Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass - Versionsgeschichte

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2022-10-10T11:28:29Z

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2020-06-10T15:50:23Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 19. Februar 2019 um 15:38 Uhr

2019-02-19T15:38:45Z

Guenter am 19. Februar 2019 um 15:23 Uhr

2019-02-19T15:23:21Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2017-10-29T15:32:38Z

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2017-10-27T12:33:40Z

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Guenter am 27. Oktober 2017 um 12:32 Uhr

2017-10-27T12:32:47Z

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 }}
-[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2.png|right|frame|Augendiagramme &ndash;<br> ohne und mit Rauschen]]
+[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2_ret.png|right|frame|Augendiagramme &ndash;<br> ohne und mit Rauschen]]
 Wie in &nbsp;[[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass|Aufgabe 3.2]]&nbsp; wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; betrachtet. Dessen Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis
 :$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
-* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

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 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0
     \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:
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    T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline {  \approx 0.27}
     \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
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    \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$
-Mit der Angabe $&bdquo;E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB &rdquo;$ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
+Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
 :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}  {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
    {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$
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 * $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
 * $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$
 Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz &nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe (2).
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sinddie <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
 *Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik.
 *Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis.
 *Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt.
-*Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm B}/4$.
+*Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm U}/4$.
 *Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert:
 :: $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$
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 '''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) nbsp; &rArr; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] =  2 \cdot \left [ 1- 4

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 }}
-[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2.png|right|frame|Augendiagramme ohne und mit Rauschen]]
+[[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2.png|right|frame|Augendiagramme &ndash;<br> ohne und mit Rauschen]]
-Wie in [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass|Aufgabe 3.2]] wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_{\rm G}(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis
+Wie in &nbsp;[[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass|Aufgabe 3.2]]&nbsp; wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; betrachtet. Dessen Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis
-:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
    p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}
    \right)$$
-maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.
+maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G, \ opt}$&nbsp; führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S, \ min}$.
 In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
-* $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
+* $\sigma_d^2$&nbsp; ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
 :$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}
 |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm
 G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
-* $\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen.
+* $\ddot{o}(T_{\rm D})$&nbsp; gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu &nbsp;$T_{\rm D} = 0$&nbsp; angenommen.
-* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
+* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung &nbsp;$\ddot{o}(T_{\rm D})$&nbsp; allein durch die Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert &nbsp;$g_0$&nbsp; des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
 *Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
-:$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
+:$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
-   \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
+   \right)\big]\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
-* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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 |type="[]"}
 + Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen.
-- Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ &ndash; \ g_0$.
+- Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt &nbsp;$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ &ndash; \ g_0$.
-+ Bei gaußförmigem Impulsformer gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ &ndash; \ s_0$.
++ Bei gaußförmigem Impulsformer gilt &nbsp;$\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ &ndash; \ s_0$.
 {Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge?
@@ Zeile 44: / Zeile 50: @@
 $f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $ { 0.27 3% }
-{Berechnen Sie das ungünstigste SNR für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen?
+{Berechnen Sie das ungünstigste SNR für &nbsp;$10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen?
 |type="{}"}
 $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $ { 11.04 3% } $\ \rm dB$
@@ Zeile 52: / Zeile 58: @@
 {Welche Aussagen sind bezüglich der optimalen Grenzfrequenz zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm U}$ (bzw. $\rho_{\rm U}$) ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.
++ Die Optimierung hinsichtlich &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; $($bzw. &nbsp;$\rho_{\rm U})$&nbsp; ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.
-+ Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$.
++ Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$.
-- Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm S}$ führt zum exakt gleichen Ergebnis.
+- Die Optimierung hinsichtlich &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; führt zum exakt gleichen Ergebnis.
-{Berechnen Sie für die optimale Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ folgende Größen, wobei wieder $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_0) = 10 \ \rm dB$ gelten soll.
+{Bestimmen Sie für die optimale Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G, \ opt}$&nbsp; folgende Größen, wobei wieder &nbsp;$10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_0) = 10 \ \rm dB$&nbsp; gelten soll.
 |type="{}"}
 $\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $ { 1.824 3% }

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]].
 * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q&ndash;Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 06:32 Uhr
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−	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.2 ~~Bitfehlerrate~~ mit Impulsinterferenzen^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.2 BER mit Impulsinterferenzen^]]

← Nächstältere Version	Version vom 29. Oktober 2017, 15:32 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
 * $\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen.
-* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
+* Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
 :$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst. Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm auf der Angabenseite entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweima erfasst.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind der <u>erste und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
+*Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst.
-Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge &bdquo; $\ ... \, \ &ndash;1 \ &ndash;1, +1, &ndash;1, \ &ndash; 1, \ ... \ $ &rdquo; . Die lange &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;&ndash;Folge würde zum Wert $&ndash;s_0$ führen. Dagegen führt die &bdquo;worst&ndash;case&rdquo;&ndash;Folge zur Augenlinie $&ndash;s_0 + 2 \cdot g_d(t)$. Zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:
+*Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweimal erfasst.
 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0
     \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:
@@ Zeile 78: / Zeile 80: @@
    \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
-   \right)\right] - s_0 = $$
+   \right)\right] - s_0 =  s_0
    \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
@@ Zeile 89: / Zeile 90: @@
 \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
    \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot
-   T< 0.675$$
+   T< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  f_{\rm G, min} \cdot
    T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline {  \approx 0.27}
     \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
-'''(3)'''&nbsp; Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
+[[Datei:P_ID1395__Dig_Z_3_2_c.png|right|frame|$\rho_{\rm U}$ als Funktion der (normierten) Grenzfrequenz]]
 :$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} =
    \frac{s_0^2
@@ Zeile 110: / Zeile 110: @@
 \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T
    \right)\right]^2}{  f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$
 Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:
-* $f_{\rm G} \cdot T = 0.6: \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$
+* $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$
-* $f_{\rm G} \cdot T = 0.8: \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
+* $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
-* $f_{\rm G} \cdot T = 1.0: \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$
+* $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$
+Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz &nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe (2).
-Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sind dann aber so groß, dass diese Ergebnisse nicht praxisrelevant sind. Richtig sind also die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sinddie <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus 2), $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) nbsp; &rArr; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] =  2 \cdot \left [ 1- 4