Aufgaben:Aufgabe 3.4: Trapezspektrum bzw. -impuls - Versionsgeschichte

Guenter am 26. April 2021 um 14:37 Uhr

2021-04-26T14:37:49Z

Guenter am 26. April 2021 um 14:32 Uhr

2021-04-26T14:32:54Z

Guenter am 26. September 2019 um 14:33 Uhr

2019-09-26T14:33:26Z

Guenter am 26. September 2019 um 14:19 Uhr

2019-09-26T14:19:35Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 09:10 Uhr

2018-07-24T09:10:11Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 09:03 Uhr

2018-07-24T09:03:55Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 09:02 Uhr

2018-07-24T09:02:27Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 09:00 Uhr

2018-07-24T09:00:49Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 10:06 Uhr

2018-01-16T10:06:56Z

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 *Für den Rolloff-Faktor gilt:
-:$${ {r_f = }}\frac{ {f_2  - f_1 }}{ {f_2  + f_1 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.5}.$$
+:$${ {r_{\hspace{-0.05cm}f} = }}\frac{ {f_2  - f_1 }}{ {f_2  + f_1 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.5}.$$
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 :$$x( {t = T} ) = x_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
-*Auch bei allen Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; weist&nbsp; $x(t)$&nbsp; Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T/2$&nbsp; gilt:
+*Auch bei allen Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; weist&nbsp; $x(t)$&nbsp; Nulldurchgänge auf.&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T/2$&nbsp; gilt:
 :$$x( {t = T/2} ) = x_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { { {\rm{\pi }}}/{4}} ) = x_0  \cdot \frac{ { 1 \cdot \sqrt 2 /2}}{ { {\rm{\pi /}}2 \cdot {\rm{\pi /4}}}} = x_0  \cdot \frac{ {4 \cdot \sqrt 2 }}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

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 [[Datei:P_ID508__Sig_A_3_4.png|250px|right|frame|Trapezspektrum & Trapezimpuls]]
-Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter&nbsp; $X_0$,&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2$&nbsp; vollständig beschrieben wird. Für die beiden Eckfrequenzen gelte stets&nbsp;  $f_2 > 0$&nbsp; und&nbsp; $0 \leq f_1 \leq f_2$.
+Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter&nbsp; $X_0$,&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2$&nbsp; vollständig beschrieben wird.&nbsp; Für die beiden Eckfrequenzen gelte stets&nbsp;  $f_2 > 0$&nbsp; und&nbsp; $0 \leq f_1 \leq f_2$.
 Anstelle der Eckfrequenzen&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2$&nbsp; können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:
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 :$$\Delta f = f_1  + f_2,$$
 *der so genannte&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Rolloff-Faktor]]&nbsp; (im Frequenzbereich):
-:$$r_f = \frac{ {f_2  - f_1 }}{ {f_2  + f_1 }}.$$
+:$$r_{\hspace{-0.05cm}f} = \frac{ {f_2  - f_1 }}{ {f_2  + f_1 }}.$$
 Mit diesen Größen lautet die dazugehörige Zeitfunktion (siehe mittlere Grafik):
-:$$x( t ) = X_0  \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi}   \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi}  \cdot  r_f \cdot \Delta f\cdot t} ).$$
+:$$x( t ) = X_0  \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi}   \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi}  \cdot  r_{\hspace{-0.05cm}f} \cdot \Delta f\cdot t} ).$$
 Hierbei ist&nbsp; $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$&nbsp; die so genannte Spaltfunktion.
-In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte&nbsp; $X_0 = 10^{–3}\,\text{V/Hz}$,&nbsp; $f_1 = 1\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_2 = 3\,\text{kHz}$&nbsp; verwendet werden. Die Zeit&nbsp; $T = 1/\Delta f$&nbsp; dient lediglich zu Normierungszwecken.
+In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte&nbsp; $X_0 = 10^{–3}\,\text{V/Hz}$,&nbsp; $f_1 = 1\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_2 = 3\,\text{kHz}$&nbsp; verwendet werden.&nbsp; Die Zeit&nbsp; $T = 1/\Delta f$&nbsp; dient lediglich zu Normierungszwecken.
 Ab Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird ein trapezförmiges Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist.
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 :$$\Delta t = t_1  + t_2,$$
-*der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) mit vergleichbarer Definition wie&nbsp; $r_f$:
+*der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) mit vergleichbarer Definition wie&nbsp; $r_{\hspace{-0.05cm}f}$:
 :$$r_t = \frac{ {t_2  - t_1 }}{ {t_2  + t_1 }}.$$

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 :$$\Delta f = f_1  + f_2  \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\;{\rm{kHz}}}{\rm{.}}$$
-Für den Rolloff-Faktor gilt:
+*Für den Rolloff-Faktor gilt:
 :$${ {r_f = }}\frac{ {f_2  - f_1 }}{ {f_2  + f_1 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.5}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der Maximalwert des Impulses $x(t)$ tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf:
 :$$x_0 = x(t = 0) = X_0 \cdot \Delta f \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\, \text{V}}.$$
-Zum Zeitpunkt $t = T = 1/\Delta f$ gilt aufgrund von $\text{si}(\pi) = 0$:
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T = 1/\Delta f$&nbsp; gilt aufgrund von&nbsp; $\text{si}(\pi) = 0$:
 :$$x( {t = T} ) = x_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$
-Auch bei allen Vielfachen von $T$ weist $x(t)$ Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt $t = T/2$ gilt:
+*Auch bei allen Vielfachen von&nbsp; $T$&nbsp; weist&nbsp; $x(t)$&nbsp; Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T/2$&nbsp; gilt:
 :$$x( {t = T/2} ) = x_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { { {\rm{\pi }}}/{4}} ) = x_0  \cdot \frac{ { 1 \cdot \sqrt 2 /2}}{ { {\rm{\pi /}}2 \cdot {\rm{\pi /4}}}} = x_0  \cdot \frac{ {4 \cdot \sqrt 2 }}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 '''(3)'''&nbsp; Die zum trapezförmigen Spektrum $X(f)$ zugehörige Zeitfunktion lautet entsprechend der Angabe:
 :$$x( t ) = X_0  \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t} ).$$
-Da sowohl $X(f)$ als auch $x(t)$ reell sind und zudem $y(t)$ formgleich mit $X(f)$ ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
+*Da sowohl&nbsp; $X(f)$&nbsp; als auch&nbsp; $x(t)$&nbsp; reell sind und zudem&nbsp; $y(t)$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
 :$$Y( f ) = y_0  \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_t \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
-Insbesondere gilt:
+*Insbesondere gilt:
 :$$Y( {f = 0} ) = y_0  \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{,}}$$
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 :$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = y_0  \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}\;{\rm{.}}$$
-Da nun aber die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor $2$:
+'''(4)'''&nbsp; Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; wird nicht verändert: &nbsp;
 :$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = Y_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\,{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-In der Teilaufgabe '''(3)''' ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5\,\rm{kHz}$  aufgetreten.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ist dieser Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0.5\,\rm{kHz}$&nbsp;  aufgetreten.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

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 }}
-[[Datei:P_ID508__Sig_A_3_4.png|250px|right|frame|Trapezspektrum und -impuls]]
+[[Datei:P_ID508__Sig_A_3_4.png|250px|right|frame|Trapezspektrum & Trapezimpuls]]
-Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion $X(f)$ gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter $X_0$, $f_1$ und $f_2$ vollständig beschrieben wird. Für die beiden Eckfrequenzen gelte stets  $f_2 > 0$ und $0 \geq f_1 \geq f_2$.
+Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter&nbsp; $X_0$,&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2$&nbsp; vollständig beschrieben wird. Für die beiden Eckfrequenzen gelte stets&nbsp;  $f_2 > 0$&nbsp; und&nbsp; $0 \leq f_1 \leq f_2$.
-Anstelle der Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:
+Anstelle der Eckfrequenzen&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_2$&nbsp; können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:
-*die [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Bandbreite]]:
+*die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Bandbreite]]:
 :$$\Delta f = f_1  + f_2,$$
-*der so genannte [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Rolloff-Faktor]] (im Frequenzbereich):
+*der so genannte&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Rolloff-Faktor]]&nbsp; (im Frequenzbereich):
 :$$r_f = \frac{ {f_2  - f_1 }}{ {f_2  + f_1 }}.$$
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 :$$x( t ) = X_0  \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi}   \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi}  \cdot  r_f \cdot \Delta f\cdot t} ).$$
-Hierbei ist $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ die so genannte Spaltfunktion.
+Hierbei ist&nbsp; $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$&nbsp; die so genannte Spaltfunktion.
-In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte $X_0 = 10^{–3}\,\text{V/Hz}$ , $f_1 = 1\,\text{kHz}$ und $f_2 = 3\,\text{kHz}$ verwendet werden. Die Zeit $T = 1/\Delta f$ dient lediglich zu Normierungszwecken.
+In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte&nbsp; $X_0 = 10^{–3}\,\text{V/Hz}$,&nbsp; $f_1 = 1\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_2 = 3\,\text{kHz}$&nbsp; verwendet werden. Die Zeit&nbsp; $T = 1/\Delta f$&nbsp; dient lediglich zu Normierungszwecken.
-Ab Teilaufgabe '''(3)''' wird ein trapezförmiges Signal $y(t)$ betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum $X(f)$ ist.
+Ab Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird ein trapezförmiges Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; ist.
 Als Beschreibungsgrößen können hier verwendet werden:
-*die Impulsamplitude $y_0 = y(t = 0)$,
+*die Impulsamplitude&nbsp; $y_0 = y(t = 0)$,
-*die [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Impulsdauer]] (definiert über das flächengleiche Rechteck):
+*die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalente Impulsdauer]]&nbsp; (definiert über das flächengleiche Rechteck):
 :$$\Delta t = t_1  + t_2,$$
-*der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) mit vergleichbarer Definition wie $r_f$:
+*der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) mit vergleichbarer Definition wie&nbsp; $r_f$:
 :$$r_t = \frac{ {t_2  - t_1 }}{ {t_2  + t_1 }}.$$
-Es gelte $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$ und $r_t = 0.5$.
+Es gelte&nbsp; $y_0 = 4\,\text{V}$,&nbsp; $\Delta t = 1\,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $r_t = 0.5$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Verwenden Sie zur Lösung den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]] und den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz|Ähnlichkeitssatz]].
+*Verwenden Sie zur Lösung den&nbsp;  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]]&nbsp; und den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz|Ähnlichkeitssatz]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] sowie  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp;  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind bei den gegebenen Parametern die äquivalente Bandbreite und der Rolloff-Faktor des Spektrums $X(f)$?
+{Wie groß sind bei den gegebenen Parametern die äquivalente Bandbreite und der Rolloff-Faktor des Spektrums&nbsp; $X(f)$?
 |type="{}"}
 $\Delta f \ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
 $r_f \hspace{0.35cm} = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie groß sind die Signalwerte von $x(t)$ bei $t = 0$, $t = T$ und $t = T/2$?
+{Wie groß sind die Signalwerte von&nbsp; $x(t)$&nbsp; bei&nbsp; $t = 0$,&nbsp; $t = T$&nbsp; und&nbsp; $t = T/2$?
 |type="{}"}
 $x(t=0)\hspace{0.2cm} = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 63: / Zeile 67: @@
 $x(t=T/2)\ = \ $ { 2.293 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet das Spektrum $Y(f)$ des Trapezimpulses mit $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$  und $r_t = 0.5$? <br>Wie groß sind die Spektralwerte bei den angegebenen Frequenzen?
+{Wie lautet das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; des Trapezimpulses mit&nbsp; $y_0 = 4\,\text{V}$,&nbsp; $\Delta t = 1\,\text{ms}$&nbsp;  und&nbsp; $r_t = 0.5$? <br>Wie groß sind die Spektralwerte bei den angegebenen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $Y(f = 0)\hspace{0.2cm} = \ $ { 4 3% }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
@@ Zeile 69: / Zeile 73: @@
 $Y(f = 1.0 \,\text{kHz})\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Welche Spektralwerte ergeben sich mit $y_0 = 8\,\text{V}$, $\Delta t = 0.5\,\text{ms }$ und $r_t = 0.5$?
+{Welche Spektralwerte ergeben sich mit&nbsp; $y_0 = 8\,\text{V}$,&nbsp; $\Delta t = 0.5\,\text{ms }$&nbsp; und&nbsp; $r_t = 0.5$?
 |type="{}"}
 $Y(f=0)\hspace{0.2cm}= \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 $r_f \hspace{0.35cm} = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie groß sind die Signalwerte von $x(t)$ bei $t = 0$, $t = T/2$ und $t = T$?
+{Wie groß sind die Signalwerte von $x(t)$ bei $t = 0$, $t = T$ und $t = T/2$?
 |type="{}"}
 $x(t=0)\hspace{0.2cm} = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 $x(t=T/2)\ = \ $ { 2.293 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet das Spektrum $Y(f)$ des Trapezimpulses mit $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$ , $r_t = 0.5$. Wie groß sind die Spektralwerte bei den drei angegebenen Frequenzen?
+{Wie lautet das Spektrum $Y(f)$ des Trapezimpulses mit $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$  und $r_t = 0.5$? <br>Wie groß sind die Spektralwerte bei den angegebenen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $Y(f = 0)\hspace{0.2cm} = \ $ { 4 3% }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
 :$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = y_0  \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}\;{\rm{.}}$$
-'''(4)'''&nbsp; Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert: $Y_0 = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \,\rm{mV/Hz}}$. Da nun aber die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor 2:
+'''(4)'''&nbsp; Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert: &nbsp; $Y_0 = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \,\rm{mV/Hz}}$.
 :$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = Y_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\,{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-In der Teilaufgabe (3) ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5\,\rm{kHz}$  aufgetreten.
+In der Teilaufgabe '''(3)''' ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5\,\rm{kHz}$  aufgetreten.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 *Verwenden Sie zur Lösung den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]] und den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz#Vertauschungssatz|Ähnlichkeitssatz]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] sowie  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.