Aufgaben:Aufgabe 4.18: Nichtkohärente FSK–Demodulation - Versionsgeschichte

Guenter am 30. August 2022 um 14:25 Uhr

2022-08-30T14:25:32Z

Guenter am 30. August 2022 um 13:26 Uhr

2022-08-30T13:26:16Z

Guenter am 30. August 2022 um 13:05 Uhr

2022-08-30T13:05:43Z

Guenter am 19. März 2019 um 14:07 Uhr

2019-03-19T14:07:46Z

Guenter am 19. März 2019 um 14:00 Uhr

2019-03-19T14:00:44Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:38:43Z

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Guenter am 26. November 2017 um 17:05 Uhr

2017-11-26T17:05:27Z

Guenter am 26. November 2017 um 16:47 Uhr

2017-11-26T16:47:01Z

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2017-11-26T16:25:01Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschlag 1, 2 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1, 2 und 4</u>:
-*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch <i>Minimum Shift Keying</i> (MSK).
+*Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben,&nbsp; wenn der Modulationsindex&nbsp; $h$&nbsp; ein Vielfaches von&nbsp; $0.5$&nbsp; ist.&nbsp; Binäre FSK mit&nbsp; $h = 0.5$&nbsp; nennt man auch&nbsp; "Minimum Shift Keying"&nbsp; $\rm (MSK)$.
 '''(2)'''&nbsp; Hier ist nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u> richtig, das heißt, es muss nun $h = 1, \ 2, \ 3, \text{ ...}$ ganzzahlig sein.
-*Nichtkohärente Demodulation von FSK ist somit nicht möglich.
+'''(2)'''&nbsp; Hier ist nur der&nbsp; <u>erste Lösungsvorschlag</u>&nbsp; richtig,&nbsp; das heißt,&nbsp; es muss nun&nbsp; $h = 1, \ 2, \ 3, \text{ ...}$ &nbsp; ganzzahlig sein.
 *Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:
 :$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t)   \hspace{0.05cm}.$$
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 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}| \hspace{0.05cm}m = m_0) =    {\rm Pr}(\hat{m}= m_1| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$
-*Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$.
+*Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit&nbsp; $\gamma = 1$.
 *In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet: &nbsp; Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$.
 *Daraus folgt:
 :$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
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   {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm &ndash;5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.
+*Mit&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$&nbsp; erhält man&nbsp; $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm &ndash;5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.
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+'''(5)'''&nbsp; Da&nbsp; ${\rm U}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Z}$&nbsp; nach der Statistik ein&nbsp; "vollständiges System"&nbsp; ergeben,&nbsp; gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)''':
 :$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler}  ) -
   {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der FSK zutreffend?
+{Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der BFSK zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Orthogonalität ergibt sich, wenn&nbsp; $h$&nbsp; ganzzahlig ist.
++ Orthogonalität ergibt sich,&nbsp; wenn&nbsp; $h$&nbsp; ganzzahlig ist.
 + Auch für&nbsp; $h = 0.5$&nbsp; ergeben sich orthogonale Signalformen.
 - Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
 + Beim AWGN&ndash;Kanal gilt&nbsp; $r(t) = s(t) + n(t)$.
-{Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der FSK zutreffend?
+{Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der BFSK zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Orthogonalität ergibt sich, wenn&nbsp; $h$&nbsp; ganzzahlig ist.
++ Orthogonalität ergibt sich,&nbsp; wenn&nbsp; $h$&nbsp; ganzzahlig ist.
 - Auch für&nbsp; $h = 0.5$&nbsp; ergeben sich orthogonale Signalformen.
 - Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
 - Beim AWGN&ndash;Kanal gilt&nbsp; $r(t) = s(t) + n(t)$.
-{Es sei&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?
+{Es sei&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$.&nbsp; Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; also die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.337 3% } $\ \%$
-{Es sei&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?
+{Es sei&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$.&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 6.7 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
-{Es sei weiterhin&nbsp; $\gamma = 2$ und&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig&rdquo; angezeigt wird?
+{Es sei weiterhin&nbsp; $\gamma = 2$ und&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$.&nbsp; Wie groß ist die&nbsp; (bedingte)&nbsp; Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass bei Fehler die Zusatzinformation&nbsp; "unzuverlässig"&nbsp; angezeigt wird?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation}}
-[[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png|right|frame|Nichtkohärente Demodulation]]
+[[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png|right|frame|Modell für nichtkohärente Demodulation]]
-Wir betrachten <i>Frequency Shift Keying</i>&nbsp; (FSK) mit&nbsp; $M = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; binäre Signalisierung. Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:
+Wir betrachten&nbsp; "Frequency Shift Keying"&nbsp; $\rm (FSK)$&nbsp; mit&nbsp; $M = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; binäre Signalisierung.&nbsp; Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:
 :$$\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 :$$m_1\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}  = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_2(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (0, \sqrt{E_{\rm S}})\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei gibt&nbsp; $h$&nbsp; den so genannten <i>Modulationsindex</i> an. Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen, damit sich orthogonale Signalformen ergeben. Diese Kriterien hängen allerdings davon ab, ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.
+Hierbei gibt&nbsp; $h$&nbsp; den so genannten&nbsp; "Modulationsindex"&nbsp; an.&nbsp; Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen,&nbsp; damit sich orthogonale Signalformen ergeben.&nbsp; Diese Kriterien hängen allerdings davon ab,&nbsp; ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.
-Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres <i>Frequency Shift Keying</i>&nbsp; (FSK). Alle komplexen Signale sind blau beschriftet, komplexe Werte grün und reelle Werte rot.
+Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres&nbsp; "Frequency Shift Keying"&nbsp; $\rm (BFSK)$.&nbsp; Alle komplexen Signale sind blau beschriftet,&nbsp; komplexe Werte grün und reelle Werte rot.
-Gegenüber dem im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet, der außer dem Schätzwert noch ein <i>Sicherheitsflag</i>&nbsp; ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$&nbsp; ausgibt. Die logischen Größen&nbsp; ${\rm Z}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm U}$&nbsp; stehen hierbei für eine '''Z'''uverlässige bzw. eine '''U'''nzuverlässige Entscheidung. Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung, gesteuert durch den Parameter&nbsp; $\gamma$:
+Gegenüber dem im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| "Theorieteil"]]&nbsp; angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet,&nbsp; der außer dem Schätzwert noch ein&nbsp; "Sicherheitsflag"&nbsp; ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$&nbsp; ausgibt.&nbsp; Die logischen Größen stehen hierbei für&nbsp;
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
+*${\rm Z}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Z'''uverlässige Entschedung,
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$
+*${\rm U}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; '''U'''nzuverlässige Entschedung.
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$
 In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte&nbsp; $\gamma = 1$&nbsp; und&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; betrachtet.
-Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol&nbsp; $m_1$&nbsp; entscheidet und zudem anzeigt, dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist (besonders verwerflich), gilt
+Für die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol&nbsp; $m_1$&nbsp; entscheidet und zudem anzeigt,&nbsp; dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist&nbsp; (das ist besonders verwerflich),&nbsp; gilt
 :$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]   \hspace{0.05cm}.$$
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+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation"]].

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 *Bei kohärenter Demodulation ist Orthogonalität dann gegeben, wenn der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ ist. Binäre FSK mit $h = 0.5$ nennt man auch <i>Minimum Shift Keying</i> (MSK).
 *Da durch die Phasenregelung die Phasenverschiebung (Laufzeit) auf dem AWGN&ndash;Übertragungskanal ausgeglichen wird &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm e}^{{\rm j}\phi} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\phi} = 1$, gilt tatsächlich für die Signale im äquivalenten Tiefpassbereich: &nbsp; $r(t) = s(t) + n(t)   \hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 77: / Zeile 78: @@
 *Wegen der fehlenden Phasenregelung gilt außerdem:
 :$$r(t) = s(t) \cdot {\rm e }^{ - {\rm j }\hspace{0.05cm}\phi} + n(t)   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Nachrichten gilt:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}| \hspace{0.05cm}m = m_0) =    {\rm Pr}(\hat{m}= m_1| \hspace{0.05cm}m = m_0)\hspace{0.05cm}.$$
-Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$. In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet:
+*Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der vorgegebenen Gleichung mit $\gamma = 1$.
-*Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$:
+*In diesem Fall ist stets ${\it \Gamma} ={\rm Z}$ und die Entscheidungsregel lautet: &nbsp; Entscheide auf das Symbol $m_0$, falls $y_1 > y_2$.
 :$$p_{\rm S} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]_{\gamma = 1} =
   {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot e^{\rm &ndash;5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.
+*Mit $E_{\rm S}/N_0 = 10$ erhält man $p_{\rm S} = 1/2 \cdot {\rm e}^{\rm &ndash;5} \approx \underline {0.337 \cdot \%}$.
-'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus den Symmetriegründen zu
+'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus Symmetriegründen zu
 :$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) =
   {1}/{2} \cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0 \} + {1}/{2}\cdot {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_0)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_1 \} $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm "Z"}) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) = {\rm Pr}\{(\hat{m} = m_1)\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm}({\it \Gamma} = {\rm Z}) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0 \} =\frac{1}{1 + 2^2} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac{2^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+2^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ] = {1}/{5} \cdot {\rm e }^{-8} = \underline{6.7 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Da ${\rm U}$ und ${\rm Z}$ nach der Statistik ein vollständiges System ergeben, gilt mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (3) und (4):
 :$${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) ={\rm Pr}( {\rm Fehler}  ) -
   {\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) = 3.37 \cdot 10^{-3} - 6.7 \cdot 10^{-5} = \underline{3.3 \cdot 10^{-3}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:
+*Damit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler})$:
 :$${\rm Pr}({\it \Gamma}= {\rm U}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  )  =
 \frac{{\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U}\hspace{0.05cm}\cap\hspace{0.05cm} {\rm Fehler}  ) }{{\rm Pr}( {\rm Fehler}  )} = \frac{3.3 \cdot 10^{-3}}{3.37 \cdot 10^{-3}}  \hspace{0.15cm} \underline{= 98 \%}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2080__Dig_A_4_18.png|right|frame|Nichtkohärente Demodulation]]
-Wir betrachten <i>Frequency Shift Keying</i> (FSK) mit $M = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; binäre Signalisierung. Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:
+Wir betrachten <i>Frequency Shift Keying</i>&nbsp; (FSK) mit&nbsp; $M = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; binäre Signalisierung. Die beiden Basisfunktionen im Tiefpassbereich sind in diesem Fall komplex und lauten:
 :$$\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},$$
 :$$ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}.$$
-Für die zwei möglichen Signalformen im Tiefpassbereich gilt dann mit der mittleren Symbolenergie $E_{\rm S}$:
+Für die zwei möglichen Signalformen im Tiefpassbereich gilt dann mit der mittleren Symbolenergie&nbsp; $E_{\rm S}$:
 :$$m_0\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}0}  = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_1(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 0} = (\sqrt{E_{\rm S}}, 0)\hspace{0.05cm},$$
 :$$m_1\text{:}\hspace{0.2cm} s_{\rm TP,\hspace{0.05cm}1}  = \sqrt{E_{\rm S}} \cdot \xi_2(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\boldsymbol{ s}_{\rm 1} = (0, \sqrt{E_{\rm S}})\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei gibt $h$ den so genannten <i>Modulationsindex</i> an. Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen, damit sich auch nach der Demodulation orthogonale Signalformen ergeben. Diese Kriterien hängen allerdings davon ab, ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.
+Hierbei gibt&nbsp; $h$&nbsp; den so genannten <i>Modulationsindex</i> an. Dieser muss gewisse Kriterien erfüllen, damit sich orthogonale Signalformen ergeben. Diese Kriterien hängen allerdings davon ab, ob beim Empfänger ein kohärenter oder ein nichtkohärenter Demodulator verwendet wird.
-Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres <i>Frequency Shift Keying</i> (FSK). Alle komplexen Signale sind blau beschriftet, komplexe Werte grün und reelle Werte rot.
+Die Grafik zeigt im unteren Bereich den nichtkohärenten Demodulator für binäres <i>Frequency Shift Keying</i>&nbsp; (FSK). Alle komplexen Signale sind blau beschriftet, komplexe Werte grün und reelle Werte rot.
-Gegenüber dem im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]] angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet, der außer dem Schätzwert noch ein <i>Sicherheitsflag</i> ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$ ausgibt. Die logischen Größen ${\rm Z}$ und ${\rm U}$ stehen hierbei für eine '''Z'''uverlässige bzw. eine '''U'''nzuverlässige Entscheidung. Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung, gesteuert durch den Parameter $\gamma$:
+Gegenüber dem im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Theorieteil]]&nbsp; angegeben Entscheidungsprozess wird nun ein komplizierter Entscheider betrachtet, der außer dem Schätzwert noch ein <i>Sicherheitsflag</i>&nbsp; ${\it \Gamma} = \{{\rm Z}, \ {\rm U}\}$&nbsp; ausgibt. Die logischen Größen&nbsp; ${\rm Z}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm U}$&nbsp; stehen hierbei für eine '''Z'''uverlässige bzw. eine '''U'''nzuverlässige Entscheidung. Es gibt also vier Möglichkeiten der Entscheidung, gesteuert durch den Parameter&nbsp; $\gamma$:
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.2cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
+:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 > \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.2cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
+:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_0,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 < y_1 < \gamma \cdot y_2\hspace{0.05cm},$$
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.2cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$
+:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_2 > \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm},$$
-:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.2cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\hat{m} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{0.1cm} m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm U}, \hspace{0.5cm}{\rm falls} \hspace{0.15cm}y_1 < y_2 < \gamma \cdot y_1\hspace{0.05cm}.$$
-In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte $\gamma = 1$ und $\gamma = 2$ betrachtet.
+In den Fragen zur Aufgabe werden die beiden Werte&nbsp; $\gamma = 1$&nbsp; und&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; betrachtet.
-Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol $m_1$ entscheidet und zudem anzeigt, dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist (besonders verwerflich), gilt
+Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Entscheider fälschlicherweise für das Symbol&nbsp; $m_1$&nbsp; entscheidet und zudem anzeigt, dass diese Entscheidung als zuverlässig zu betrachten ist (besonders verwerflich), gilt
 :$${\rm Pr}\{\hat{m} = m_1,\hspace{0.05cm}{\it \Gamma} = {\rm Z} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0 \} = \frac{1}{1 + \gamma^2} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac{\gamma^2 \cdot E_{\rm S}}{(1+\gamma^2) \cdot N_{\rm 0}}\right ]   \hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]].
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 {Welche Aussagen sind bei kohärenter Demodulation der FSK zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Orthogonalität ergibt sich, wenn $h$ ganzzahlig ist.
++ Orthogonalität ergibt sich, wenn&nbsp; $h$&nbsp; ganzzahlig ist.
-+ Auch für $h = 0.5$ ergeben sich orthogonale Signalformen.
++ Auch für&nbsp; $h = 0.5$&nbsp; ergeben sich orthogonale Signalformen.
 - Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
-+ Beim AWGN&ndash;Kanal gilt $r(t) = s(t) + n(t)$.
++ Beim AWGN&ndash;Kanal gilt&nbsp; $r(t) = s(t) + n(t)$.
 {Welche Aussagen sind bei nichtkohärenter Demodulation der FSK zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Orthogonalität ergibt sich, wenn $h$ ganzzahlig ist.
++ Orthogonalität ergibt sich, wenn&nbsp; $h$&nbsp; ganzzahlig ist.
-- Auch für $h = 0.5$ ergeben sich orthogonale Signalformen.
+- Auch für&nbsp; $h = 0.5$&nbsp; ergeben sich orthogonale Signalformen.
 - Orthogonalität ist grundsätzlich nicht zu erreichen.
-- Beim AWGN&ndash;Kanal gilt $r(t) = s(t) + n(t)$.
+- Beim AWGN&ndash;Kanal gilt&nbsp; $r(t) = s(t) + n(t)$.
-{Es sei $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?
+{Es sei&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzwert von der gesendeten Nachricht abweicht?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.337 3% } $\ \%$
-{Es sei $\gamma = 2$ und $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?
+{Es sei&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass trotz Fehler das Sicherheitsflag eine zuverlässige Entscheidung signalisiert?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm Z\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 6.7 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
-{Es sei weiterhin $\gamma = 2$ und $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig&rdquo; angezeigt wird?
+{Es sei weiterhin&nbsp; $\gamma = 2$ und&nbsp; $E_{\rm S}/N_0 = 10$. Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Fehler die Zusatzinformation &bdquo;unzuverlässig&rdquo; angezeigt wird?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}({\it \Gamma} = {\rm U\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm}Fehler}) \ = \ $ { 98 3% } $\ \%$

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:38 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 26. November 2017, 16:25 Uhr
(kein Unterschied)