Aufgaben:Aufgabe 1.13: Decodierung beim binären Auslöschungskanal (BEC) - Versionsgeschichte

Guenter am 21. Juli 2022 um 15:46 Uhr

2022-07-21T15:46:36Z

Guenter am 21. Juli 2022 um 15:08 Uhr

2022-07-21T15:08:03Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 12:58 Uhr

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Guenter am 13. Mai 2019 um 12:33 Uhr

2019-05-13T12:33:45Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 12:25 Uhr

2019-05-13T12:25:16Z

Guenter am 13. Mai 2019 um 12:22 Uhr

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Guenter am 13. Mai 2019 um 12:12 Uhr

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Guenter am 5. Januar 2018 um 10:15 Uhr

2018-01-05T10:15:45Z

Guenter am 5. Januar 2018 um 09:37 Uhr

2018-01-05T09:37:42Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 1.13: Decodierung beim ''B'' nach Aufgaben:Aufgabe 1.13: Decodierung beim binären Auslöschungskanal (BEC)

2018-01-05T09:20:22Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 1.13: Decodierung beim ''B'' nach Aufgabe 1.13: Decodierung beim binären Auslöschungskanal (BEC)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Der Empfangsvektor lautet $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Ausgelöscht wurden also die Codesymbole an den Positionen 2 und 7.
+'''(1)'''&nbsp;  Der Empfangsvektor lautet&nbsp; $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$.&nbsp; Ausgelöscht wurden also die Codesymbole an den Positionen 2 und 7.
 Ausgehend von der vorgegebenen Prüfmatrix
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 des Hammingcodes erhält man für Vektor und Matrix
-* hinsichtlich aller ''korrekt übertragenen Codesymbole'' (Index $\rm K$), die dem Codewortfinder bekannt sind:
+* hinsichtlich aller&nbsp; "korrekt übertragenen Codesymbole"&nbsp; $($Index&nbsp; $\rm K)$,&nbsp; die dem Codewortfinder bekannt sind:
 :$$\underline{z}_{\rm K} = (1, 0, 1, 0, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
-*hinsichtlich der beiden ''ausgelöschten Codesymbole'' $z_{2}$ und $z_{7}$ (Index $\rm E$), die zu ermitteln sind:
+*hinsichtlich der beiden&nbsp; "ausgelöschten Codesymbole"&nbsp; $z_{2}$&nbsp; und&nbsp; $z_{7}$&nbsp; $($Index&nbsp; $\rm E)$,&nbsp; die zu ermitteln sind:
 :$$\underline{z}_{\rm E} = (z_2, z_7)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &0\\ 1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(2)'''&nbsp;  Betrachtet man die vorgegebene Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$, so erkennt man, dass diese mit den ersten vier Spalten der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ übereinstimmt.
+'''(2)'''&nbsp;  Betrachtet man die vorgegebene Matrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$,&nbsp; so erkennt man,&nbsp; dass diese mit den ersten vier Spalten der Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; übereinstimmt.
-*Die Auslöschungen betreffen also die letzten drei Bit des Empfangswortes &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{z}_{\rm E} = (z_{5}, z_{6}, z_{7})    &nbsp; ⇒ &nbsp;    \underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$.
+*Die Auslöschungen betreffen also die letzten drei Bit des Empfangswortes &nbsp; ⇒ &nbsp; $\underline{z}_{\rm E} = (z_{5}, z_{6}, z_{7})$    &nbsp; ⇒ &nbsp;    $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$.
 *Die Erasure–Matrix lautet:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind demzufolge die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>.
+Richtig sind demzufolge die&nbsp; <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>.
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 { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_5 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_5 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Gleichsetzen folgt $z_{5} = 0, \ z_{6} = 0, \ z_{7} = 1$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+Durch Gleichsetzen folgt&nbsp; $z_{5} = 0, \ z_{6} = 0, \ z_{7} = 1$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Der Matrizenvergleich zeigt, dass die ersten drei Spalten von $\boldsymbol{\rm H}$ und $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ identisch sind.
+'''(4)'''&nbsp; Der Matrizenvergleich zeigt,&nbsp; dass die ersten drei Spalten von&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; identisch sind.
-* Die vierte Spalte von $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ ist gleich der fünften Spalte der Prüfmatrix.
+* Die vierte Spalte von&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; ist gleich der fünften Spalte der Prüfmatrix.
 '''(5)'''&nbsp;  Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\\ 0 &1 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
 { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 0 &0 &0\\ 1 &1 &0\\ 1 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_4 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ z_4 + z_6 \\ z_4 + z_7 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-* Setzt man nun die beiden Spaltenvektoren gleich, so erhält man nur mehr zwei Gleichungen für die drei Unbekannten &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
+* Setzt man nun die beiden Spaltenvektoren gleich,&nbsp; so erhält man nur mehr zwei Gleichungen für die drei Unbekannten &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.&nbsp; Oder anders ausgedrückt: &nbsp;
-*Oder anders ausgedrückt: &nbsp; Ist die Anzahl der Auslöschungen des BEC–Kanals größer als der Rang der Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$, so ergibt sich keine eindeutige Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
+*Ist die Anzahl der Auslöschungen des BEC–Kanals größer als der Rang der MatrixOder anders ausgedrückt: &nbsp;  $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$,Oder anders ausgedrückt: &nbsp;  so ergibt sich keine eindeutige Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
-[[Datei:P_ID2540__KC_A_1_13f.png|right|frame|Codetabelle des systematischen $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes]]
+*Ist die Anzahl&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; der Auslöschungen kleiner als&nbsp; $d_{\rm min} = 3$,&nbsp; so ist eine Decodierung nach der  beschriebenen Methode immer möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; siehe  Aufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; mit&nbsp; $n_{\rm E}= 2$.
-*Ist die Anzahl&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; der Auslöschungen kleiner als&nbsp; $d_{\rm min} = 3$, so ist eine Decodierung nach der hier beschriebenen Methode immer möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; siehe beispielsweise Teilaufgabe '''(1)''' mit&nbsp; $n_{\rm E}= 2$.
+*Für&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min} = 3$&nbsp; ist manchmal eine Decodierung möglich,&nbsp; siehe Aufgabe&nbsp; '''(3)'''.&nbsp;  Es gibt nur ein Codewort,&nbsp; das zum Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; passen könnte,&nbsp; nämlich das  gelb hinterlegte Codewort&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$.
-*Auch für&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min} = 3$&nbsp; ist manchmal eine Decodierung möglich, wie in der Teilaufgabe '''(3)''' gezeigt. In der Codetabelle gibt es nur ein einziges Codewort, das zum Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; passen könnte, nämlich das  gelb hinterlegte Codewort&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ .
+*Dagegen ist&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; gemäß Aufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; nicht decodierbar.&nbsp; In der Codetabelle erkennt man neben&nbsp; $(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$&nbsp; mit&nbsp; $(1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)$&nbsp; ein weiteres Codewort&nbsp; (grün hinterlegt),&nbsp; das durch die&nbsp; $n_{\rm E} = 3$&nbsp;  Auslöschungen bezüglich Bit 4, 6 und 7 zum Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wird.
-*Dagegen konnte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' nicht decodiert werden. In der Codetabelle erkennt man neben&nbsp; $(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$&nbsp; mit&nbsp; $(1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)$&nbsp; ein weiteres Codewort (grün hinterlegt), das durch die&nbsp; $n_{\rm E} = 3$&nbsp;  Auslöschungen bezüglich Bit 4, 6 und 7 zum Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wird. Dieser Fall, wenn die&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min}$&nbsp; Auslöschungen genau die&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; unterschiedlichen Bit zweier Codeworte betreffen, führt zu einer Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm E}$&nbsp; mit einem Rang kleiner&nbsp; $d_{\rm min}$.
+*Dieser Fall, wenn die&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min}$&nbsp; Auslöschungen die&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; unterschiedlichen Bit zweier Codeworte betreffen, führt zu einer Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm E}$&nbsp; mit Rang kleiner&nbsp; $d_{\rm min}$.
-*Ist&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}  > d_{\rm min}$, so ist die Anzahl&nbsp; $n - n_{\rm E}$&nbsp; der nicht ausgelöschten Bit kleiner als die Anzahl&nbsp; $k$&nbsp; der Informationsbit. In diesem Fall kann das Codewort natürlich nicht decodiert werden.
+*Ist&nbsp; $n_{\rm E}  > d_{\rm min}$,&nbsp; so ist die Anzahl&nbsp; $n - n_{\rm E}$&nbsp; der nicht ausgelöschten Bit kleiner als die Anzahl&nbsp; $k$&nbsp; der Informationsbit.&nbsp; In diesem Fall kann das Codewort natürlich nicht decodiert werden.
-Das heißt: &nbsp; Zutreffend sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>.
+Das heißt: &nbsp; Zutreffend sind die&nbsp; <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:KC_A_1_13_neu.png|right|frame|Zur Decodierung beim BEC]]
-Wir gehen hier vom Modell im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim ''Binary Erasure Channel'']]&nbsp;  aus (grün hinterlegte BEC–Konfiguration):
+Wir gehen hier vom Modell im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|"Decodierung beim Binary Erasure Channel"]]&nbsp;  aus&nbsp; (grün hinterlegte BEC–Konfiguration):
-*Jedes Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird blockweise codiert und liefert das Codewort&nbsp; $\underline{x}$. Der Blockcode sei linear und durch seine Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$ vollständig gegeben.
+*Jedes Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird blockweise codiert und liefert das Codewort&nbsp; $\underline{x}$.&nbsp; Der Blockcode sei linear und durch seine Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; vollständig gegeben.
-*Bei der Übertragung werden&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; Bit des Codewortes ausgelöscht &nbsp; ⇒ &nbsp;[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC). Aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; wird somit das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$.
+*Bei der Übertragung werden&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; Bit des Codewortes ausgelöscht &nbsp; ⇒ &nbsp;[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|"Binary Erasure Channel"]]&nbsp; $\rm (BEC)$.&nbsp; Aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; wird somit das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$.
-*Ist die Anzahl&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; der Auslöschungen kleiner als die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|minimale Distanz]]&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; des Codes, so gelingt es, aus&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp; ohne Fehler zu rekonstruieren, und man erhält so auch das richtige Informationswort&nbsp; $\underline{v} = \underline{u}$.
+*Ist die Anzahl&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; der Auslöschungen kleiner als die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"minimale Distanz"]]&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; des Codes,&nbsp; so gelingt es,&nbsp; aus&nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; das Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp; ohne Fehler zu rekonstruieren,&nbsp; und man erhält so auch das richtige Informationswort&nbsp; $\underline{v} = \underline{u}$.
-Zur Aufgabenbeschreibung betrachten wir nun beispielhaft das Hamming–Codewort&nbsp; $\underline{x} = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0)$&nbsp; und das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (0, 1, {\rm E} , {\rm E}, 1, 0, 0).$
+Zur Aufgabenbeschreibung betrachten wir nun beispielhaft das Hamming–Codewort &nbsp; $\underline{x} = (0, 1, 0, 1, 1, 0, 0)$ &nbsp; und das Empfangswort &nbsp; $\underline{y} = (0, 1, {\rm E} , {\rm E}, 1, 0, 0).$
-*Ausgelöscht wurden somit durch den Kanal das dritte und vierte Bit.
+*Ausgelöscht wurden somit durch den Kanal das dritte und vierte Bit.&nbsp; Der Codewortfinder hat somit die Aufgabe,&nbsp; den Vektor&nbsp; $z_{\rm E} = (z_{3}, z_{4})$&nbsp; mit&nbsp; $z_{3}, \ z_{4} \in \{0, 1\}$&nbsp; zu bestimmen.&nbsp; Dies geschieht entsprechend der Gleichung
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$\underline{z}_{\rm K} = (0, 1, 1, 0, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &1\\ 0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese Gleichung liefert zwei Bestimmungsgleichungen für die zu bestimmenden Bits, deren Lösung zum Ergebnis&nbsp; $z_{3} = 0$&nbsp; und&nbsp; $z_{4} = 1$&nbsp; führt.
+*Wir haben nun zwei Gleichungen für die zu bestimmenden Bits,&nbsp; deren Lösung zum Ergebnis&nbsp; $z_{3} = 0$&nbsp; und&nbsp; $z_{4} = 1$&nbsp; führt.
+* Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zum richtigen Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp;  ist im&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|"Theorieteil"]]&nbsp; ausführlich beschrieben.
-−
-''Hinweise: ''
+* Wir möchten nochmals daran erinnern, dass wir bei der BEC–Decodierung den ersten Decoderblock&nbsp; $\underline{y} → \underline{z}$&nbsp;  als&nbsp; "Codewortfinder"&nbsp; bezeichnen,&nbsp; da hier Fehlentscheidungen ausgeschlossen sind.&nbsp; Jedes Empfangswort wird richtig decodiert,&nbsp; oder es kann gar nicht decodiert werden.
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
-* Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zum richtigen Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp;  ist im&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Theorieteil]]&nbsp; ausführlich beschrieben.
+*Beim BSC–Modell lassen sich dagegen Decodierfehler nicht vermeiden.&nbsp; Dementsprechend bezeichnen wir den entsprechenden Block dort als&nbsp; "Codewortschätzer".
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Empfangen wurde&nbsp; $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Für welche Sequenz entscheidet sich der Codewortfinder?
+{Empfangen wurde&nbsp; $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$.&nbsp; Für welche Sequenz entscheidet sich der Codewortfinder?
 |type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0),$
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 + $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$&nbsp; ist eine&nbsp; $3 \times 3$–Matrix.
-{Nun gelte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
+{Nun gelte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$&nbsp; Welches Codewort wird ausgewählt?
 |type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0),$
@@ Zeile 65: / Zeile 64: @@
 |type="[]"}
 + Das Empfangswort lautet&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$
-- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp;  unterscheidet sich gegenüber Teilfrage '''(2)''' in der letzten Zeile.
+- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp;  unterscheidet sich gegenüber Teilfrage&nbsp; '''(2)'''&nbsp; in der letzten Zeile.
-+ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; unterscheidet sich gegenüber Teilfrage '''(2)''' in der letzten Spalte.
++ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; unterscheidet sich gegenüber Teilfrage&nbsp; '''(2)'''&nbsp; in der letzten Spalte.
-{Nun gelte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
+{Nun gelte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$&nbsp; Welches Codewort wird ausgewählt?
 |type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0),$
@@ Zeile 75: / Zeile 74: @@
 + Für das vorliegende&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ist keine eindeutige Decodierung möglich.
-{Welche Aussagen ergeben sich für die Korrekturfähigkeit beim BEC? $n_{\rm E}$&nbsp; gibt im Folgenden die Anzahl der Auslöschungen (''Erasures'') an.
+{Welche Aussagen ergeben sich für die Korrekturfähigkeit beim BEC?&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; gibt im Folgenden die Anzahl der Auslöschungen&nbsp; ("Erasures")&nbsp; an.
 |type="[]"}
 + Für&nbsp; $n_{\rm E} < d_{\rm min}$&nbsp; ist stets eine eindeutige Decodierung möglich.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes}}
-[[Datei:P_ID2539__KC_A_1_13.png|right|frame|Zur Decodierung beim BEC]]
+[[Datei:KC_A_1_13_neu.png|right|frame|Zur Decodierung beim BEC]]
 Wir gehen hier vom Modell im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim ''Binary Erasure Channel'']]&nbsp;  aus (grün hinterlegte BEC–Konfiguration):
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Der Empfangsvektor lautet $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Ausgelöscht wurden also die Codesymbole an den Positionen 2 und 7. Ausgehend von der vorgegebenen Prüfmatrix
+'''(1)'''&nbsp;  Der Empfangsvektor lautet $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Ausgelöscht wurden also die Codesymbole an den Positionen 2 und 7.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$$
-des Hammingcodes erhält man für Vektor und Matrix hinsichtlich
+des Hammingcodes erhält man für Vektor und Matrix
-*aller ''korrekt übertragenen Codesymbole'' (Index $\rm K$), die dem Codewortfinder bekannt sind:
+* hinsichtlich aller ''korrekt übertragenen Codesymbole'' (Index $\rm K$), die dem Codewortfinder bekannt sind:
 :$$\underline{z}_{\rm K} = (1, 0, 1, 0, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
-*hinsichtlich der beiden ''ausgelöschten Codesymbole<'' $z_{2}$ und $z_{7}$ (Index $\rm E$), die zu ermitteln sind:
+*hinsichtlich der beiden ''ausgelöschten Codesymbole'' $z_{2}$ und $z_{7}$ (Index $\rm E$), die zu ermitteln sind:
 :$$\underline{z}_{\rm E} = (z_2, z_7)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &0\\ 1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 112: / Zeile 114: @@
 Somit liefert der Codewortfinder $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
@@ Zeile 121: / Zeile 124: @@
 Richtig sind demzufolge die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>.
@@ Zeile 128: / Zeile 132: @@
 Durch Gleichsetzen folgt $z_{5} = 0, \ z_{6} = 0, \ z_{7} = 1$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
@@ Zeile 133: / Zeile 138: @@
 * Die vierte Spalte von $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ ist gleich der fünften Spalte der Prüfmatrix.
 *Daraus folgt für den Vektor $z_{\rm E} = (z_{4}, z_{6}, z_{7})$ und weiter für den Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1 und 3</u>.
@@ Zeile 140: / Zeile 146: @@
 { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 0 &0 &0\\ 1 &1 &0\\ 1 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_4 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ z_4 + z_6 \\ z_4 + z_7 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Setzt man nun die beiden Spaltenvektoren gleich, so erhält man nur mehr zwei Gleichungen für die drei Unbekannten &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
+* Setzt man nun die beiden Spaltenvektoren gleich, so erhält man nur mehr zwei Gleichungen für die drei Unbekannten &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
-Oder anders ausgedrückt:
+*Oder anders ausgedrückt: &nbsp; Ist die Anzahl der Auslöschungen des BEC–Kanals größer als der Rang der Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$, so ergibt sich keine eindeutige Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
-*Ist die Anzahl der Auslöschungen des BEC–Kanals größer als der Rang der Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$, so ergibt sich keine eindeutige Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
 [[Datei:P_ID2540__KC_A_1_13f.png|right|frame|Codetabelle des systematischen $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes]]
-'''(6)'''&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe beziehen wir uns wieder auf den systematischen Hamming–Code $(7, 4, 3)$ entsprechend der angegebenen Prüfgleichung und der angegebenen Codetabelle. Die Informationsbit sind schwarz dargestellt und die Prüfbit rot. Die minimale Distanz dieses Codes beträgt $d_{\rm min} = 3$.
+'''(6)'''&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe beziehen wir uns wieder auf den systematischen Hamming–Code $(7, 4, 3)$ entsprechend der angegebenen Prüfgleichung und der angegebenen Codetabelle.
+*Die Informationsbit sind schwarz dargestellt und die Prüfbit rot.
-Weiter nehmen wir an, dass stets das gelb hinterlegte Codewort $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ gesendet wurde.
+*Die minimale Distanz dieses Codes beträgt $d_{\rm min} = 3$.
-<br clear=all>Dann gilt:
+<br clear=all>
-*Ist die Anzahl $n_{\rm E}$ der Auslöschungen kleiner als $d_{\rm min} = 3$, so ist eine Decodierung nach der hier beschriebenen Methode immer möglich &nbsp;⇒&nbsp; siehe beispielsweise Teilaufgabe (1) mit $n_{\rm E}= 2$.
+*Ist die Anzahl&nbsp; $n_{\rm E}$&nbsp; der Auslöschungen kleiner als&nbsp; $d_{\rm min} = 3$, so ist eine Decodierung nach der hier beschriebenen Methode immer möglich &nbsp; ⇒ &nbsp; siehe beispielsweise Teilaufgabe '''(1)''' mit&nbsp; $n_{\rm E}= 2$.
-*Auch für $n_{\rm E} = d_{\rm min} = 3$ ist manchmal eine Decodierung möglich, wie in der Teilaufgabe (3) gezeigt. In der Codetabelle gibt es nur ein einziges Codewort, das zum Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ passen könnte, nämlich das  Codewort $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ (gelb hinterlegt).
+*Auch für&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min} = 3$&nbsp; ist manchmal eine Decodierung möglich, wie in der Teilaufgabe '''(3)''' gezeigt. In der Codetabelle gibt es nur ein einziges Codewort, das zum Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; passen könnte, nämlich das  gelb hinterlegte Codewort&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ .
-*Dagegen konnte $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ entsprechend Teilaufgabe (4) nicht decodiert werden. In der Codetabelle erkennt man neben $(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ mit $(1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)$ ein weiteres Codewort (grün hinterlegt), das durch die $n_{\rm E} = 3$  Auslöschungen bezüglich Bit 4, 6 und 7 zum Empfangswort $\underline{y}$ wird. Dieser Fall, wenn die $n_{\rm E} = d_{\rm min}$ Auslöschungen genau die $d_{\rm min}$ unterschiedlichen Bit zweier Codeworte betreffen, führt zu einer Matrix $\mathbf{H}_{\rm E}$ mit einem Rang kleiner als $d_{\rm min}$.
+*Dagegen konnte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe '''(4)''' nicht decodiert werden. In der Codetabelle erkennt man neben&nbsp; $(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$&nbsp; mit&nbsp; $(1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)$&nbsp; ein weiteres Codewort (grün hinterlegt), das durch die&nbsp; $n_{\rm E} = 3$&nbsp;  Auslöschungen bezüglich Bit 4, 6 und 7 zum Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wird. Dieser Fall, wenn die&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min}$&nbsp; Auslöschungen genau die&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; unterschiedlichen Bit zweier Codeworte betreffen, führt zu einer Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_{\rm E}$&nbsp; mit einem Rang kleiner&nbsp; $d_{\rm min}$.
-*Ist $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}  > d_{\rm min}$, so ist die Anzahl $n – n_{\rm E}$ der nicht ausgelöschten Bit kleiner als die Anzahl $k$ der Informationsbit. In diesem Fall kann das Codewort natürlich nicht decodiert werden.
+*Ist&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}  > d_{\rm min}$, so ist die Anzahl&nbsp; $n - n_{\rm E}$&nbsp; der nicht ausgelöschten Bit kleiner als die Anzahl&nbsp; $k$&nbsp; der Informationsbit. In diesem Fall kann das Codewort natürlich nicht decodiert werden.
-Das heißt: Zutreffend sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>.
+Das heißt: &nbsp; Zutreffend sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 * Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zum richtigen Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp;  ist im&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Theorieteil]]&nbsp; ausführlich beschrieben.
 * Wir möchten nochmals daran erinnern, dass wir bei der BEC–Decodierung den ersten Decoderblock&nbsp; $\underline{y} → \underline{z}$&nbsp;  als&nbsp; ''Codewortfinder''&nbsp; bezeichnen, da hier Fehlentscheidungen ausgeschlossen sind. Jedes Empfangswort wird richtig decodiert, oder es kann gar nicht decodiert werden.
-*Beim BSC–Modell lassen sich dagegen Decodierfehler nicht vermeiden. Dementsprechend heißt der entsprechende Block dort&nbsp; ''Codewortschätzer''.
+*Beim BSC–Modell lassen sich dagegen Decodierfehler nicht vermeiden. Dementsprechend bezeichnen wir den entsprechenden Block dort als&nbsp; ''Codewortschätzer''.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Empfangen wurde $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Für welche Sequenz entscheidet sich der Codewortfinder?
+{Empfangen wurde&nbsp; $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Für welche Sequenz entscheidet sich der Codewortfinder?
 |type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0),$
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 - $\underline{z} = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1).$
-{Welche Konsequenzen ergeben sich aus den roten Eintragungen für $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ und $z_{\rm K}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite)?
+{Welche Konsequenzen ergeben sich aus den roten Eintragungen für&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; und&nbsp; $z_{\rm K}$&nbsp; (siehe Grafik auf der Angabenseite)?
 |type="[]"}
-+ Der Erasure–Vektor lautet $\underline{z}_{\rm E} = (z_{5}, z_{6}, z_{7}).$
++ Der Erasure–Vektor lautet&nbsp; $\underline{z}_{\rm E} = (z_{5}, z_{6}, z_{7}).$
-+ Das Empfangswort lautet $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$
++ Das Empfangswort lautet&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$
-- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$ ist eine $2 \times 3$–Matrix.
+- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$&nbsp; ist eine&nbsp; $2 \times 3$–Matrix.
-+ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$ ist eine $3 \times 3$–Matrix.
++ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$&nbsp; ist eine&nbsp; $3 \times 3$–Matrix.
-{Nun gelte $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
+{Nun gelte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
 |type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0),$
 + $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1),$
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0).$
-- Für das vorliegende $\underline{y}$ ist keine eindeutige Decodierung möglich.
+- Für das vorliegende&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ist keine eindeutige Decodierung möglich.
-{Welche Konsequenzen ergeben sich aus den grünen Eintragungen für $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ und  $z_{\rm K}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite)?
+{Welche Konsequenzen ergeben sich aus den grünen Eintragungen für&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; und&nbsp;  $z_{\rm K}$&nbsp; (siehe Grafik auf der Angabenseite)?
 |type="[]"}
-+ Das Empfangswort lautet $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$
++ Das Empfangswort lautet&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$
-- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$  unterscheidet sich gegenüber Teilfrage (2) in der letzten Zeile.
+- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp;  unterscheidet sich gegenüber Teilfrage '''(2)''' in der letzten Zeile.
-+ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ unterscheidet sich gegenüber Teilfrage (2) in der letzten Spalte.
++ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$&nbsp; unterscheidet sich gegenüber Teilfrage '''(2)''' in der letzten Spalte.
-{Nun gelte $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
+{Nun gelte&nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
 |type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0),$
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1),$
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 0).$
-+ Für das vorliegende $\underline{y}$ ist keine eindeutige Decodierung möglich.
++ Für das vorliegende&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ist keine eindeutige Decodierung möglich.
-{Welche Aussagen ergeben sich für die Korrekturfähigkeit beim BEC? $n_{\rm E}$ gibt dabei die Anzahl der Auslöschungen (''Erasures'') an.
+{Welche Aussagen ergeben sich für die Korrekturfähigkeit beim BEC? $n_{\rm E}$&nbsp; gibt im Folgenden die Anzahl der Auslöschungen (''Erasures'') an.
 |type="[]"}
-+ Für $n_{\rm E} < d_{\rm min}$ ist stets eine eindeutige Decodierung möglich.
++ Für&nbsp; $n_{\rm E} < d_{\rm min}$&nbsp; ist stets eine eindeutige Decodierung möglich.
-- Für $n_{\rm E} = d_{\rm min}$ ist stets eine eindeutige Decodierung möglich.
+- Für&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min}$&nbsp; ist stets eine eindeutige Decodierung möglich.
-+ Für $n_{\rm E} = d_{\rm min}$ ist manchmal eine eindeutige Decodierung möglich.
++ Für&nbsp; $n_{\rm E} = d_{\rm min}$&nbsp; ist manchmal eine eindeutige Decodierung möglich.
-+ Für $n_{\rm E} > d_{\rm min}$ ist eine eindeutige Decodierung nie möglich.
++ Für&nbsp; $n_{\rm E} > d_{\rm min}$&nbsp; ist eine eindeutige Decodierung nie möglich.
 </quiz>

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 ''Hinweise: ''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]].
-* Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zum richtigen Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp;  ist im&nbsp; [[Aufgaben:1.1_ISDN–Versorgungsleitungen|Theorieteil]]&nbsp; ausführlich beschrieben.
+* Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zum richtigen Codewort&nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$&nbsp;  ist im&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Theorieteil]]&nbsp; ausführlich beschrieben.
 * Wir möchten nochmals daran erinnern, dass wir bei der BEC–Decodierung den ersten Decoderblock&nbsp; $\underline{y} → \underline{z}$&nbsp;  als&nbsp; ''Codewortfinder''&nbsp; bezeichnen, da hier Fehlentscheidungen ausgeschlossen sind. Jedes Empfangswort wird richtig decodiert, oder es kann gar nicht decodiert werden.
 *Beim BSC–Modell lassen sich dagegen Decodierfehler nicht vermeiden. Dementsprechend heißt der entsprechende Block dort&nbsp; ''Codewortschätzer''.

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 des Hammingcodes erhält man für Vektor und Matrix hinsichtlich
-*aller <b><span style="color: rgb(204, 0, 0);">korrekt übertragenen Codesymbole</span></b> (Index $\rm K$), die dem Codewortfinder bekannt sind:
+*aller ''korrekt übertragenen Codesymbole'' (Index $\rm K$), die dem Codewortfinder bekannt sind:
 :$$\underline{z}_{\rm K} = (1, 0, 1, 0, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
-*hinsichtlich der beiden <b><span style="color: rgb(204, 0, 0);">ausgelöschten Codesymbole</span></b> $z_{2}$ und $z_{7}$ (Index $\rm E$), die zu ermitteln sind:
+*hinsichtlich der beiden ''ausgelöschten Codesymbole<'' $z_{2}$ und $z_{7}$ (Index $\rm E$), die zu ermitteln sind:
 :$$\underline{z}_{\rm E} = (z_2, z_7)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &0\\ 1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 Die Bestimmungsgleichung lautet somit:
-:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}$$
+:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &0\\ 1 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_2 \\ z_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1\\ 1 &0 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
 Daraus ergeben sich drei Gleichungen für die beiden Unbekannten $z_{2}$ und $z_{7}$:
-# (a) $z_{2} = 1$,
+:$${\rm (a)}\ z_{2} = 1,$$
-# (b) $z_{2} = 1$,
+:$${\rm (b)}\ z_{2} = 1,$$
-# (c) $z_{2} + z_{7} = 0 \ \Rightarrow \ z_{7}= 1$.
+:$${\rm (c)}\ z_{2} + z_{7} = 0 \ \Rightarrow \ z_{7}= 1.$$
-Somit liefert der Codewortfinder $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ &nbsp;⇒&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+Somit liefert der Codewortfinder $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(2)'''&nbsp;  Betrachtet man die vorgegebene Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$, so erkennt man, dass diese mit den ersten vier Spalten der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ übereinstimmt. Die Auslöschungen betreffen also die letzten 3 Bit des Empfangswortes &nbsp;⇒&nbsp; $\underline{z}_{\rm E} = (z_{5}, z_{6}, z_{7})    ⇒    \underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ und die Erasure–Matrix lautet:
+'''(2)'''&nbsp;  Betrachtet man die vorgegebene Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$, so erkennt man, dass diese mit den ersten vier Spalten der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ übereinstimmt.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 120: / Zeile 121: @@
 '''(3)'''&nbsp; Man erhält nach einigen Matrizenmultiplikationen:
-:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1\\ 1 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
+:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1\\ 1 &1 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
 { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_5 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_5 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Gleichsetzen folgt $z_{5} = 0, \ z_{6} = 0, \ z_{7} = 1$ &nbsp;⇒&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+Durch Gleichsetzen folgt $z_{5} = 0, \ z_{6} = 0, \ z_{7} = 1$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Der Matrizenvergleich zeigt, dass die ersten drei Spalten von $\boldsymbol{\rm H}$ und $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ identisch sind. Die vierte Spalte von $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ ist gleich der fünften Spalte der Prüfmatrix. Daraus folgt für den Vektor $z_{\rm E} = (z_{4}, z_{6}, z_{7})$ und weiter für den Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1 und 3</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Der Matrizenvergleich zeigt, dass die ersten drei Spalten von $\boldsymbol{\rm H}$ und $\boldsymbol{\rm H}_{\rm K}$ identisch sind.
 '''(5)'''&nbsp;  Analog zur Teilaufgabe (3) erhält man nun:
-:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\\ 0 &1 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
+:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\\ 0 &1 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
 { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T} = \begin{pmatrix} 0 &0 &0\\ 1 &1 &0\\ 1 &0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_4 \\ z_6 \\ z_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ z_4 + z_6 \\ z_4 + z_7 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Setzt man nun die beiden Spaltenvektoren gleich, so erhält man nur mehr zwei Gleichungen für die drei Unbekannten &nbsp;⇒&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
+Setzt man nun die beiden Spaltenvektoren gleich, so erhält man nur mehr zwei Gleichungen für die drei Unbekannten &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.
-Oder anders ausgedrückt: Ist die Anzahl der Auslöschungen des BEC–Kanals größer als der Rang der Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$, so ergibt sich keine eindeutige Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
+Oder anders ausgedrückt:
+*Ist die Anzahl der Auslöschungen des BEC–Kanals größer als der Rang der Matrix $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$, so ergibt sich keine eindeutige Lösung des resultierenden Gleichungssystems.
-[[Datei:P_ID2540__KC_A_1_13f.png|center|frame|Codetabelle des systematischen $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes]]
+[[Datei:P_ID2540__KC_A_1_13f.png|right|frame|Codetabelle des systematischen $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes]]
-Weiter nehmen wir an, dass stets das gelb hinterlegte Codewort $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ gesendet wurde:
+Weiter nehmen wir an, dass stets das gelb hinterlegte Codewort $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ gesendet wurde.
-*Ist die Anzahl $n_{\rm E}$ der Auslöschungen kleiner als $d_{\rm min} = 3$, so ist eine Decodierung nach der hier beschriebenen Methode immer möglich &nbsp;⇒&nbsp; siehe beispielsweise Teilaufgabe (1) mit $n_{E }= 2$.
+*Ist die Anzahl $n_{\rm E}$ der Auslöschungen kleiner als $d_{\rm min} = 3$, so ist eine Decodierung nach der hier beschriebenen Methode immer möglich &nbsp;⇒&nbsp; siehe beispielsweise Teilaufgabe (1) mit $n_{\rm E}= 2$.
-*Auch für $n_{\rm E} = d_{\rm min} = 3$ ist manchmal eine Decodierung möglich, wie in Aufgabe (3) gezeigt. In der Codetabelle gibt es nur ein einziges Codewort, das zum Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ passen könnte, nämlich das gelb hinterlegte Codewort $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$.
+*Auch für $n_{\rm E} = d_{\rm min} = 3$ ist manchmal eine Decodierung möglich, wie in der Teilaufgabe (3) gezeigt. In der Codetabelle gibt es nur ein einziges Codewort, das zum Empfangsvektor $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ passen könnte, nämlich das  Codewort $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ (gelb hinterlegt).
-*Dagegen konnte $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ entsprechend Teilaufgabe (4) nicht decodiert werden. In der Codetabelle erkennt man neben $(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ mit $(1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)$ ein weiteres Codewort (grün hinterlegt), das durch die $n_{\rm E} = 3$ gegebenen Auslöschungen zum Empfangswort $\underline{y}$ wird. Dieser Fall, wenn die $n_{\rm E} = d_{\rm min}$ Auslöschungen genau die $d_{\rm min}$ unterschiedlichen Bit zweier Codeworte betreffen, führt zu einer Matrix $\mathbf{H}_{\rm E}$ mit einem Rang kleiner als $d_{\rm min}$.
+*Dagegen konnte $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ entsprechend Teilaufgabe (4) nicht decodiert werden. In der Codetabelle erkennt man neben $(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)$ mit $(1, 1, 0, 0, 0, 1, 0)$ ein weiteres Codewort (grün hinterlegt), das durch die $n_{\rm E} = 3$  Auslöschungen bezüglich Bit 4, 6 und 7 zum Empfangswort $\underline{y}$ wird. Dieser Fall, wenn die $n_{\rm E} = d_{\rm min}$ Auslöschungen genau die $d_{\rm min}$ unterschiedlichen Bit zweier Codeworte betreffen, führt zu einer Matrix $\mathbf{H}_{\rm E}$ mit einem Rang kleiner als $d_{\rm min}$.
 *Ist $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}  > d_{\rm min}$, so ist die Anzahl $n – n_{\rm E}$ der nicht ausgelöschten Bit kleiner als die Anzahl $k$ der Informationsbit. In diesem Fall kann das Codewort natürlich nicht decodiert werden.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2539__KC_A_1_13.png|right|frame|Zur BEC–Decodierung]]
-Wir gehen hier von dem [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Modell]] auf der letzten Theorieseite im Kapitel 1.5 aus (grün hinterlegte BEC–Konfiguration):
+Wir gehen hier vom Modell im Abschnitt [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim ''Binary Erasure Channel'']]  aus (grün hinterlegte BEC–Konfiguration):
 *Jedes Informationswort $\underline{u}$ wird blockweise codiert und liefert das Codewort $\underline{x}$. Der Blockcode sei linear und durch seine Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ vollständig gegeben.
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 *Bei der Übertragung werden $n_{\rm E}$ Bit des Codewortes ausgelöscht ⇒ [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC). Aus dem Codewort $\underline{x}$ wird somit das Empfangswort $\underline{y}$.
-*Ist die Anzahl $n_{\rm E}$ der Auslöschungen kleiner als die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|minimale Distanz]] $d_{\rm min}$ des Codes, so gelingt es, aus $\underline{y}$ das Codewort $\underline{z} = \underline{x}$ ohne Fehler zu rekonstruieren, und man erhält so auch das richtige Informationswort $\underline{\upsilon} = \underline{u}$.
+*Ist die Anzahl $n_{\rm E}$ der Auslöschungen kleiner als die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|minimale Distanz]] $d_{\rm min}$ des Codes, so gelingt es, aus $\underline{y}$ das Codewort $\underline{z} = \underline{x}$ ohne Fehler zu rekonstruieren, und man erhält so auch das richtige Informationswort $\underline{v} = \underline{u}$.
-Ausgelöscht wurden somit durch den Kanal das dritte und vierte Bit. Der Codewortfinder hat somit die Aufgabe, den Vektor $z_{\rm E} = (z_{3}, z_{4})$ mit $z_{3}, \ z_{4} \in \{0, 1\}$ zu bestimmen. Dies geschieht entsprechend der Gleichung
+*Ausgelöscht wurden somit durch den Kanal das dritte und vierte Bit.
-:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm},$$
+:$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline{z}_{\rm E}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline{z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$
-wobei im vorliegenden Beispiel gilt:
+*Im vorliegenden Beispiel gilt:
 :$$\underline{z}_{\rm K} = (0, 1, 1, 0, 0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 1 &1\\ 0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Gleichung liefert zwei Bestimmungsgleichungen für die zu bestimmenden Bits, deren Lösung zum Ergebnis $z_{3} = 0$ und $z_{4} = 1$ führt.
+*Diese Gleichung liefert zwei Bestimmungsgleichungen für die zu bestimmenden Bits, deren Lösung zum Ergebnis $z_{3} = 0$ und $z_{4} = 1$ führt.
-''Hinweis: ''
-* Die Aufgabe gehört zu [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Kapitel Decodierung linearer Blockcodes]].
 * Der Algorithmus zur Zuordnung des Empfangswortes $\underline{y}$ zum richtigen Codewort $\underline{z} = \underline{x}$  ist im [[Aufgaben:1.1_ISDN–Versorgungsleitungen|Theorieteil]] ausführlich beschrieben.
-* Wir möchten nochmals daran erinnern, dass wir bei der BEC–Decodierung den ersten Decoderblock $\underline{y} → \underline{z}$  als ''Codewortfinder'' bezeichnen, da hier Fehlentscheidungen ausgeschlossen sind. Jedes Empfangswort wird richtig decodiert, oder es kann gar nicht decodiert werden. Beim BSC–Modell lassen sich dagegen Decodierfehler nicht vermeiden. Dementsprechend heißt der entsprechende Block dort ''Codewortschätzer''.
+* Wir möchten nochmals daran erinnern, dass wir bei der BEC–Decodierung den ersten Decoderblock $\underline{y} → \underline{z}$  als ''Codewortfinder'' bezeichnen, da hier Fehlentscheidungen ausgeschlossen sind. Jedes Empfangswort wird richtig decodiert, oder es kann gar nicht decodiert werden.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Empfangen wurde $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Für welche Sequenz entscheidet sich der Codewortschätzer?
+{Empfangen wurde $\underline{y} = (1, {\rm E}, 0, 1, 0, 0, {\rm E})$. Für welche Sequenz entscheidet sich der Codewortfinder?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 0, 0, 1, 0, 0, 0),$
 + $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1),$
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 + Der Erasure–Vektor lautet $\underline{z}_{\rm E} = (z_{5}, z_{6}, z_{7}).$
 + Das Empfangswort lautet $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$
-- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$ ist eine $2 x 3$–Matrix.
+- $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$ ist eine $2 \times 3$–Matrix.
-+ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$ ist eine $3 x 3$–Matrix.
++ $\boldsymbol{\rm H}_{\rm E}$ ist eine $3 \times 3$–Matrix.
 {Nun gelte $\underline{y} = (1, 1, 0, 1, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0),$
 + $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1),$
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 {Nun gelte $\underline{y} = (1, 1, 0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E}).$ Welches Codewort wird ausgewählt?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0),$
 - $\underline{z} = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1),$
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 + Für das vorliegende $\underline{y}$ ist keine eindeutige Decodierung möglich.
-{Welche Aussagen ergeben sich für die Korrekturfähigkeit beim BEC? $n_{\rm E}$ gibt dabei Anzahl der Auslöschungen (''Erasures'') an.
+{Welche Aussagen ergeben sich für die Korrekturfähigkeit beim BEC? $n_{\rm E}$ gibt dabei die Anzahl der Auslöschungen (''Erasures'') an.
 |type="[]"}
 + Für $n_{\rm E} < d_{\rm min}$ ist stets eine eindeutige Decodierung möglich.

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(kein Unterschied)