbsp; sind dreieckverteilt.
+ Die Ausgangswerte&nbsp; $y_\nu$&nbsp; sind mittelwertfrei&nbsp; $(m_y = 0)$.



{Geben Sie die Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten&nbsp; $a_0$,&nbsp; $a_1$&nbsp; und&nbsp; $a_2$&nbsp; an.&nbsp; Ersetzen Sie die drei Variablen durch&nbsp; $u = a_1^2$&nbsp; und&nbsp; $w = (a_0 + a_2)^2$. <br>Bestimmen Sie&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $w$.&nbsp; <u>Hinweis:</u> &nbsp;Es gibt nur eine sinnvolle Lösung.
|type="{}"}
$u \ = \ $ { 0.25 3% }
$w \ =  \ $ { 4 3% }


{Bestimmen Sie die Filterkoeffizienten&nbsp; $a_0$,&nbsp; $a_1$&nbsp; und&nbsp; $a_2$.&nbsp; Geben Sie die folgenden Quotienten ein:
|type="{}"}
$a_1/a_0 \ =  \ $ { -0.515--0.485 }
$a_2/a_0 \ =  \ $ { 1 3% }


{Wieviele verschiedene Parametersätze&nbsp; $(I)$&nbsp; führen zur gewünschten AKF?
|type="{}"}
$I \ =  \ $ { 2 }


</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 3 und 5</u>:
*Ein rekursives Filter würde stets eine unendlich weit ausgedehnte Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; und damit auch eine unendlich ausgedehnte AKF bewirken. 
*Deshalb ist hier eine nichtrekursive Filterstruktur zu wählen.&nbsp; Die angegebene AKF erfordert die Ordnung&nbsp; $M= 2$.
*Da die Eingangswerte gaußverteilt und mittelwertfrei sind,&nbsp; gilt dies auch für die Ausgangswerte. 
*Bei der Filterung stochastischer Signale gilt stets:&nbsp; '''Gauß bleibt Gauß und Nicht-Gauß wird nie (exakt) Gauß'''. 



'''(2)'''&nbsp; Das Gleichungssystem lautet:
:$$k = 2\text{:}\quad a_0  \cdot a_2  = 1.$$
:$$k = 1\text{:}\quad a_0  \cdot a_1  + a_1  \cdot a_2  =  - 1\quad  \Rightarrow \quad \sqrt {u \cdot w}  =  - 1\quad  \Rightarrow \quad u \cdot w = 1.$$
:$$k = 0\text{:}\quad a_0 ^2  + a_1 ^2  + a_2 ^2  = 2.25\quad \;\;\,  \Rightarrow \quad u + w = 2.25 + 2a_0  \cdot a_2  = 4.25.$$

Das Gleichungssystem bezüglich&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $w$&nbsp; hat zwei Lösungen:
*$u = 4, \ w = 0.25$: &nbsp; Wegen der Bedingung&nbsp; $a_2 = 1/a_0$&nbsp; (siehe erste Gleichung) haben&nbsp; $a_0$&nbsp; und&nbsp; $a_2$&nbsp; gleiches Vorzeichen.
* Außerdem ist mindestens einer der beiden Koeffizienten  größer/gleich&nbsp; $1$. 
*Somit ist die Bedingung&nbsp; $a_0+a_2= \sqrt{w} = 0.5$&nbsp; nicht zu erfüllen.
*Die richtige Lösung lautet deshalb&nbsp; $\underline{u = 0.25}, \ \underline{w = 4}$.



'''(3)'''&nbsp; Das Ergebnis von&nbsp; '''(2)'''&nbsp; bedeutet,&nbsp; dass&nbsp; $a_1 = \pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5$&nbsp; ist. 
*Der positive Wert führt zum Gleichungssystem
:$$(1) \hspace{0.5cm}0.5 \cdot \left( {a_0  + a_2 } \right) =  - 1\quad  \Rightarrow \quad a_0  + a_2  =  - 2,$$
:$$(2) \hspace{0.5cm}a_0  \cdot a_2  = 1.$$

*Daraus folgt&nbsp; $a_0=a_2=-1$.&nbsp; Mit&nbsp; $a_1= 0.5$&nbsp; erhält man als Endergebnis:
:$$a_1/a_0  \hspace{0.15 cm}\underline{= -0.5},   \hspace{0.5 cm}
a_2/a_0  \hspace{0.15 cm}\underline{= 1}.$$

*Die Lösung &nbsp;$a_1= -0.5$&nbsp; führt zu &nbsp;$a_0=a_2=+1$&nbsp; und damit zu den gleichen Quotienten.



'''(4)'''&nbsp; Allgemein hat dieses Problem&nbsp; $I = 4$&nbsp; äquivalente Lösungen&nbsp; $($Spiegelung/Verschiebung sowie jeweils die Multiplikation mit&nbsp; $-1)$. 
*Da hier die Impulsantwort symmetrisch ist,&nbsp; gibt es allerdings nur&nbsp; $\underline{I = 2}$&nbsp; unterschiedliche Lösungen:
:$$\text{Lösung 1:} \ \ a_0  = +1,\quad a_1  =  - 0.5,\quad a_2  = +1; $$
:$$\text{Lösung 2:} \ \ a_0  =  - 1,\quad a_1  = +0.5,\quad a_2  =  - 1. $$
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.3 Filteranpassung an AKF^]]