Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Integration von Diracfunktionen - Versionsgeschichte

Guenter am 27. April 2021 um 12:27 Uhr

2021-04-27T12:27:09Z

Guenter am 26. September 2019 um 15:32 Uhr

2019-09-26T15:32:32Z

Guenter am 26. September 2019 um 15:22 Uhr

2019-09-26T15:22:59Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 09:35 Uhr

2018-07-24T09:35:10Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:05 Uhr

2018-01-17T15:05:27Z

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:00 Uhr

2018-01-17T15:00:48Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.5Z Integration von Diracfunktionen nach Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Integration von Diracfunktionen

2018-01-01T17:21:24Z

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Guenter am 17. Januar 2017 um 16:19 Uhr

2017-01-17T16:19:23Z

Guenter am 17. Januar 2017 um 16:03 Uhr

2017-01-17T16:03:12Z

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 Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals|Aufgabe 3.5]]&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; des Signals
 :$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\   - A \\  0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c}   {{\rm{f \ddot{u}r}}}  \\   {{\rm{f\ddot{u} r}}}  \\   {\rm{sonst.}}  \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c}   { - T \le t < 0,}  \\   {0 < t \le T,}  \\   {}  \\\end{array}$$
-ermittelt werden. Es gelte wieder&nbsp; $A = 1 \,\text{V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.5 \,\text{ms}$.
+ermittelt werden.&nbsp; Es gelte wieder&nbsp; $A = 1 \,\text{V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.5 \,\text{ms}$.
 Ausgegangen wird vom Zeitsignal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei&nbsp; $–T$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+T$&nbsp; mit den Impulsgewichte&nbsp; ${AT}$,&nbsp; $-2{AT}$&nbsp; und&nbsp; ${AT}$&nbsp; zusammensetzt.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$.&nbsp; Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $|{X(f = 0)}| \ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
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-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${Y(f)}$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $|{Y(f = 0)}|\ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen ${u(t)}$ und ${U(f)}$. Da sowohl die Zeitfunktionen ${u(t)}$ und ${x(t)}$ als auch die dazugehörigen Spektren ${U(f)}$ und ${X(f)}$ gerade und reell sind, kann man ${X(f)}$ durch Anwendung des Vertauschungssatzes leicht berechnen:
+'''(1)'''&nbsp;  Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen&nbsp; ${u(t)}$&nbsp; und&nbsp; ${U(f)}$.
 :$$X( f ) =  - 2 \cdot A \cdot T  + 2 \cdot A \cdot T \cdot \cos \left( {{\rm{2\pi }}fT} \right).$$
-Wegen der Beziehung $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Wegen der Beziehung&nbsp; $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$X( f ) =  - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ hat ${x(t)}$ keine Spektralanteile &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
+:*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; keine Spektralanteile &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
-*Für $f = 1 \,\text{kHz}$, also $f \cdot T = 0.5$, gilt dagegen:
+:*Für&nbsp; $f = 1 \,\text{kHz}$&nbsp; &ndash; also&nbsp; $f \cdot T = 0.5$&nbsp; &ndash; &nbsp; gilt dagegen:
 :$$X( f   =  1\;{\rm{kHz}} )  =    - 4 \cdot A \cdot T = -2 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}\;  \Rightarrow \;
 |X( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )|   \hspace{0.15 cm}\underline{=  2  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
 '''(2)'''&nbsp; Das Spektrum ${Y(f)}$ kann aus ${X(f)}$ durch Anwendung des Integrationssatzes ermittelt werden. Wegen ${X(f = 0)} = 0$ muss die Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$ nicht berücksichtigt werden und man erhält:
 :$$Y( f ) = \frac{X( f )}{{{\rm{j}} \cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = \frac{{ - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
-Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals|Aufgabe 3.5]]:
+*Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals|Aufgabe 3.5]]:
-*Bei der Frequenz $f = 0$ hat auch  ${y(t)}$ keine Spektralanteile &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
+:*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat auch&nbsp;  ${y(t)}$&nbsp; keine Spektralanteile &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
-*Für $f = 1\,\text{kHz} \ \ (f \cdot T = 0.5)$ erhält man gegenüber $X(f)$ einen um den Faktor $\pi$ kleineren Wert:
+:*Für&nbsp; $f = 1\,\text{kHz} \ \ (f \cdot T = 0.5)$&nbsp; erhält man gegenüber&nbsp; $X(f)$&nbsp; einen um den Faktor&nbsp; $\pi$&nbsp; kleineren Wert:
 :$$|Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )| =  \frac{4 \cdot A \cdot T}{\rm{\pi }} \hspace{0.15 cm}\underline{=  {\rm{0}}{\rm{.636}}  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID515__Sig_Z_3_5_neu.png|right|frame|Integration von Diracfunktionen ]]
-Wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals|Aufgabe 3.5]] soll das Spektrum ${Y(f)}$ des Signals
+Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals|Aufgabe 3.5]]&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; des Signals
 :$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\   - A \\  0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c}   {{\rm{f \ddot{u}r}}}  \\   {{\rm{f\ddot{u} r}}}  \\   {\rm{sonst.}}  \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c}   { - T \le t < 0,}  \\   {0 < t \le T,}  \\   {}  \\\end{array}$$
-ermittelt werden. Es gelte wieder $A = 1 \,\text{V}$ und $T = 0.5 \,\text{ms}$.
+ermittelt werden. Es gelte wieder&nbsp; $A = 1 \,\text{V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.5 \,\text{ms}$.
-Ausgegangen wird vom Zeitsignal ${x(t)}$ gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei $–T$, $0$ und $+T$ mit den Impulsgewichte ${AT}$, $-2{AT}$ und ${AT}$ zusammensetzt.
+Ausgegangen wird vom Zeitsignal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei&nbsp; $–T$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+T$&nbsp; mit den Impulsgewichte&nbsp; ${AT}$,&nbsp; $-2{AT}$&nbsp; und&nbsp; ${AT}$&nbsp; zusammensetzt.
-Die Spektralfunktion ${X(f)}$ kann durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatzes]] direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu ${U(f)}$ gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
+Die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; kann durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatzes]]&nbsp; direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu&nbsp; ${U(f)}$&nbsp; gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
 :$$u( t ) =  - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
+*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
-*Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:
+*Zwischen&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; und&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; besteht folgender Zusammenhang:
 :$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\, {\rm d}\tau .$$
-*Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:
+*Der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; lautet in entsprechend angepasster Form:
-:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
+:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }\cdot }fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
@@ Zeile 30: / Zeile 33: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $|{X(f = 0)}| \ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
@@ Zeile 36: / Zeile 39: @@
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
 $|{Y(f = 0)}|\ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
+*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
 *Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:
 :$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\, {\rm d}\tau .$$

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 *Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:
 :$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau  )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 {Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
-$|\text{X(f = 0)}|$ &nbsp;= { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+$|{X(f = 0)}|$ &nbsp;= { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-$|\text{X(f = 1\, \text{kHz})}|$ &nbsp;=  { 2 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+$|{X(f = 1\, \text{kHz})}|$ &nbsp;=  { 2 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 {Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?
 |type="{}"}
-$|\text{Y(f = 0)}|$ &nbsp;= { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+$|{Y(f = 0)}|$ &nbsp;= { 0. }  &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-$|\text{Y(f = 1\, \text{kHz})}|$ &nbsp;=  { 0.636 3%  } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+$|{Y(f = 1\, \text{kHz})}|$ &nbsp;=  { 0.636 3%  } &nbsp;$\text{mV/Hz}$