Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Spektrum des Dreieckimpulses - Versionsgeschichte

Guenter am 21. April 2021 um 13:16 Uhr

2021-04-21T13:16:52Z

Guenter am 21. April 2021 um 13:12 Uhr

2021-04-21T13:12:11Z

Guenter am 25. September 2019 um 14:31 Uhr

2019-09-25T14:31:48Z

Guenter am 25. September 2019 um 14:24 Uhr

2019-09-25T14:24:47Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:51 Uhr

2018-07-23T14:51:23Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 14:44 Uhr

2018-07-23T14:44:46Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:49Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 08:22 Uhr

2018-01-16T08:22:15Z

Guenter am 16. Januar 2018 um 07:41 Uhr

2018-01-16T07:41:19Z

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2018-01-01T17:17:17Z

Guenter verschob die Seite 3.1Z Spektrum des Dreieckimpulses nach Aufgabe 3.1Z: Spektrum des Dreieckimpulses

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 *Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
 :$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2  \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$
-*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$&nbsp; ist das Argument der Cosinusfunktion gleich&nbsp; $\pi$&nbsp; und die Cosinusfunktion selbst gleich&nbsp; $-1$. Daraus folgt:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$&nbsp; ist das Argument der Cosinusfunktion gleich&nbsp; $\pi$&nbsp; und die Cosinusfunktion selbst gleich&nbsp; $-1$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T  = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Die erste Nullstelle tritt auf, wenn das Argument der si-Funktion gleich&nbsp; $\pi$&nbsp; ist.
+'''(3)'''&nbsp; Die erste Nullstelle tritt auf, wenn das Argument der&nbsp; $\rm si$-Funktion gleich&nbsp; $\pi$&nbsp; ist.
 *Daraus folgt&nbsp; $f_0 \cdot T = 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$.
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:
 *Das Spektrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; ist bei Vielfachen von&nbsp; $f_0$&nbsp; $(f = n \cdot f_0)$&nbsp; gleich&nbsp; ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$.
-* Die zweite Aussage ist falsch:&nbsp; Bei keiner Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; ist&nbsp; ${X(f)} < 0$&nbsp; (siehe Skizze).
+* Die zweite Aussage ist falsch:&nbsp; Bei keiner Frequenz&nbsp; $f$ &nbsp; ist&nbsp; ${X(f)} < 0$&nbsp; (siehe Skizze).
 {{ML-Fuß}}

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 Betrachtet wird ein Dreieckimpuls&nbsp; ${x(t)}$, der im Bereich&nbsp; $–T ≤ t ≤ T$&nbsp; durch folgende Gleichung beschrieben wird:
 :$$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$
-Die Impulsamplitude sei&nbsp; $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter&nbsp; $T = 1 \text{ ms}$. Für alle Zeiten&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$&nbsp; ist&nbsp; ${x(t)} = 0$.
+Die Impulsamplitude sei&nbsp; $A = 1\, \text{V}$,&nbsp; der Zeitparameter&nbsp; $T = 1 \text{ ms}$.&nbsp; Für alle Zeiten&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$&nbsp; ist&nbsp; ${x(t)} = 0$.
 Zur Berechnung der Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen:
 * Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell:
-:$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)}  \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{  \infty } {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
+:$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)}  \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft}\ {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{  \infty } {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$
 * Für&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ besitzt ${x(t)}$&nbsp; keine Anteile:
 :$$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
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 *Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie auf die folgenden Formeln zurückgreifen:
-:$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }}  + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, \hspace{0.5cm} \sin ^2 \left( \alpha  \right) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right).$$
+:$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }}  + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, $$
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 500 \,\text{Hz}$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$.&nbsp; Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 500 \,\text{Hz}$?
 |type="{}"}
 $X(f = 500 \,\text{Hz}) \ = \ $ { 0.405 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Geben Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; unter Verwendung der Spaltfunktion&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; an. Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $f = 0$?
+{Geben Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; unter Verwendung der Spaltfunktion&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; an.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?
 |type="{}"}
 $X(f = 0) \ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
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-{Welche der beiden Aussagen sind zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Bei allen Vielfachen von&nbsp; $f_0$&nbsp; hat das Spektrum Nullstellen.
++ Bei allen Vielfachen von $f_0$&nbsp; hat das Spektrum Nullstellen.
 - Bei der Frequenz&nbsp; $f = 1.5 \cdot f_0$&nbsp; ist die Spektralfunktion negativ.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Unter Ausnutzung der genannten Symmetrieeigenschaften gilt mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$:
+'''(1)'''&nbsp;  Unter Ausnutzung der genannten Symmetrieeigenschaften gilt mit der Abkürzung&nbsp; $\omega = 2\pi f$:
 :$$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)}  \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
-Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
+*Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
 :$$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t =   \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$
 :$$X_2 (f) =  - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t =  - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T  .$$
-Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man:
+*Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man:
 :$$X_2 \left( f \right) =  - \frac{2A}{T} \cdot \left[ {\frac{{\cos \left( {\omega T} \right)}}{\omega ^2 } - \frac{1}{\omega ^2 } + \frac{{T \cdot \sin \left( {\omega T} \right)}}{\omega }} \right].$$
-Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
+*Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
 :$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2  \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$
-Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ &nbsp; &rArr;&nbsp; die Cosinusfunktion selbst gleich $-1$. Daraus folgt:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$&nbsp; ist das Argument der Cosinusfunktion gleich&nbsp; $\pi$&nbsp; und die Cosinusfunktion selbst gleich&nbsp; $-1$. Daraus folgt:
 :$$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T  = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit der trigonometrischen Umformung ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$ erhält man für die Spektralfunktion:
 [[Datei:P_ID497__Sig_Z_3_1_d_neu.png|right|frame|$\rm si$-Quadrat-Spektrum]]
 :$$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2  \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ ist die $\rm si$-Funktion gleich $1$. Daraus folgt:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist die&nbsp; $\rm si$-Funktion gleich&nbsp; $1$. Daraus folgt:
 :$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die erste Nullstelle tritt auf, wenn das Argument der si-Funktion gleich $\pi$ ist. Daraus folgt $f_0 \cdot T = 1$ bzw. $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:
-*Das Spektrum ${X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ ($f = n \cdot f_0$) gleich ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$.
+*Das Spektrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; ist bei Vielfachen von&nbsp; $f_0$&nbsp; $(f = n \cdot f_0)$&nbsp; gleich&nbsp; ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$.
-* Die zweite Aussage ist falsch: Bei keiner Frequenz $f$ ist ${X(f)} < 0$ (siehe Skizze).
+* Die zweite Aussage ist falsch:&nbsp; Bei keiner Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; ist&nbsp; ${X(f)} < 0$&nbsp; (siehe Skizze).
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID493__Sig_Z_3_1_neu.png|right|frame|Dreieckimpuls]]
-Betrachtet wird ein Dreieckimpuls ${x(t)}$, der im Bereich $–T ≤ t ≤ T$ durch folgende Gleichung beschrieben wird:
+Betrachtet wird ein Dreieckimpuls&nbsp; ${x(t)}$, der im Bereich&nbsp; $–T ≤ t ≤ T$&nbsp; durch folgende Gleichung beschrieben wird:
 :$$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$
-Die Impulsamplitude sei $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter $T = 1 \text{ ms}$. Für alle Zeiten $| t | > T$ ist ${x(t)} = 0$.
+Die Impulsamplitude sei&nbsp; $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter&nbsp; $T = 1 \text{ ms}$. Für alle Zeiten&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$&nbsp; ist&nbsp; ${x(t)} = 0$.
-Zur Berechnung der Spektralfunktionen ${X(f)}$ können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen:
+Zur Berechnung der Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen:
 * Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell:
 :$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)}  \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{  \infty } {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
-* Für $| t | > T$ besitzt ${x(t)}$ keine Anteile:
+* Für&nbsp; $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ besitzt ${x(t)}$&nbsp; keine Anteile:
 :$$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)}  \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und &ndash;rücktransformation]].
-*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]].
+*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]].
 *Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie auf die folgenden Formeln zurückgreifen:
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 500 \,\text{Hz}$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f = 500 \,\text{Hz}$?
 |type="{}"}
 $X(f = 500 \,\text{Hz}) \ = \ $ { 0.405 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Geben Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$ unter Verwendung der Spaltfunktion $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ an. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?
+{Geben Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; unter Verwendung der Spaltfunktion&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; an. Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $X(f = 0) \ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Bei welcher Frequenz $f = f_0$ hat das Spektrum ${X(f)}$ die erste Nullstelle?
+{Bei welcher Frequenz&nbsp; $f = f_0$&nbsp; hat das Spektrum&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; die erste Nullstelle?
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
@@ Zeile 47: / Zeile 50: @@
 {Welche der beiden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Bei allen Vielfachen von $f_0$ hat das Spektrum Nullstellen.
++ Bei allen Vielfachen von&nbsp; $f_0$&nbsp; hat das Spektrum Nullstellen.
-- Bei der Frequenz $f = 1.5 \cdot f_0$ ist die Spektralfunktion negativ.
+- Bei der Frequenz&nbsp; $f = 1.5 \cdot f_0$&nbsp; ist die Spektralfunktion negativ.
 </quiz>

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 :$$X_2 \left( f \right) =  - \frac{2A}{T} \cdot \left[ {\frac{{\cos \left( {\omega T} \right)}}{\omega ^2 } - \frac{1}{\omega ^2 } + \frac{{T \cdot \sin \left( {\omega T} \right)}}{\omega }} \right].$$
 Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
-:$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2  \cdot T}\left[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \right] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \left[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \right].$$
+:$$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2  \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$
 Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ &nbsp; &rArr;&nbsp; die Cosinusfunktion selbst gleich $-1$. Daraus folgt:
 :$$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T  = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$
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 '''(2)'''&nbsp; Mit der trigonometrischen Umformung ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$ erhält man für die Spektralfunktion:
 :$$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2  \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ ist die si-Funktion gleich $1$. Daraus folgt:
+Bei der Frequenz $f = 0$ ist die $\rm si$-Funktion gleich $1$. Daraus folgt:
 :$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$
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-[[Datei:P_ID497__Sig_Z_3_1_d_neu.png|right|frame|si-Quadrat-Spektrum]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>erste Aussage</u>:
-*Das Spektrum ${X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ ($f = n \cdot f_0$) gleich ${\rm s}i^2(n \cdot \pi) = 0$.
+*Das Spektrum ${X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ ($f = n \cdot f_0$) gleich ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$.
 * Die zweite Aussage ist falsch: Bei keiner Frequenz $f$ ist ${X(f)} < 0$ (siehe Skizze).

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(kein Unterschied)