Aufgaben:Aufgabe 2.5: Ternäre Signalübertragung - Versionsgeschichte

Guenter am 17. Mai 2022 um 15:20 Uhr

2022-05-17T15:20:56Z

Guenter am 17. Mai 2022 um 15:00 Uhr

2022-05-17T15:00:29Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:24Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 12. Februar 2019 um 09:14 Uhr

2019-02-12T09:14:52Z

Guenter am 12. Februar 2019 um 09:04 Uhr

2019-02-12T09:04:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:34Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.5 Ternäre Signalübertragung nach Aufgaben:Aufgabe 2.5: Ternäre Signalübertragung

2018-01-04T06:24:15Z

Guenter verschob die Seite 2.5 Ternäre Signalübertragung nach Aufgabe 2.5: Ternäre Signalübertragung

Guenter am 22. November 2017 um 15:56 Uhr

2017-11-22T15:56:27Z

Guenter am 22. November 2017 um 15:31 Uhr

2017-11-22T15:31:38Z

Hussain am 21. November 2017 um 17:54 Uhr

2017-11-21T17:54:14Z

@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt mit $M = 3$ und $\sigma_d/s_0 = 0.25$:
+'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung gilt mit&nbsp; $M = 3$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_d/s_0 = 0.25$:
 :$$p_{\rm S} =
   \frac{ 2  \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot
@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die beiden äußeren Symbole werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Q}(s_0/(2 \cdot \sigma_d)) = 0.1587$ verfälscht.
+'''(3)'''&nbsp; Die beiden äußeren Symbole werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = {\rm Q}(s_0/(2 \cdot \sigma_d)) = 0.1587$&nbsp; verfälscht.
-*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit des Symbols &nbsp;$0$&nbsp; ist doppelt so groß (es wird durch zwei Schwellen begrenzt).
+*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit des Symbols &nbsp;$0$&nbsp; ist doppelt so groß&nbsp; (es wird durch zwei Schwellen begrenzt).
 * Unter Berücksichtigung der einzelnen Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man:
 :$$p_{\rm S} = {1}/{ 4}\cdot p + {1}/{ 2}\cdot 2p +{1}/{ 4}\cdot p = 1.5 \cdot p  = 1.5 \cdot 0.1587
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
-'''(4)'''&nbsp; Da das Symbol &nbsp;$0$&nbsp; häufiger auftritt und zudem in beiden Richtungen verfälscht werden kann, sollten die Schwellen nach außen verschoben werden.
+'''(4)'''&nbsp; Da das Symbol &nbsp;$0$&nbsp; häufiger auftritt und zudem in beiden Richtungen verfälscht werden kann,&nbsp; sollten die Schwellen nach außen verschoben werden.
-*Die optimale Entscheiderschwelle $E_{\rm +, \ opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden in der Grafik gezeigten Gaußfunktionen. Es muss gelten:
+*Die optimale Entscheiderschwelle $E_{\rm +, \ opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden in der Grafik gezeigten Gaußfunktionen.&nbsp; Es muss gelten:
-[[Datei:P_ID1328__Dig_A_2_5e.png|right|frame|Optimale Schwellen zu '''(4)''']]
+[[Datei:P_ID1328__Dig_A_2_5e.png|right|frame|Optimale Schwellen zur Frage&nbsp; '''(4)''']]
 :$$\frac{ 1/2}{ \sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d} \cdot  {\rm exp} \left[ - \frac{ E_{\rm +}^2}{2 \cdot \sigma_d^2}\right]
@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
-'''(5)'''&nbsp; Mit dem näherungsweisen Ergebnis aus '''(4)''' erhält man:
+'''(5)'''&nbsp; Mit dem näherungsweisen Ergebnis aus Teilaufgabe&nbsp;  '''(4)'''&nbsp;  erhält man:
 :$$p_{\rm S} \ = \
   { 1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0/3}{
@@ Zeile 113: / Zeile 113: @@
   \sigma_d}}\right) +{ 1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0/3}{
   \sigma_d}}\right)$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S} \ = \ =  { 1}/{2}  \cdot {\rm Q} \left( 2/3 \right)+ {\rm Q} \left( 4/3
   \right)=
@@ Zeile 119: / Zeile 120: @@
-[[Datei:P_ID1329__Dig_A_2_5g.png|right|frame|Optimale Schwellen zu '''(6)''']]
+'''(6)'''&nbsp;  Nach ähnlicher Rechnung wie unter Punkt&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man
 *$E_+ = 1 \, &ndash;0.0673 \ \underline{= 0.327} \approx 1/3$.
 *Es gilt weiterhin $E_{&ndash;} = \, &ndash;E_+$.
-'''(7)'''&nbsp; Ähnlich wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(5)''' erhält man nun:
+'''(7)'''&nbsp; Ähnlich wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; erhält man nun:
 :$$p_{\rm S} \ = \ 0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)+ 2 \cdot 0.2 \cdot{\rm Q} \left( 2/3
   \right)+0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)$$
@@ Zeile 134: / Zeile 135: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Diskussion des Ergebnisses:
+<u>Diskussion des Ergebnisses:</u>
-*Es ergibt sich demnach eine kleinere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ($17.4 \ \%$ gegenüber $21.2 \ \%$) als bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten.
+*Es ergibt sich demnach eine kleinere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $(17.4 \ \%$&nbsp; gegenüber&nbsp; $21.2 \ \%)$&nbsp; als bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten.
 *Allerdings liegt nun keine redundanzfreie Codierung mehr vor, auch wenn die Amplitudenkoefiizienten statistisch voneinander unabhängig sind.
-*Während bei gleichwahrscheinlichen Ternärsymbolen die Entropie $H = {\rm log}_2(3) = 1.585 \ {\rm bit/Ternärsymbol}$ beträgt &nbsp; &rArr; &nbsp; äquivalente Bitrate (der Informationsfluss) $R_{\rm B} = H/T$, gilt mit den Wahrscheinlichkeiten $p_0 = 0.2$ und $p_{&ndash;} = p_+ = 0.4$:
+*Allerdings liegt nun keine redundanzfreie Codierung mehr vor,&nbsp; auch wenn die Amplitudenkoefiizienten statistisch voneinander unabhängig sind.
 :$$H  \ = \ 0.2 \cdot {\rm log_2} (5) + 2 \cdot 0.4 \cdot {\rm log_2} (2.5)=  0.2 \cdot 2.322 + 0.8 \cdot 1.322 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.522\,\, {\rm
 bit/Tern\ddot{a}rsymbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die äquivalente Bitrate ist also um $4 \ \%$ kleiner, als sie für $M = 3$ maximal möglich wäre.
+*Das bedeutet:&nbsp; Die äquivalente Bitrate ist also um $4 \ \%$ kleiner, als sie für $M = 3$ maximal möglich wäre.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
 [[Datei:P_ID1327__Dig_A_2_5.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines verrauschten Ternärsignals]]
-Betrachtet wird ein ternäres Übertragungssystem &nbsp;$(M = 3)$&nbsp; mit den möglichen Amplitudenwerten &nbsp;$-s_0$, &nbsp;$0$&nbsp; und &nbsp;$+s_0$.
+Betrachtet wird ein ternäres Übertragungssystem &nbsp;$(M = 3)$&nbsp; mit den möglichen Amplitudenwerten &nbsp;$-s_0$, &nbsp; $0$ &nbsp; und &nbsp;$+s_0$.
 *Bei der Übertragung addiert sich dem Signal ein additives Gaußsches Rauschen mit dem Effektivwert &nbsp;$\sigma_d$.
 *Die Rückgewinnung des dreistufigen Digitalsignals beim Empfängers geschieht mit Hilfe von zwei Entscheiderschwellen bei &nbsp;$E_{&ndash;}$&nbsp; bzw. &nbsp;$E_{+}$.
@@ Zeile 13: / Zeile 14: @@
 *Die Entscheiderschwellen liegen vorerst mittig bei &nbsp;$E_{&ndash;} = \, &ndash;s_0/2$ und $E_{+} = +s_0/2$.
-Ab der Teilaufgabe '''(3)''' gelten für die Symbolwahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{&ndash;} = p_+ = 1/4$&nbsp; und &nbsp;$p_0 = 1/2$, wie in der Grafik dargestellt. Für diese Konstellation soll durch Variation der Entscheiderschwellen &nbsp;$E_{&ndash;}$&nbsp; und &nbsp;$E_+$&nbsp; die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; minimiert werden.
+*Dafür soll durch Variation der Entscheiderschwellen &nbsp;$E_{&ndash;}$&nbsp; und &nbsp;$E_+$&nbsp; die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; minimiert werden.
+* Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; eines &nbsp;$M$&ndash;stufigen Nachrichtenübertragungssystems gilt
+:*mit gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen
-''Hinweise:''
+:*und Schwellenwerten genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Amplitudenstufen:
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung| Redundanzfreie Codierung]].
+::$$p_{\rm S} =
   \frac{ 2  \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot \sigma_d}}\right)
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte gemäß der &nbsp;${\rm Q}$&ndash; bzw. der &nbsp;${\rm erfc}$&ndash;Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; numerisch ermitteln.
+* Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte können Sie mit unserem HTML5/JavaScript&ndash;Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; numerisch ermitteln.
 * Verwenden Sie zur Überprüfung der Ergebnisse das Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
@@ Zeile 36: / Zeile 39: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem (normierten) Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d/s_0 = 0.25$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem&nbsp; (normierten)&nbsp; Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d/s_0 = 0.25$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 |type="{}"}
 $p_0 = 1/3, \ \sigma_d = 0.25 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 3 3% } $\ \%$

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
   \frac{ 2  \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot \sigma_d}}\right)
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte gemäß der &nbsp;${\rm Q}$&ndash; bzw. der &nbsp;${\rm erfc}$&ndash;Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; numerisch ermitteln.
+* Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte gemäß der &nbsp;${\rm Q}$&ndash; bzw. der &nbsp;${\rm erfc}$&ndash;Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; numerisch ermitteln.
 * Verwenden Sie zur Überprüfung der Ergebnisse das Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
   \sigma_d}}\right)= {4}/{ 3}\cdot {\rm Q}(2) ={4}/{ 3}\cdot 0.0228\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Bei doppeltem Rauscheffektivwert nimmt auch die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant zu:
@@ Zeile 77: / Zeile 78: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die beiden äußeren Symbole werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Q}(s_0/(2 \cdot \sigma_d)) = 0.1587$ verfälscht. Die Verfälschungswahrscheinlichkeit des Symbols &bdquo;$0$&rdquo; ist doppelt so groß (es wird durch zwei Schwellen begrenzt). Unter Berücksichtigung der einzelnen Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man:
 :$$p_{\rm S} = {1}/{ 4}\cdot p + {1}/{ 2}\cdot 2p +{1}/{ 4}\cdot p = 1.5 \cdot p  = 1.5 \cdot 0.1587
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx
@@ Zeile 83: / Zeile 87: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID1328__Dig_A_2_5e.png|right|frame|Optimale Schwellen bei einem Ternärsystem]]
+'''(4)'''&nbsp; Da das Symbol &nbsp;$0$&nbsp; häufiger auftritt und zudem in beiden Richtungen verfälscht werden kann, sollten die Schwellen nach außen verschoben werden.
 :$$\frac{ 1/2}{ \sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d} \cdot  {\rm exp} \left[ - \frac{ E_{\rm +}^2}{2 \cdot \sigma_d^2}\right]
@@ Zeile 97: / Zeile 103: @@
 {2}/ {3} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit dem näherungsweisen Ergebnis aus (4) erhält man:
 :$$p_{\rm S} \ = \
   { 1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0/3}{
@@ Zeile 108: / Zeile 115: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; [[Datei:P_ID1329__Dig_A_2_5g.png|right|frame|Optimale Schwellen bei einem Ternärsystem]] Nach ähnlicher Rechnung wie unter Punkt (4) erhält man $E_+ = 1 \, &ndash;0.0673 \ \underline{= 0.327} \approx 1/3$. Es gilt weiterhin $E_{&ndash;} = \, &ndash;E_+$.
-'''(7)'''&nbsp; Ähnlich wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (5) erhält man nun:
+'''(7)'''&nbsp; Ähnlich wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(5)''' erhält man nun:
 :$$p_{\rm S} \ = \ 0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)+ 2 \cdot 0.2 \cdot{\rm Q} \left( 2/3
   \right)+0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)$$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie Codierung
 }}
-[[Datei:P_ID1327__Dig_A_2_5.png|right|frame|WDF eines verrauschten Ternärsignals]]
+[[Datei:P_ID1327__Dig_A_2_5.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eines verrauschten Ternärsignals]]
-Betrachtet wird ein ternäres Übertragungssystem $(M = 3)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $-s_0$, $0$ und $+s_0$. Bei der Übertragung addiert sich dem Signal ein additives Gaußsches Rauschen mit dem Effektivwert $\sigma_d$. Die Rückgewinnung des dreistufigen Digitalsignals beim Empfängers geschieht mit Hilfe von zwei Entscheiderschwellen bei $E_{&ndash;}$ bzw. $E_{+}$.
+Betrachtet wird ein ternäres Übertragungssystem &nbsp;$(M = 3)$&nbsp; mit den möglichen Amplitudenwerten &nbsp;$-s_0$, &nbsp;$0$&nbsp; und &nbsp;$+s_0$.
-Zunächst werden die Auftrittswahrscheinlichkeiten von den drei Eingangssymbolen als gleichwahrscheinlich angenommen:
+*Zunächst werden die Auftrittswahrscheinlichkeiten der drei Eingangssymbole als gleichwahrscheinlich angenommen:
 :$$p_{\rm -} = {\rm Pr}(-s_0) = {1}/{ 3}, \hspace{0.15cm}  p_{\rm 0} = {\rm Pr}(0) = {1}/{ 3},
 \hspace{0.15cm} p_{\rm +} = {\rm Pr}(+s_0) ={1}/{ 3}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Entscheiderschwellen liegen vorerst mittig bei $E_{&ndash;} = \, &ndash;s_0/2$ und $E_{+} = +s_0/2$.
+*Die Entscheiderschwellen liegen vorerst mittig bei &nbsp;$E_{&ndash;} = \, &ndash;s_0/2$ und $E_{+} = +s_0/2$.
 Ab der Teilaufgabe (3) gelten für die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{&ndash;} = p_+ = 1/4$ und $p_0 = 1/2$, wie in der Grafik dargestellt. Für diese Konstellation soll durch Variation der Entscheiderschwellen $E_{&ndash;}$ und $E_+$ die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ minimiert werden.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung| Redundanzfreie Codierung]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung| Redundanzfreie Codierung]].
-* Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ eines $M$&ndash;stufigen Nachrichtenübertragungssystems mit gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen und Schwellenwerten genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Amplitudenstufen gilt:
+* Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; eines &nbsp;$M$&ndash;stufigen Nachrichtenübertragungssystems mit gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen und Schwellenwerten genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Amplitudenstufen gilt:
 :$$p_{\rm S} =
   \frac{ 2  \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0}{(M-1) \cdot \sigma_d}}\right)
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte gemäß der ${\rm Q}$&ndash; bzw. der ${\rm erfc}$&ndash;Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] numerisch ermitteln.
+* Die Fehlerwahrscheinlichkeitswerte gemäß der &nbsp;${\rm Q}$&ndash; bzw. der &nbsp;${\rm erfc}$&ndash;Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; numerisch ermitteln.
-* Verwenden Sie zur Überprüfung der Ergebnisse das Berechnungsmodul [[Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
+* Verwenden Sie zur Überprüfung der Ergebnisse das Berechnungsmodul &nbsp;[[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]
@@ Zeile 29: / Zeile 36: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem (normierten) Rauscheffektivwert $\sigma_d/s_0 = 0.25$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit dem (normierten) Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d/s_0 = 0.25$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 |type="{}"}
-$p_0 = 1/3, \sigma_d = 0.25 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 3 3% } $\ \%$
+$p_0 = 1/3, \ \sigma_d = 0.25 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 3 3% } $\ \%$
-{Wie ändert sich die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit mit $\sigma_d/s_0 = 0.5$?
+{Wie ändert sich die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit mit &nbsp;$\sigma_d/s_0 = 0.5$?
 |type="{}"}
-$p_0 = 1/3, \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 21.2 3% } $\ \%$
+$p_0 = 1/3, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 21.2 3% } $\ \%$
-{Welcher Wert ergibt sich mit $p_{&ndash;} = p_+ = 0.25$ und $p_0 = 0.5$?
+{Welcher Wert ergibt sich mit &nbsp;$p_{&ndash;} = p_+ = 0.25$&nbsp; und &nbsp;$p_0 = 0.5$?
 |type="{}"}
-$p_0 = 1/2, \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 23.8 3% } $\ \%$
+$p_0 = 1/2, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 23.8 3% } $\ \%$
-{Bestimmen Sie die optimalen Schwellen $E_+$ und $E_{&ndash;} = \, &ndash;E_+$ für $p_0 = 1/2$.
+{Bestimmen Sie die optimalen Schwellen &nbsp;$E_+$&nbsp; und &nbsp;$E_{&ndash;} = \, &ndash;E_+$&nbsp; für &nbsp;$p_0 = 1/2$.
 |type="{}"}
-$p_0 = 1/2, \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} E_{\rm +, \ opt} \ = \ ${ 0.673 3% }
+$p_0 = 1/2, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} E_{\rm +, \ opt} \ = \ ${ 0.673 3% }
 {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei optimalen Schwellen?
@@ Zeile 49: / Zeile 56: @@
 ${\rm optimale \ Schwellen} \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm S} \ = \ ${ 21.7 3% } $\ \%$
-{Wie lauten die optimalen Schwellenwerte für $p_0 = 0.2$ und $p_{&ndash;} = p_+ = 0.4$?
+{Wie lauten die optimalen Schwellenwerte für &nbsp;$p_0 = 0.2$&nbsp; und $&nbsp;p_{&ndash;} = p_+ = 0.4$?
 |type="{}"}
-$p_0 = 0.2, \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} E_{\rm +, \ opt} \ = \ ${ 0.327 3% }
+$p_0 = 0.2, \ \sigma_d = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} E_{\rm +, \ opt} \ = \ ${ 0.327 3% }
 {Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nun? Interpretation.

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:24 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Ab der Teilaufgabe (3) gelten für die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{&ndash;} = p_+ = 1/4$ und $p_0 = 1/2$, wie in der Grafik dargestellt. Für diese Konstellation soll durch Variation der Entscheiderschwellen $E_{&ndash;}$ und $E_+$ die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ minimiert werden.
 ''Hinweise:''
@@ Zeile 63: / Zeile 65: @@
   \sigma_d}}\right)= {4}/{ 3}\cdot {\rm Q}(2) ={4}/{ 3}\cdot 0.0228\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Bei doppeltem Rauscheffektivwert nimmt auch die Fehlerwahrscheinlichkeit signifikant zu:
 :$$p_{\rm S} = {4}/{ 3}\cdot {\rm Q}(1)= {4}/{ 3}\cdot 0.1587 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 21.2 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die beiden äußeren Symbole werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Q}(s_0/(2 \cdot \sigma_d)) = 0.1587$ verfälscht. Die Verfälschungswahrscheinlichkeit des Symbols &bdquo;$0$&rdquo; ist doppelt so groß (es wird durch zwei Schwellen begrenzt). Unter Berücksichtigung der einzelnen Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man:
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 .8 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Da das Symbol &bdquo;$0$&rdquo; häufiger auftritt und zudem in beiden Richtungen verfälscht werden kann, sollten die Schwellen nach außen verschoben werden. Die optimale Entscheiderschwelle $E_{\rm +, \ opt}$ ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden in der Grafik gezeigten Gaußfunktionen. Es muss gelten:
@@ Zeile 85: / Zeile 83: @@
     = \frac{ 1/4}{ \sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d} \cdot  {\rm exp} \left[ - \frac{ (s_0 -E_{\rm +})^2}{2 \cdot \sigma_d^2}\right]$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}   {\rm exp} \left[  \frac{ (s_0 -E_{\rm +})^2 - E_{\rm +}^2}{2 \cdot
-   \sigma_d^2}\right]= {1}/{ 2}$$
+   \sigma_d^2}\right]= {1}/{ 2}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}   {\rm exp} \left[  \frac{ 1 -2 \cdot E_{\rm +}/s_0}{2 \cdot
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}   {\rm exp} \left[  \frac{ 1 -2 \cdot E_{\rm +}/s_0}{2 \cdot
    \sigma_d^2/s_0^2}\right]= {1}/{ 2}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{ E_{\rm +}}{s_0}= \frac{1}
 { 2}+ \frac{\sigma_d^2} {s_0^2} \cdot {\rm ln}(2)\hspace{0.15cm}\underline {=0.673}\hspace{0.15cm}\approx
 {2}/ {3} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit dem näherungsweisen Ergebnis aus (4) erhält man:
@@ Zeile 98: / Zeile 95: @@
   \sigma_d}}\right)+ 2 \cdot { 1}/{2} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{2s_0/3}{
   \sigma_d}}\right) +{ 1}/{4} \cdot {\rm Q} \left( {\frac{s_0/3}{
-  \sigma_d}}\right) = $$
+  \sigma_d}}\right)$$
-:$$\ = \ { 1}/{2}  \cdot {\rm Q} \left( 2/3 \right)+ {\rm Q} \left( 4/3
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S} \ = \ =  { 1}/{2}  \cdot {\rm Q} \left( 2/3 \right)+ {\rm Q} \left( 4/3
   \right)=
   { 1}/{2} \cdot 0.251 + 0.092 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 21.7 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; [[Datei:P_ID1329__Dig_A_2_5g.png|right|frame|Optimale Schwellen bei einem Ternärsystem]] Nach ähnlicher Rechnung wie unter Punkt (4) erhält man $E_+ = 1 \, &ndash;0.0673 \ \underline{= 0.327} \approx 1/3$. Es gilt weiterhin $E_{&ndash;} = \, &ndash;E_+$.
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 '''(7)'''&nbsp; Ähnlich wie in der Musterlösung zur Teilaufgabe (5) erhält man nun:
 :$$p_{\rm S} \ = \ 0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)+ 2 \cdot 0.2 \cdot{\rm Q} \left( 2/3
-  \right)+0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right) =$$
+  \right)+0.4 \cdot {\rm Q} \left( 4/3 \right)$$
-:$$\ = \
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S} \ = \
 .4 \cdot (0.092 + 0.251 + 0.092)
    \hspace{0.15cm}\underline {\approx 17.4 \,\%}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Es ergibt sich demnach eine kleinere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ($17.4 \ \%$ gegenüber $21.2 \ \%$) als bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten. Allerdings liegt nun keine redundanzfreie Codierung mehr vor, auch wenn die Amplitudenkoefiizienten statistisch voneinander unabhängig sind. Während bei gleichwahrscheinlichen Ternärsymbolen die Entropie $H = {\rm log}_2(3) = 1.585 \ {\rm bit/Ternärsymbol}$ beträgt, woraus die äquivalente Bitrate (der Informationsfluss) $R_{\rm B} = H/T$ berechnet werden kann, gilt mit den Wahrscheinlichkeiten $p_0 = 0.2$ und $p_{&ndash;} = p_+ = 0.4$:
+Diskussion des Ergebnisses:
-:$$H  \ = \ 0.2 \cdot {\rm log_2} (5) + 2 \cdot 0.4 \cdot {\rm log_2} (2.5)= $$
+*Es ergibt sich demnach eine kleinere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ($17.4 \ \%$ gegenüber $21.2 \ \%$) als bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten.
-:$$\ = \ 0.2 \cdot 2.322 + 0.8 \cdot 1.322 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.522\,\, {\rm
+*Allerdings liegt nun keine redundanzfreie Codierung mehr vor, auch wenn die Amplitudenkoefiizienten statistisch voneinander unabhängig sind.
 bit/Tern\ddot{a}rsymbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die äquivalente Bitrate ist also um $4 \ \%$ kleiner, als sie für $M = 3$ maximal möglich wäre.
+*Die äquivalente Bitrate ist also um $4 \ \%$ kleiner, als sie für $M = 3$ maximal möglich wäre.
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