Aufgaben:Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER) - Versionsgeschichte

Guenter am 29. April 2022 um 12:33 Uhr

2022-04-29T12:33:56Z

Guenter am 29. April 2022 um 12:24 Uhr

2022-04-29T12:24:52Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 10:55 Uhr

2019-01-30T10:55:27Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 10:48 Uhr

2019-01-30T10:48:09Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2 Bitfehlerquote (BER) nach Aufgaben:Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER)

2018-01-04T06:18:17Z

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Guenter am 26. Oktober 2017 um 12:08 Uhr

2017-10-26T12:08:18Z

Guenter am 26. Oktober 2017 um 07:05 Uhr

2017-10-26T07:05:24Z

Guenter am 25. Oktober 2017 um 16:08 Uhr

2017-10-25T16:08:45Z

Guenter am 25. Oktober 2017 um 16:01 Uhr

2017-10-25T16:01:38Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>nur die zweite Aussage</u>:
-*$\rm BER$ ist der Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
+*$\rm BER$&nbsp; ist der Quotient aus der Anzahl&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; der festgestellten Bitfehler und der Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\rm BER} = p$ gilt, ist stets genau Null, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
+*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass ${\rm BER} = p$&nbsp; gilt,&nbsp; ist stets genau Null,&nbsp; da&nbsp; $\rm BER$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
-*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER$ in einem schmalen Intervall um $p$ liegt, mit steigendem $N$ immer größer.
+*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $\rm BER$&nbsp; in einem schmalen Intervall um&nbsp; $p$&nbsp; liegt,&nbsp; mit steigendem&nbsp; $N$&nbsp; immer größer.
-'''(2)'''&nbsp; Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße $\rm BER$ ergibt sich mit $N = 10^6$ und $p = 10^{-2}$ zu
+'''(2)'''&nbsp; Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße&nbsp; $\rm BER&nbsp;$ ergibt sich mit&nbsp; $N = 10^6$&nbsp; und&nbsp; $p = 10^{-2}$&nbsp; zu
 :$$\sigma =   \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die $\rm BER$ einen Wert außerhalb des Bereichs
+'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $\rm BER$&nbsp; einen Wert außerhalb des Bereichs&nbsp;
-$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$ annimmt, ergibt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ ($p = 10^{-2}$) zu
+$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$&nbsp; annimmt,&nbsp; ergibt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ $($wegen&nbsp; $p = 10^{-2})$&nbsp; zu
 :$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)
    = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)
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-'''(4)'''&nbsp; Mit $p = 10^{-4}$ gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
+'''(4)'''&nbsp; Mit&nbsp; $p = 10^{-4}$&nbsp; gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
 :$${\rm Pr} \left( |{\rm BER} - 10^{-4}| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)
    = 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}
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-'''(5)'''&nbsp; Diese Bedingung lässt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$ wie folgt formulieren:
+'''(5)'''&nbsp; Diese Bedingung lässt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$&nbsp; wie folgt formulieren:
 :$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 {\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64

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-[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png|right|frame|Tabelle der Gaußsche Fehlerfunktionen]]
+[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png|right|frame|Tabelle zweier Gaußscher Fehlerfunktionen]]
-Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein
+Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt,&nbsp; dass es durch ein
-BSC&ndash;Modell (<i>Binary Symmetrical Channel</i>&nbsp;) mit Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp; angenähert werden kann.
+BSC&ndash;Modell&nbsp; ("Binary Symmetrical Channel")&nbsp; mit Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp; angenähert werden kann.
-Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge &nbsp;$ \langle v_\nu \rangle $&nbsp;  mit der Quellensymbolfolge
+Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden,&nbsp; indem man die Sinkensymbolfolge &nbsp;$ \langle v_\nu \rangle $&nbsp;  mit der Quellensymbolfolge
-&nbsp;$ \langle q_\nu \rangle $&nbsp; vergleicht und daraus die Fehlerfolge &nbsp;$ \langle e_\nu \rangle $&nbsp; ermittelt. Dabei gilt:
+&nbsp;$ \langle q_\nu \rangle $&nbsp; vergleicht und daraus die Fehlerfolge &nbsp;$ \langle e_\nu \rangle $&nbsp; ermittelt.&nbsp; Dabei gilt:
-$$e_\nu  =   \left\{ \begin{array}{c} 0  \\
+:$$e_\nu  =   \left\{ \begin{array}{c} 0  \\
 \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
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 v_\nu \ne q_\nu .  \\
 \end{array}$$
-Die Bitfehlerquote (englisch: <i>Bit Error Rate</i>&nbsp;) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp;:
+Die Bitfehlerquote&nbsp; (englisch:&nbsp; "Bit Error Rate")&nbsp; ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp;:
 :$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$
-Je größer der Simulationsparameter &nbsp;$N$&nbsp; gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.
+Je größer der Simulationsparameter &nbsp;$N$&nbsp; gewählt wird,&nbsp; um so genauer ist diese Näherung.
-Aus der &nbsp;[[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße &bdquo;BER&rdquo; eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit Mittelwert &nbsp;$p$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma$&nbsp; angenähert werden kann:
+Aus der &nbsp;[[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt,&nbsp; dass die Zufallsgröße &bdquo;BER&rdquo; eigentlich binominalverteilt ist,&nbsp; aber mit guter Näherung durch eine&nbsp; (diskrete)&nbsp; Gaußverteilung mit Mittelwert &nbsp;$p$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma$&nbsp; angenähert werden kann:
 :$$\sigma =   \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|"Gaußverteilte Zufallsgrößen"]]&nbsp; im Buch&nbsp; „Stochastische Signaltheorie”.
-*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen &nbsp;$\rm \phi(x)$&nbsp; und &nbsp;$\rm Q(x)$&nbsp; angegeben.
+*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen &nbsp;${\rm \phi}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; angegeben.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>:
-*$\rm BER$ ist als Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich als relative Häufigkeit definiert.
+*$\rm BER$ ist der Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER = p$ gilt, ist stets genau 0, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
+*Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\rm BER} = p$ gilt, ist stets genau Null, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
 *Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER$ in einem schmalen Intervall um $p$ liegt, mit steigendem $N$ immer größer.
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 :$$\sigma =   \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerrate (kurz $\rm BER$) einen Wert außerhalb des Bereichs
-$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$ annimmt, kann mit $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ ($p = 10^{-2}$) wie folgt berechnet werden:
+'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die $\rm BER$ einen Wert außerhalb des Bereichs
 :$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)
    = {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER}  - p| > \varepsilon \right)
    = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit $p = 10^{-4}$ gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( |{\rm BER}  - 10^{-4}| >  0.05 \cdot 10^{-4} \right)
    = 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Diese Bedingung lässt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$ wie folgt formulieren:

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 [[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png|right|frame|Tabelle der Gaußsche Fehlerfunktionen]]
 Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein
-BSC&ndash;Modell (<i>Binary Symmetrical Channel</i>) mit Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ angenähert werden kann.
+BSC&ndash;Modell (<i>Binary Symmetrical Channel</i>&nbsp;) mit Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp; angenähert werden kann.
-Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge $ \langle v_\nu \rangle $  mit der Quellensymbolfolge
+Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge &nbsp;$ \langle v_\nu \rangle $&nbsp;  mit der Quellensymbolfolge
-$ \langle q_\nu \rangle $ vergleicht und daraus die Fehlerfolge $ \langle e_\nu \rangle $ ermittelt. Dabei gilt:
+&nbsp;$ \langle q_\nu \rangle $&nbsp; vergleicht und daraus die Fehlerfolge &nbsp;$ \langle e_\nu \rangle $&nbsp; ermittelt. Dabei gilt:
 $$e_\nu  =   \left\{ \begin{array}{c} 0  \\
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 v_\nu \ne q_\nu .  \\
 \end{array}$$
-Die Bitfehlerquote (englisch: <i>Bit Error Rate</i>) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p$:
+Die Bitfehlerquote (englisch: <i>Bit Error Rate</i>&nbsp;) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p$&nbsp;:
 :$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$
-Je größer der Simulationsparameter $N$ gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.
+Je größer der Simulationsparameter &nbsp;$N$&nbsp; gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.
-Aus der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße &bdquo;BER&rdquo; eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit dem Mittelwert $p$ und der Streuung $\sigma$ angenähert werden kann:
+Aus der &nbsp;[[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße &bdquo;BER&rdquo; eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit Mittelwert &nbsp;$p$&nbsp; und Streuung &nbsp;$\sigma$&nbsp; angenähert werden kann:
 :$$\sigma =   \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
-*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen $\rm \phi(x)$ und $\rm Q(x)$ angegeben.
+*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen &nbsp;$\rm \phi(x)$&nbsp; und &nbsp;$\rm Q(x)$&nbsp; angegeben.
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 <quiz display=simple>
-{Was beschreibt $\rm BER$ im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
+{Was beschreibt &nbsp;$\rm BER$&nbsp; im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
 |type="[]"}
-- $\rm BER$ ist eine Wahrscheinlichkeit.
+- $\rm BER$&nbsp; ist eine Wahrscheinlichkeit.
-+ $\rm BER$ ist eine relative Häufigkeit.
++ $\rm BER$&nbsp; ist eine relative Häufigkeit.
-- Wenn $N$ hinreichend groß ist, stimmt $\rm BER$ mit $p$ <b>exakt</b> überein.
+- Wenn &nbsp;$N$&nbsp; hinreichend groß ist, stimmt &nbsp;$\rm BER$&nbsp; mit &nbsp;$p$&nbsp; <b>exakt</b> überein.
-{Berechnen Sie die Streuung $\sigma$ für $N = 10^6$ und $p = 10^{-2}$.
+{Berechnen Sie die Streuung &nbsp;$\sigma$&nbsp; für &nbsp;$N = 10^6$&nbsp; und &nbsp;$p = 10^{-2}$.
 |type="{}"}
-$p = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm}\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $
+$\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als 5% von der Wahrscheinlichkeit $p = 10^{-2}$ abweicht?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als &nbsp;$5\%$&nbsp; von der Wahrscheinlichkeit &nbsp;$\underline{p = 10^{-2}}$&nbsp; abweicht?
 |type="{}"}
-$p = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm}{\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $
+${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $
-{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit $p = 10^{-4}$?
+{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit &nbsp;$\underline{p = 10^{-4}}$?
 |type="{}"}
-$p = 10^{-4}\text{:} \hspace{0.4cm}{\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $ { 0.618 3%  }
+${\rm Pr}(|{\rm BER} – p| > 0.05 · p) \ =\ $ { 0.618 3%  }
-{Wie groß müsste $N$ mindestens sein, damit bei $p = 10^{-4}$ nicht mehr als $10\%$  außerhalb des Intervalls von $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$ liegen?
+{Wie groß müsste &nbsp;$N$&nbsp; mindestens sein, damit bei &nbsp;$\underline{p = 10^{-4}}$&nbsp; nicht mehr als &nbsp;$10\%$&nbsp;  außerhalb des Intervalls von &nbsp;$0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$&nbsp; liegen?
 |type="{}"}
-$p = 10^{-4}\text{:} \hspace{0.4cm}N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{ 6 }\ $
+$N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{ 6 }\ $

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 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
 *In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen $\rm \phi(x)$ und $\rm Q(x)$ angegeben.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;BER ist als Quotient aus der Anzahl <i>n</i><sub>B</sub> der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl <i>N</i> aller simulierten Symbole und damit tatsächlich als relative Häufigkeit definiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass BER = <i>p</i> gilt, ist stets genau 0, da BER eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt. Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass BER in einem schmalen Intervall um <i>p</i> liegt, mit steigendem <i>N</i> immer größer. Trotzdem gilt: Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>:
 '''(3)'''&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerrate (kurz BER) einen Wert außerhalb des Bereichs
 von 0.95&nbsp;&middot;&nbsp;<i>p</i>&nbsp;und&nbsp;1.05 &middot;&nbsp;<i>p</i> annimmt, kann mit <i>&epsilon;</i> = 5 &middot; 10<sup>&ndash;4</sup> (wegen <i>p</i> = 0.01) wie folgt berechnet werden: