Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 5.9: Minimierung des MQF


{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter
}}

[[Datei:P_ID652__Sto_A_5_9.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim <br>Wiener-Kolmogorow-Filter ]]
Gegeben ist ein stochastisches Nutzsignal&nbsp; $s(t)$,&nbsp; von dem nur das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; bekannt ist:
:$${\it \Phi} _s (f) = \frac{\it{\Phi} _{\rm 0} }{1 + ( {f/f_0 } )^2 }.$$
Dieses Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi} _s (f)$&nbsp; ist in der nebenstehenden Grafik blau dargestellt.

*Die mittlere Leistung von&nbsp; $s(t)$&nbsp; ergibt sich durch Integration über das Leistungsdichtespektrum:
:$$P_s  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\it \Phi} _s (f)}\, {\rm d} f = {\it \Phi} _0  \cdot f_0  \cdot {\rm{\pi }}.$$
*Additiv überlagert ist dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; weißes Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2.$ 
*Als Abkürzung verwenden wir&nbsp; $Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$,&nbsp; wobei&nbsp; $Q$&nbsp; als &bdquo;Qualität&rdquo; interpretiert werden könnte. 
*Zu beachten ist,&nbsp; dass&nbsp; $Q$&nbsp; kein Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis darstellt.


In dieser Aufgabe soll der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; eines Filters ermittelt werden,&nbsp; das den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $\rm (MQF)$&nbsp; zwischen dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und dem Filterausgangssignal&nbsp; $d(t)$&nbsp; minimiert:
:$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M}  \to \infty } \frac{1}{T_{\rm M} }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t.}$$



Hinweise:
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter|Wiener–Kolmogorow–Filter]].
*Für den optimalen Frequenzgang gilt nach Wiener und Kolmogorow allgemein:
:$$H_{\rm WF}(f) = \frac{1}{{1 + {\it \Phi} _n (f)/{\it \Phi} _s (f)}}.$$ 
*Zur Lösung vorgegeben wird das folgende unbestimmte Integral:
:$$\int {\frac{1}{a^2  + x^2 }} \, {\rm{d}}x ={1}/{a} \cdot \arctan \left( {{x}/{a}} \right).$$




===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
- $H(f)$&nbsp; ist ein Gaußtiefpass.
- $H(f)$&nbsp; stellt ein Matched&ndash;Filter dar.
+ $H(f)$&nbsp; ist ein Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filter.


{Bestimmen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; des hierfür optimalen Filters.&nbsp; Welche Werte ergeben sich  mit&nbsp; $Q = 3$&nbsp; bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
|type="{}"}
$H(f = 0) \ = \ $ { 0.75 3% }
$H(f = 2f_0)\ = \  $ { 0.375 3% }


{Es gelte weiter&nbsp; $Q = 3$.&nbsp; Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $(\rm MQF)$&nbsp; bezogen auf die Signalleistung&nbsp; $P_s$&nbsp; für das bestmögliche Filter.
|type="{}"}
${\rm MQF}/P_s \ =  \ $ { 0.5 3% }


{Wie groß muss der &bdquo;Qualitätsfaktor&rdquo;&nbsp; $Q$&nbsp; mindestens gewählt werden,&nbsp; damit für den Quotienten der Wert&nbsp; ${\rm MQF}/P_s = 0.1$&nbsp; erreicht werden kann?
|type="{}"}
$Q_\text{min} \ =  \ $ { 99 3% }


{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
- Ein formgleiches Filter&nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; führt zum gleichen Ergebnis.
+ Das Ausgangssignal&nbsp; $d(t)$&nbsp; enthält bei größerem&nbsp; $Q$&nbsp; mehr höherfrequente Anteile.



</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>nur der letzte Lösungsvorschlag</u>: 
*Die Aufgabenstellung &nbsp; &bdquo;Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers&rdquo; weist bereits auf das Filter nach Wiener&ndash;Kolmogorow hin. 
*Das Matched&ndash;Filter verwendet man dagegen,&nbsp; um die Signalenergie zu bündeln und dadurch für einen vorgegebenen Zeitpunkt das S/N&ndash;Verhältnis zu maximieren.



'''(2)'''&nbsp; Für den optimalen Frequenzgang gilt nach Wiener und Kolmogorow allgemein:
:$$H(f) = H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{{1 + {\it \Phi} _n (f)/{\it \Phi} _s (f)}}.$$

*Mit den gegebenen Leistungsdichtespektren kann hierfür auch geschrieben werden:
:$$H(f) = \frac{1}{{1 + {N_0 }/({{2{\it \Phi} _0 })}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}} = \frac{1}{{1 + {1}/{Q}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}}.$$

*Mit&nbsp;  $Q = 3$&nbsp; folgt daraus:
:$$H( {f = 0} ) = \frac{1}{{1 + {1}/{Q}}} = \frac{Q}{Q + 1}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75},$$
:$$H( {f = 2f_0 } ) = \frac{1}{{1 + {5}/{Q}}} = \frac{Q}{Q + 5}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.375}.$$



'''(3)'''&nbsp; Für das in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechnete Filter gilt unter Berücksichtigung der Symmetrie:
:$${\rm{MQF = }}\int_{-\infty}^{+\infty}  H(f) \cdot {\it \Phi} _n (f) \,\, {\rm{d}}f = \int_{0}^{+\infty}  \frac{N_0}{{1 + {N_0 }/({{2{\it \Phi} _0 })}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}} \,\, {\rm{d}}f .$$

*Hierfür kann mit &nbsp;$Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$&nbsp; und &nbsp;$a^2 = Q + 1$&nbsp; auch geschrieben werden:<br />
:$${\rm{MQF = }}\int_0^\infty  {\frac{{2{\it \Phi} _0 }}{{ Q+1 + ( {f/f_0 })^2 }}} \,\, {\rm{d}}f = 2{\it \Phi} _0  \cdot f_0 \int_0^\infty  {\frac{1}{a^2  + x^2 }}\,\, {\rm{d}}x.$$

*Mit dem angegebenen Integral führt dies zum Ergebnis:
:$${\rm{MQF}} = \frac{{2{\it \Phi} _0 f_0 }}{{\sqrt {1 + Q} }}\left( {\arctan ( \infty  ) - \arctan ( 0 )} \right) = \frac{{{\it \Phi} _0 f_0 {\rm{\pi }}}}{{\sqrt {1 + Q} }}.$$

*Normiert man MQF auf die Nutzleistung&nbsp; $P_s$,&nbsp; so erhält man für&nbsp; $Q=3$:
:$$\frac{\rm{MQF}}{P_s}  = \frac{1}{{\sqrt {1 + Q} }} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.5}.$$



'''(4)'''&nbsp; Aus der Berechnung in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; folgt für&nbsp; ${\rm MQF}/P_s \ge 0.1$ direkt die Bedingung&nbsp; $Q \ge 99$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $Q_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 99}$. 
*Je größer&nbsp; $Q$&nbsp; ist, desto kleiner wird der mittlere quadratische Fehler.




'''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
*Ein zum Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filter formgleicher Frequenzgang &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; mit&nbsp; $K \ne 1$&nbsp; führt stets zu großen Verfälschungen. 
*Dies kann man am rauschfreien Fall&nbsp; $(Q \to \infty)$&nbsp; zeigen:&nbsp;  $d(t) = K \cdot s(t)$&nbsp; und die Optimierungsaufgabe trotz guter Bedingungen extrem schlecht gelöst.
*Aus der Gleichung
[[Datei:P_ID651__Sto_A_5_9_e.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim Wiener-Filter]]
:$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f)}  \cdot \it{\Phi} _n (f)\,\,{\rm{d}}f$$
:könnte man fälschlicherweise schließen, dass durch ein Filter&nbsp; $H(f) = 2 \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; der mittlere quadratische Fehler nur verdoppelt wird. 
*Dem ist jedoch nicht so, da&nbsp; $H(f)$&nbsp; dann kein Wiener-Filter mehr ist und somit obige Gleichung auch nicht mehr anwendbar.


Die zweite Aussage ist zutreffend,&nbsp; wie aus nebenstehender Skizze  hervorgeht. 
*Die Punkte markieren den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm WF}(f)$&nbsp; für&nbsp; $Q = 3$&nbsp; bzw. &nbsp; $Q = 10$. 
*Bei größerem&nbsp; $Q (= 10)$&nbsp; werden hohe Anteile weniger gedämpft als bei niedrigerem&nbsp; $Q (= 3)$. 
*Deshalb beinhaltet das  Filterausgangssignal im Fall&nbsp; $Q = 10$&nbsp; auch  mehr höherfrequente Anteile,&nbsp; die auf das Rauschen&nbsp;   $n(t)$&nbsp; zurückgehen.

{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.5 Wiener–Kolmogorow–Filter^]]