Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Komplexe Exponentialfunktion - Versionsgeschichte

Guenter am 27. April 2021 um 13:56 Uhr

2021-04-27T13:56:59Z

Guenter am 27. April 2021 um 13:50 Uhr

2021-04-27T13:50:48Z

Guenter am 26. September 2019 um 16:26 Uhr

2019-09-26T16:26:00Z

Guenter am 26. September 2019 um 16:17 Uhr

2019-09-26T16:17:39Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 10:09 Uhr

2018-07-24T10:09:05Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:50 Uhr

2018-01-17T15:50:28Z

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:43 Uhr

2018-01-17T15:43:20Z

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:42 Uhr

2018-01-17T15:42:16Z

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:39 Uhr

2018-01-17T15:39:31Z

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 '''(3)'''&nbsp;  Wegen&nbsp; $X(f) = G(f)  + U(f)$&nbsp; gilt auch:
 :$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
-Dieses Ergebnis kann mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp;  wie folgt zusammengefasst werden:
+Dieses Ergebnis kann mit dem&nbsp; Satz von Euler&nbsp;  wie folgt zusammengefasst werden:
 :$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} .$$
 Richtig sind die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>:

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID518__Sig_Z_3_6_neu.png|right|frame|Darstellung im Spektralbereich: <br>komplexe Exponentialfunktion und geeignete Aufspaltung]]
-In Zusammenhang mit den&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]]&nbsp; wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; zur Folge hat.
+In Zusammenhang mit den&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]]&nbsp; wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet.&nbsp; In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; zur Folge hat.
 In der unteren Skizze ist&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil&nbsp; ${G(f)}$&nbsp; sowie einen ungeraden Anteil&nbsp; ${U(f)}$&nbsp; aufgespaltet.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die zu&nbsp; $G(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $g(t)$? Wie groß ist&nbsp; $g(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
+{Wie lautet die zu&nbsp; $G(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $g(t)$?&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $g(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}\big[g(t = 1 \, &micro; \text {s})\big] \ =  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
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-{Wie lautet die zu&nbsp; $U(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $u(t)$? Wie groß ist&nbsp; $u(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
+{Wie lautet die zu&nbsp; $U(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $u(t)$?&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $u(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}\big[u(t = 1 \, &micro; \text {s})\big]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$:
+'''(1)'''&nbsp;  $G(f)$&nbsp; ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer&nbsp; $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$:
 :$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
-Bei $t = 1 \, &micro;\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:
+Bei&nbsp; $t = 1 \, &micro;\text {s}$&nbsp; ist der Signalwert gleich&nbsp; $A \cdot \cos(\pi /4)$:
-*Der Realteil ist $\text{Re}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
+*Der Realteil ist&nbsp; $\text{Re}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
-*der Imaginärteil ist $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.}$
+*der Imaginärteil ist&nbsp; $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.}$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 :$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$
 erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):
-:$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t}  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$
+:$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} } \right).$$
-Nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
-*Der <u>Realteil dieses Signals ist stets Null</u>.
+:*Der <u>Realteil dieses Signals ist stets Null</u>.
-*Bei $t = 1 \, &micro;\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
+:*Bei&nbsp; $t = 1 \, &micro;\text {s}$&nbsp; gilt für den Imaginärteil:&nbsp; $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
-'''(3)'''&nbsp;  Wegen $X(f) = G(f)  + U(f)$ gilt auch:
+'''(3)'''&nbsp;  Wegen&nbsp; $X(f) = G(f)  + U(f)$&nbsp; gilt auch:
 :$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
-Dieses Ergebnis kann mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  wie folgt zusammengefasst werden:
+Dieses Ergebnis kann mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp;  wie folgt zusammengefasst werden:
-:$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$
+:$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} .$$
 Richtig sind die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>:
 *Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$.
+*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer&nbsp; $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID518__Sig_Z_3_6_neu.png|right|frame|komplexe Exponentialfunktion, Cosinus und Sinus (alle im Spektralbereich)]]
+[[Datei:P_ID518__Sig_Z_3_6_neu.png|right|frame|Darstellung im Spektralbereich: <br>komplexe Exponentialfunktion und geeignete Aufspaltung]]
-In Zusammenhang mit den [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]] wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal ${x(t)}$ zur Folge hat.
+In Zusammenhang mit den&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Bandpass-Systemen]]&nbsp; wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; zur Folge hat.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
+*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
-*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]] und des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
+*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]]&nbsp; und des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
-*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A = 1\, \text{V}$ und $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$
+*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter&nbsp; $A = 1\, \text{V}$&nbsp; und&nbsp; $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die zu $G(f)$ passende Zeitfunktion $g(t)$? Wie groß ist $g(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
+{Wie lautet die zu&nbsp; $G(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $g(t)$? Wie groß ist&nbsp; $g(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] \ =  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}\big[g(t = 1 \, &micro; \text {s})\big] \ =  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})]\ =  \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}\big[g(t = 1 \, &micro; \text {s})\big]\ =  \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet die zu $U(f)$ passende Zeitfunktion $u(t)$? Wie groß ist $u(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
+{Wie lautet die zu&nbsp; $U(f)$&nbsp; passende Zeitfunktion&nbsp; $u(t)$? Wie groß ist&nbsp; $u(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[u(t = 1 \, &micro; \text {s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}\big[u(t = 1 \, &micro; \text {s})\big]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}\big[u(t = 1 \, &micro; \text {s})\big]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals $x(t)$ zutreffend?
+{Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Das Signal lautet $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi f_0 t}$.
++ Das Signal lautet&nbsp; $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$.
-- In der komplexen Ebene dreht $x(t)$ im Uhrzeigersinn.
+- In der komplexen Ebene dreht&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Uhrzeigersinn.
-+ In der komplexen Ebene dreht $x(t)$ entgegen dem Uhrzeigersinn.
++ In der komplexen Ebene dreht&nbsp; $x(t)$&nbsp; entgegen dem Uhrzeigersinn.
 - Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die zu $G(f)$ passende Zeitfunktion $g(t)$? Wie groß ist $g(t = 1 \, \mu \text {s})$?
+{Wie lautet die zu $G(f)$ passende Zeitfunktion $g(t)$? Wie groß ist $g(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] \ =  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] \ =  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]\ =  \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})]\ =  \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet die zu $U(f)$ passende Zeitfunktion $u(t)$? Wie groß ist $u(t = 1 \, \mu \text {s})$?
+{Wie lautet die zu $U(f)$ passende Zeitfunktion $u(t)$? Wie groß ist $u(t = 1 \, &micro; \text {s})$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[u(t = 1 \, \mu \text {s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[u(t = 1 \, &micro; \text {s})]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})]\ = \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$:
+'''(1)'''&nbsp;  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$:
 :$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
-Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:
+Bei $t = 1 \, &micro;\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:
-*Der Realteil ist $\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
+*Der Realteil ist $\text{Re}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
-*der Imaginärteil ist $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.}$
+*der Imaginärteil ist $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.}$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 :$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
 *Der <u>Realteil dieses Signals ist stets Null</u>.
-*Bei $t = 1 \, \mu\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
+*Bei $t = 1 \, &micro;\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, &micro; \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 Richtig sind die vorgegebenen <u>Alternativen 1 und 3</u>:
 *Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
-*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, \mu\text {s}$.
+*Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, &micro;\text {s}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 {Wie lautet die zu $G(f)$ passende Zeitfunktion $g(t)$? Wie groß ist $g(t = 1 \, \mu \text {s})$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]$ &nbsp;= { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[g(t = 1 \, \mu \text {s})] \  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]$ &nbsp;= { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]\  \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
 {Wie lautet die zu $U(f)$ passende Zeitfunktion $u(t)$? Wie groß ist $u(t = 1 \, \mu \text {s})$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[u(t = 1 \, \mu \text {s})]$ &nbsp;= { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[u(t = 1 \, \mu \text {s})]\  \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]$ &nbsp;= { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}[g(t = 1 \, \mu \text {s})]\  \ $ { 0.707 3% } &nbsp;$\text{V}$