Quelltext der Seite Digitalsignalübertragung/Binary Symmetric Channel (BSC)

 
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== Binary Symmetric Channel &ndash; Modell und Fehlerkorrelationsfunktion==
<br>
Die linke Grafik zeigt mit dem BSC&ndash;Modell das einfachste Modell eines digitalen Übertragungssystems.&nbsp; 

Der Name steht für&nbsp; "'''Binary Symmetric Channel'''"&nbsp; und besagt,&nbsp; dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann.&nbsp; Weiter gilt: 

[[Datei:P ID1828 Dig T 5 2 S1 version1.png|right|frame|BSC–Modell und zugehörige Fehlerkorrelationsfunktion|class=fit]]

*Das BSC&ndash;Modell eignet sich für die Untersuchung und Erzeugung einer Fehlerfolge mit statistisch unabhängigen Fehlern.&nbsp; 

*Man nennt einen solchen Kanal&nbsp; "gedächtnisfrei".&nbsp; Im Unterschied zu den&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle|"Bündelfehler&ndash;Kanalmodellen"]]&nbsp; existiert hier nur ein einziger Kanalzustand.<br>

*Die beiden Symbole&nbsp; $($zum Beispiel&nbsp; $\rm L$&nbsp; und &nbsp;$\rm H)$&nbsp; werden jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p$&nbsp; verfälscht,&nbsp; so dass auch die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = p$&nbsp; ist,&nbsp; und zwar unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp;  $p_{\rm H}$.<br><br>

Die rechte Grafik zeigt die&nbsp; "Fehlerkorrelationsfunktion"&nbsp; $\rm (FKF)$&nbsp; des BSC&ndash;Modells:

::<math>\varphi_{e}(k) =  {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =
 \left\{ \begin{array}{c} p \\
 p^2 \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.25cm}k = 0  \hspace{0.05cm},
\\  f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.25cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>

{{BlaueBox|TEXT=  
$\text{Fazit:}$&nbsp; 
*Beim BSC&ndash;Modell wird der FKF&ndash;Endwert&nbsp; $($Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit$)$,&nbsp; der bei anderen Modellen erst für&nbsp; $k \to \infty$&nbsp; gültig ist,&nbsp; bereits bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; exakt erreicht und bleibt dann konstant.<br>

*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der&nbsp; "erneuernden Kanalmodelle"&nbsp;&nbsp; $($englisch:&nbsp; "renewal channels").&nbsp; Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:

::<math>\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot
\varphi_{e}(k - \kappa) \hspace{0.05cm}.</math>}}

== Binary Symmetric Channel &ndash; Fehlerabstandsverteilung==
<br>
Wir betrachten nun die&nbsp; "Fehlerabstandsverteilung"&nbsp; $\rm (FAV)$.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand&nbsp; $a=k$&nbsp; ergibt sich aus der Bedingung von&nbsp; $k-1$&nbsp; fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu +k$,&nbsp; vorausgesetzt,&nbsp; dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; aufgetreten ist.&nbsp; Man erhält:

::<math>{\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.</math>

Daraus folgt:
*Der Fehlerabstand&nbsp; $a = 1$&nbsp; tritt beim BSC&ndash;Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf,&nbsp; und zwar für jeden Wert von&nbsp; $p$.<br>

*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend: <br>Mit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand&nbsp; ${\rm E}\big[a\big] = 100$.&nbsp; Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler&nbsp; $(a = 1)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $0.99^{99} \approx 2.7$&nbsp; wahrscheinlicher als der Fehlerabstand&nbsp; $a = 100$.<br>

*Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|"allgemeinen Definition"]]&nbsp; durch Summation:

::<math>V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  (1-p)^{\kappa-1}\cdot p = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.</math>

{{GraueBox|TEXT=  
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die linke Grafik zeigt&nbsp; $V_a(k)$&nbsp; in linearer Darstellung für 
[[Datei:P ID1829 Dig T 5 2 S2 version1.png|right|Fehlerabstandsverteilung beim BSC–Modell in linearer und logarithmischer Darstellung.|class=fit]]

*$p = 0.1$&nbsp; (blaue Kurve), und&nbsp; 
*$p = 0.02$&nbsp; (rote Kurve). 


&rArr; &nbsp; Der Abfall erfolgt mit steigendem&nbsp; $k$&nbsp; exponentiell und ist umso steiler,&nbsp; je kleiner&nbsp; $p$&nbsp; ist.<br>

&rArr; &nbsp; Die rechte Grafik zeigt die logarithmische Darstellung.&nbsp; Hier verläuft der Abfall linear entsprechend

::<math>{\rm lg} \hspace{0.15cm}V_a(k) =  (k - 1) \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}(1-p)\hspace{0.05cm}.</math>}}<br>

== Anwendungen des BSC–Modells ==
<br>
Das BSC&ndash;Modell ist das&nbsp; "digitale Äquivalent"&nbsp; zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|"AWGN"]]&nbsp; für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik. 
#Einzige Beeinträchtigung ist das Rauschen. 
#Es gibt keine Verzerrungen.<br>

[[Datei:P ID1830 Dig T 5 2 S3 version1.png|right|frame|Zur Verwendung des BSC–Modells|class=fit]]


Um das BSC&ndash;Modell anwenden zu können,&nbsp; muss das Digitalsystem folgende Voraussetzungen erfüllen:
*Redundanzfreie Binärcodierung &nbsp; &#8658; &nbsp; keine Kanalcodierung und &ndash;decodierung,<br>

*Störung entsprechend dem AWGN&ndash;Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; additiv, weiß und gaußverteilt,<br>

*keine Verzerrungen durch die Bauteile von Sender und Empfänger,<br>

*Schwellenwertentscheider mit symmetrischer Entscheiderschwelle,<br>

*keine Fremdeinflüsse wie: <br>Nebensprechen,&nbsp; Wählimpulse,&nbsp; elektromagnetische Störfelder ...<br>


Bei einem&nbsp; "Funksystem"&nbsp;  mit direkter Sichtverbindung&nbsp;  "Sender &ndash; Empfänger" 
*ist die Anwendung des BSC&ndash;Modells oft gerechtfertigt, 
*nicht jedoch,&nbsp; wenn Fadingeinflüsse &nbsp; $($[[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung|"Rayleigh oder Rice"$)$]]&nbsp; eine Rolle spielen 
*oder wenn Echos  auftreten können &nbsp; &#8658; &nbsp;[[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk|"Mehrwegeempfang"]].<br>


&rArr; &nbsp; Bei&nbsp; "leitungsgebundener Übertragung"&nbsp; $($zum Beispiel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|"DSL"]],&nbsp;  aber auch bei optischer Übertragung$)$&nbsp; sind dagegen nach Aussagen von Netzbetreibern statistisch unabhängige Fehler eher die Ausnahme. 

&rArr; &nbsp; Treten bei der Datenübertragung über das Fernsprechnetz Fehler auf,&nbsp; dann meist gehäuft.&nbsp; Man spricht in diesem Fall von so genannten&nbsp; "Bündelfehlern",&nbsp; die im nächsten Kapitel behandelt werden.<br>

==Aufgaben zum Kapitel==
<br>
[[Aufgaben:Aufgabe_5.3:_AWGN-_und_BSC-Modell|Aufgabe 5.3:&nbsp;  AWGN- und BSC-Modell]]

[[Aufgaben:5.3Z_Analyse_des_BSC-Modells|Aufgabe 5.3Z:&nbsp;  Analyse des BSC-Modell]]

[[Aufgaben:5.4 Ist das BSC-Modell erneuernd?|Aufgabe 5.4:&nbsp; Ist das BSC-Modell erneuernd?]]

[[Aufgaben:5.5 Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge|Aufgabe 5.5:&nbsp; Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge]]


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