Aufgaben:Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum - Versionsgeschichte

Guenter am 23. April 2021 um 08:46 Uhr

2021-04-23T08:46:10Z

Guenter am 23. April 2021 um 08:39 Uhr

2021-04-23T08:39:50Z

Guenter am 26. September 2019 um 09:35 Uhr

2019-09-26T09:35:59Z

Guenter am 26. September 2019 um 09:22 Uhr

2019-09-26T09:22:10Z

Guenter am 23. Juli 2018 um 15:46 Uhr

2018-07-23T15:46:25Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:50Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 09:32 Uhr

2018-01-16T09:32:52Z

Guenter am 16. Januar 2018 um 09:12 Uhr

2018-01-16T09:12:59Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.3 Vom Signal zum Spektrum nach Aufgaben:Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum

2018-01-01T17:18:39Z

Guenter verschob die Seite 3.3 Vom Signal zum Spektrum nach Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum

Guenter am 17. Januar 2017 um 11:50 Uhr

2017-01-17T11:50:07Z

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 :$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-*Bei der Berechnung des Wertes für&nbsp; $f = 0$&nbsp; erscheint der Quotient&nbsp; $\text{0 durch 0}$. Durch Anwendung der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital l'Hospitalschen Regel]&nbsp; kann der Grenzwert berechnet werden:
+*Bei der Berechnung des Wertes für&nbsp; $f = 0$&nbsp; erscheint der Quotient&nbsp; $\text{0 durch 0}$.&nbsp; Durch Anwendung der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital l'Hospitalschen Regel]&nbsp; kann der Grenzwert berechnet werden:
 :$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
 *Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; treten die Nullstellen im Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T$&nbsp; auf.
 *Bei&nbsp; $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$&nbsp;  ist zwar der Realteil&nbsp; $0$, aber nicht der Imaginärteil.
-*Bei den Argumenten&nbsp; $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$&nbsp; ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich&nbsp; $1$, und es gilt:
+*Bei den Argumenten&nbsp; $f \cdot T = 0.5,\ 1.5,\ 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$&nbsp; ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich&nbsp; $1$, und es gilt:
 :$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
 :$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
-*Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich&nbsp; $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
+*Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich&nbsp; $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$.&nbsp; Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
 :$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID503__Sig_A_3_3.png|250px|right|frame|Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum]]
-Betrachtet wird ein Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Dauer&nbsp; $T = 50\,\text{µs}$&nbsp; und der Höhe&nbsp; $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = T$&nbsp; ist der Signalwert jeweils&nbsp; $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
+Betrachtet wird ein Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Dauer&nbsp; $T = 50\,\text{µs}$&nbsp; und der Höhe&nbsp; $A = 2\,\text{V}$.&nbsp; An den Sprungstellen bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = T$&nbsp; ist der Signalwert jeweils&nbsp; $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
-In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:
+In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert.&nbsp; Es gilt:
 :$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[X(f=10 \,\text{kHz})\big] \ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
 ${\rm Im}\big[X(f=10\, \text{kHz})\big]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f=20 \,\text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; allgemein.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f=20 \,\text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $|X(f=0)|\ = \ $ { 0.1 3% } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 + In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt&nbsp; $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi (f)$.&nbsp; Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $ { 90 1% } &nbsp; $\text{Grad}$

@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
+'''(1)'''&nbsp; Mit der Abkürzung&nbsp; $\omega = 2\pi f$&nbsp; lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
 :$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t  }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
-Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
+*Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
 :$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 :$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
-Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\omega \cdot T = \pi$  erhält man:
+*Für die Frequenz&nbsp; $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\omega \cdot T = \pi$&nbsp;  erhält man:
 :$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
 :$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \big( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \big) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
 '''(2)'''&nbsp; Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
@@ Zeile 76: / Zeile 77: @@
 :$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\big[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \big].$$
-Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Wegen&nbsp; $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \big( {1 - \cos ( {\omega T} )} \big) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
-Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:
+*Setzt man für&nbsp; $\omega = 2\pi f$&nbsp; und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung&nbsp; $A > 0$:
 :$$\left| {X( f )} \right| =  \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
-Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:
+*Mit der Abkürzung&nbsp; $\text{si}(x) = \sin(x)/x$&nbsp; lautet das Ergebnis:
 :$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$
-Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = \text{20 kHz}$ ergibt sich zu
+*Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 1/T = \text{20 kHz}$&nbsp; ergibt sich zu
 :$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-Bei der Berechnung des Wertes für $f = 0$ erscheint der Quotient $\text{0 durch 0}$. Durch Anwendung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital l'Hospitalschen Regel] kann der Grenzwert berechnet werden:
+*Bei der Berechnung des Wertes für&nbsp; $f = 0$&nbsp; erscheint der Quotient&nbsp; $\text{0 durch 0}$. Durch Anwendung der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital l'Hospitalschen Regel]&nbsp; kann der Grenzwert berechnet werden:
 :$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
-Daraus folgt:
+*Daraus folgt:
 :$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
+*Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
 [[Datei:P_ID563__Sig_A_3_3_c.png|right|frame|Betragsspektrum des Rechteckimpulses]]
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe $(2$) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf.
+*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; treten die Nullstellen im Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T$&nbsp; auf.
-*Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$  ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
+*Bei&nbsp; $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$&nbsp;  ist zwar der Realteil&nbsp; $0$, aber nicht der Imaginärteil.
-*Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:
+*Bei den Argumenten&nbsp; $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$&nbsp; ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich&nbsp; $1$, und es gilt:
 :$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
-*Bei anderen Frequenzen dient $X_{\rm S}(f)$ als obere Schranke, das heißt, es gilt stets ($|Xf)| \geq X_{\rm S}(f)$.
+*Bei anderen Frequenzen dient&nbsp; $X_{\rm S}(f)$&nbsp; als obere Schranke, das heißt, es gilt stets&nbsp; $|Xf)| \leq X_{\rm S}(f)$.
-*In der Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ als violette Kurve eingezeichnet.
+*In der Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; als violette Kurve eingezeichnet.
@@ Zeile 119: / Zeile 122: @@
 :$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
-Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe $(1)$ gilt somit:
+*Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt somit:
 :$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
-Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
+*Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich&nbsp; $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
 :$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
-Mit $f = 10\,\text{kHz}$  und $T = 50\,\text{µs}$  erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ entsprechend $\underline{90^{\circ}}$ .
+*Mit&nbsp; $f = 10\,\text{kHz}$&nbsp;  und&nbsp; $T = 50\,\text{µs}$&nbsp;  erhält man daraus den Phasenwinkel&nbsp; $\pi /2$&nbsp; entsprechend&nbsp; $\underline{90^{\circ}}$ .
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID503__Sig_A_3_3.png|250px|right|frame|Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum]]
-Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50\,\text{µs}$ und der Höhe $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
+Betrachtet wird ein Rechteckimpuls&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Dauer&nbsp; $T = 50\,\text{µs}$&nbsp; und der Höhe&nbsp; $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = T$&nbsp; ist der Signalwert jeweils&nbsp; $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
 In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 :$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
-Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden.
+Der analytische Funktionsverlauf von&nbsp; $X(f)$&nbsp; soll ermittelt werden.
@@ Zeile 17: / Zeile 20: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
 *Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
@@ Zeile 28: / Zeile 31: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
-${\rm Re}[X(f=10 \,\text{kHz})] \ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
+${\rm Re}\big[X(f=10 \,\text{kHz})\big] \ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
-${\rm Im}[X(f=10\, \text{kHz})]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
+${\rm Im}\big[X(f=10\, \text{kHz})\big]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
-{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f=20 \,\text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f=20 \,\text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $|X(f=0)|\ = \ $ { 0.1 3% } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
 $|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
-{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/T$.
++ $|X(f)|$&nbsp; hat Nullstellen bei Vielfachen von&nbsp; $f_0 = 1/T$.
-- $|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/(2T)$.
+- $|X(f)|$&nbsp; hat Nullstellen bei Vielfachen von&nbsp; $f_0 = 1/(2T)$.
-+ In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.
++ In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt&nbsp; $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz&nbsp; $f=10\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $ { 90 1% } &nbsp; $\text{Grad}$

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 *Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
-:$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$
+:$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \big( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \big),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 |type="{}"}
 ${\rm Re}[X(f=10 \,\text{kHz})] \ = \ $ { 0. } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
-${\rm Re}[X(f=10\, \text{kHz})]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
+${\rm Im}[X(f=10\, \text{kHz})]\ = \ $ { -0.064--0.06 } &nbsp; $\text{mV/Hz}$
 {Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f=20 \,\text{kHz}$?
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 :$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
-:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega: T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
+:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
 Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\omega \cdot T = \pi$  erhält man:
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 :$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
-:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
+:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \big( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \big) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
 '''(2)'''&nbsp; Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
-:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$
+:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\big[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \big].$$
 Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:
-:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
+:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \big( {1 - \cos ( {\omega T} )} \big) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
 Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 :$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$
-Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu
+Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = \text{20 kHz}$ ergibt sich zu
 :$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital Regel von l'Hospital] kann dieser Grenzwert berechnet werden:
+Bei der Berechnung des Wertes für $f = 0$ erscheint der Quotient $\text{0 durch 0}$. Durch Anwendung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital l'Hospitalschen Regel] kann der Grenzwert berechnet werden:
 :$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 [[Datei:P_ID563__Sig_A_3_3_c.png|right|frame|Betragsspektrum des Rechteckimpulses]]
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (2) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$  ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
+*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe $(2$) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf.
 *Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5,\hspace{0.05cm}\text{ ... }$ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:
 :$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
-*Bei anderen Frequenzen dient $X_{\rm S}(f)$ als obere Schranke, d. h. es gilt stets ($|Xf)| \geq X_{\rm S}(f)$.
+*Bei anderen Frequenzen dient $X_{\rm S}(f)$ als obere Schranke, das heißt, es gilt stets ($|Xf)| \geq X_{\rm S}(f)$.
-*In obiger Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ als violette Kurve eingezeichnet.
+*In der Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ als violette Kurve eingezeichnet.
@@ Zeile 115: / Zeile 116: @@
 :$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
-Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe (1) gilt somit:
+Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe $(1)$ gilt somit:
 :$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$

← Nächstältere Version	Version vom 1. Januar 2018, 17:18 Uhr
(kein Unterschied)