Aufgaben:Aufgabe 4.5: Ortskurve bei ZSB-AM - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Mai 2021 um 12:44 Uhr

2021-05-11T12:44:25Z

Guenter am 7. Oktober 2019 um 16:41 Uhr

2019-10-07T16:41:03Z

Guenter am 7. Oktober 2019 um 16:30 Uhr

2019-10-07T16:30:30Z

Guenter am 26. Juli 2018 um 14:40 Uhr

2018-07-26T14:40:01Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:52Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 24. Januar 2018 um 15:10 Uhr

2018-01-24T15:10:27Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 14:52 Uhr

2018-01-24T14:52:58Z

Guenter am 24. Januar 2018 um 14:23 Uhr

2018-01-24T14:23:37Z

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2018-01-03T13:05:12Z

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2018-01-03T13:01:36Z

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 :$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)} $$
-dargestellt werden kann, wobei&nbsp; $a(t) ≥ 0$&nbsp; gelten soll. Für&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; ist der Wertebereich&nbsp; $–\pi < \phi(t) \leq +\pi$&nbsp; zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
+dargestellt werden kann, wobei&nbsp; $a(t) ≥ 0$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Für&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; ist der Wertebereich&nbsp; $–\pi < \phi(t) \leq +\pi$&nbsp; zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
 :$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo; überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo; überprüfen.
@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
+{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; im Frequenz– und Zeitbereich.&nbsp; Welchen Wert besitzt&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \ $  { 1 3% }  &nbsp;$\text{V}$
 $\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche Werte weist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 10 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/10$, &nbsp; &nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/4$, &nbsp; &nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}= 3T_0/4$&nbsp; und&nbsp; $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$ auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
+{Welche Werte weist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 10 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/10$, &nbsp; &nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/4$, &nbsp; &nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}= 3T_0/4$&nbsp; und&nbsp; $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$&nbsp; auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 2.176 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet die Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; im Zeitbereich? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
+{Wie lautet die Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; im Zeitbereich?&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 |type="{}"}
 $a(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 3 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $a(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Geben Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp;  im Zeitbereich allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
+{Geben Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp;  im Zeitbereich allgemein an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 |type="{}"}
 $\phi(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$

@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|frame|Ortskurve zur Zeit $t = 0$]]
+[[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|frame|Ortskurve zur Zeit&nbsp; $t = 0$]]
-'''(1)'''&nbsp; Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$ nach links, so liegen diese bei $-\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, $0$ und $+10 \ \text{kHz}$. <br>Die Gleichung $s_{\rm TP}(t)$ lautet mit $\omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}$:
+'''(1)'''&nbsp; Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um&nbsp; $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$&nbsp; nach links, so liegen diese bei&nbsp; $-\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+10 \ \text{kHz}$.
 :$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
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 '''(2)'''&nbsp; Obige Gleichung kann man nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] mit $T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ {\rm &micro;} \text{s}$ wie folgt umformen:
 :$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm
@@ Zeile 92: / Zeile 94: @@
 {t}/{T_0}) .$$
-Damit ist gezeigt, dass $s_{\rm TP}(t)$ für alle Zeiten $t$ reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:
+*Damit ist gezeigt, dass&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; reell ist.
 :$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
@@ Zeile 110: / Zeile 113: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Definitionsgemäß gilt $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:
 :$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25
@@ Zeile 118: / Zeile 122: @@
 :$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75
 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .$$
@@ Zeile 126: / Zeile 131: @@
 Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$
-Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten ${\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0$ ist, erhält man hieraus das Ergebnis:
+Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten&nbsp; ${\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0$&nbsp; ist, erhält man hieraus das Ergebnis:
-* Falls ${\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0$ gilt, ist die Phase ist $\phi(t) = 0$.
+* Falls&nbsp; ${\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0$&nbsp; gilt, ist die Phase&nbsp; $\phi(t) = 0$.
 * Dagegen gilt bei negativem Realteil: &nbsp; &nbsp; $\phi(t) = \pi$.
 Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: &nbsp; $0 \leq t \leq T_0$.
-*Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von $180^\circ$ vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0$.
+*Im Bereich zwischen&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; liegt eine Phase von&nbsp; $180^\circ$&nbsp; vor, ansonsten gilt&nbsp; $\text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0$.
-*Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:
+*Zur Berechung von&nbsp; $t_1$&nbsp; kann das Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; herangezogen werden:
 :$$\sin(2 \pi \cdot  {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
@@ Zeile 141: / Zeile 146: @@
 )$$
-*Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+*Daraus erhält man&nbsp; $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-*Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis: $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63  \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+*Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis:&nbsp; $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63  \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-Die gesuchten Werte sind somit $\phi(t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 0}$ und $\phi(t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi)$.
+Die gesuchten Werte sind somit:&nbsp;
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID751__Sig_A_4_5_neu.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
-Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]] (aber nicht das gleiche):
+Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]]&nbsp; (aber nicht das gleiche):
-* ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit Amplitude $A_{\rm N} = 2 \ \text{V}$  und  Frequenz $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$,
+* ein sinusförmiges Nachrichtensignal mit der Amplitude&nbsp; $A_{\rm N} = 2 \ \text{V}$&nbsp;  und der  Frequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \text{kHz}$,
-*ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$.
+*ZSB-Amplitudenmodulation ohne Trägerunterdrückung mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$.
-Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ .
+Nebenstehend sehen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals&nbsp; $s_+(t)$.
 Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 :$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)} $$
-dargestellt werden kann, wobei $a(t) ≥ 0$ gelten soll. Für $\phi(t)$ ist der Wertebereich $–\pi < \phi(t) \leq +\pi$ zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
+dargestellt werden kann, wobei&nbsp; $a(t) ≥ 0$&nbsp; gelten soll. Für&nbsp; $\phi(t)$&nbsp; ist der Wertebereich&nbsp; $–\pi < \phi(t) \leq +\pi$&nbsp; zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
 :$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm
 TP}(t)\big]}{{\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]]&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Ortskurve&rdquo; überprüfen.
@@ Zeile 34: / Zeile 37: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt $s_{\rm TP}(t)$ zum Startzeitpunkt $t = 0$?
+{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \ $  { 1 3% }  &nbsp;$\text{V}$
 $\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche Werte weist $s_{\rm TP}(t)$ zu den Zeitpunkten $t = 10 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/10$, &nbsp; &nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/4$, &nbsp; &nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}= 3T_0/4$ und $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$ auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
+{Welche Werte weist&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 10 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/10$, &nbsp; &nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/4$, &nbsp; &nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}= 3T_0/4$&nbsp; und&nbsp; $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$ auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 2.176 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 46: / Zeile 49: @@
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t)$? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$ und $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
+{Wie lautet die Betragsfunktion&nbsp; $a(t)$&nbsp; im Zeitbereich? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 |type="{}"}
 $a(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 3 3% } &nbsp;$\text{V}$
 $a(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Geben Sie die Phasenfunktion $\phi(t)$ allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$ und $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
+{Geben Sie die Phasenfunktion&nbsp; $\phi(t)$&nbsp;  im Zeitbereich allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$&nbsp; und&nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 |type="{}"}
 $\phi(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID751__Sig_A_4_5_neu.png|250px|right|frame|Gegebenes Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals]]
+[[Datei:P_ID751__Sig_A_4_5_neu.png|250px|right|frame|Spektrum des analytischen Signals]]
 Wir betrachten ein ähnliches Übertragungsszenario wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4]] (aber nicht das gleiche):
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 Berücksichtigen Sie bei der Lösung, dass das äquivalente Tiefpass-Signal auch in der Form
-:$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \phi(t)} $$
+:$$s_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)} $$
 dargestellt werden kann, wobei $a(t) ≥ 0$ gelten soll. Für $\phi(t)$ ist der Wertebereich $–\pi < \phi(t) \leq +\pi$ zulässig und es gilt die allgemeingültige Gleichung:
-:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm
+:$$\phi(t)= {\rm arctan} \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\big[s_{\rm
-TP}(t)\right]}{{\rm Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}.$$
+TP}(t)\big]}{{\rm Re}\big[s_{\rm TP}(t)\big]}.$$
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Ortskurve_–_Darstellung_des_äquivalenten_Tiefpass-Signals_(Applet)|Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Lösung mit dem interaktiven Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Ortskurve überprüfen.
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 $\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche Werte weist $s_{\rm TP}(t)$ zu den Zeitpunkten $t = T_0/10$, $T_0/4$, $3T_0/4$ und $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$ auf? Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
+{Welche Werte weist $s_{\rm TP}(t)$ zu den Zeitpunkten $t = 10 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/10$, &nbsp; &nbsp; $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}= T_0/4$, &nbsp; &nbsp; $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}= 3T_0/4$ und $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$ auf? <br>Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
 |type="{}"}
 $\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 2.176 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
 [[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|frame|Ortskurve zur Zeit $t = 0$]]
-'''(1)'''&nbsp; Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$ nach links, so liegen diese bei $–\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, $0$ und $+10 \ \text{kHz}$. Die Gleichung $s_{\rm TP}(t)$ lautet mit $\omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}$:
+'''(1)'''&nbsp; Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$ nach links, so liegen diese bei $-\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, $0$ und $+10 \ \text{kHz}$. <br>Die Gleichung $s_{\rm TP}(t)$ lautet mit $\omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}$:
 :$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
@@ Zeile 115: / Zeile 115: @@
 :$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75
 \hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .$$
 '''(4)'''&nbsp; Allgemein gilt für die Phasenfunktion:
@@ Zeile 124: / Zeile 125: @@
 Aufgrund der Tatsache, dass hier für alle Zeiten ${\rm Im}[s_{\rm TP}(t)] = 0$ ist, erhält man hieraus das Ergebnis:
 * Falls ${\rm Re}[s_{\rm TP}(t)] > 0$ gilt, ist die Phase ist $\phi(t) = 0$.
-* Dagegen gilt bei negativem Realteil: &nbsp; $\phi(t) = \pi$.
+* Dagegen gilt bei negativem Realteil: &nbsp; &nbsp; $\phi(t) = \pi$.
-Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: $0 \leq t \leq T_0$. Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von $180^\circ$ vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0$.
+Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: &nbsp; $0 \leq t \leq T_0$.
-Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:
+*Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:
 :$$\sin(2 \pi \cdot  {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
@@ Zeile 136: / Zeile 138: @@
 )$$
-Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm &micro;} \text{s}$. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis: $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63  \ {\rm &micro;} \text{s}$.
+*Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm &micro;} \text{s}$.
 Die gesuchten Werte sind somit $\phi(t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 0}$ und $\phi(t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi)$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul [[Ortskurve_–_Darstellung_des_äquivalenten_Tiefpass-Signals_(Applet)|Ortskurve – Darstellung des äquivalenten Tiefpass-Signals]] überprüfen.

@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|Ortskurve zur Zeit $t = 0$]]
+[[Datei:P_ID755__Sig_A_4_5_a_neu.png|250px|right|frame|Ortskurve zur Zeit $t = 0$]]
-'''1.''' Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$ nach links, so liegen diese bei $–\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, $0$ und $+10 \ \text{kHz}$. Die Gleichung $s_{\rm TP}(t)$ lautet mit $\omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}$:
+'''(1)'''&nbsp; Verschiebt man alle Diraclinien jeweils um $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$ nach links, so liegen diese bei $–\hspace{-0.08cm}10 \ \text{kHz}$, $0$ und $+10 \ \text{kHz}$. Die Gleichung $s_{\rm TP}(t)$ lautet mit $\omega_{10} = 2 \pi \cdot 10  \ \text{kHz}$:
-$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
+:$$s_{\rm TP}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}
 \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }+{\rm j}\cdot {\rm 1
@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 \omega_{\rm 10} \hspace{0.05cm} t }$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - {\rm j}\cdot {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} +{\rm j}\cdot {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}= {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V}.$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}},  \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= {+\rm 1 \hspace{0.05cm} V}},  \hspace{0.2cm}{\rm Im}[s_{\rm TP}(t = 0) ]  \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}
 .$$
-'''2.''' Obige Gleichung kann man nach dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] mit $T_0 = 1/f_{\rm N} = 100 \ \mu \text{s}$ wie folgt umformen:
-$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm
+:$$\frac{s_{\rm TP}(t)}{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}{\rm
 j}\cdot \cos({ \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  \sin({
 \omega_{\rm 10}\hspace{0.05cm} t }) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}{\rm j}\cdot \cos({
@@ Zeile 90: / Zeile 91: @@
 Damit ist gezeigt, dass $s_{\rm TP}(t)$ für alle Zeiten $t$ reell ist. Für die gesuchten Zahlenwerte erhält man:
-$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1
+:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 10 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot
-\sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 2.176 \hspace{0.05cm} V}}},$$
+\sin(36^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +2.176 \hspace{0.05cm} V}}},$$
-$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1
+:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot
-\sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 3 \hspace{0.05cm} V}}},$$
+\sin(90^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +3 \hspace{0.05cm} V}}},$$
-$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = {\rm 1
+:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = {\rm 1
 \hspace{0.05cm} V} \cdot \left[1+2 \cdot \sin(270^\circ)\right]\hspace{0.15 cm}\underline{=
 -{{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}},$$
-$$s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t =
+:$$s_{\rm TP}(t = {\rm 100 \hspace{0.1cm}{\rm &micro;} s}) = s_{\rm TP}(t =
-) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}}}.$$
+) \hspace{0.15 cm}\underline{={{\rm +1 \hspace{0.05cm} V}}}.$$
-'''3.''' Definitionsgemäß gilt $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:
+'''(3)'''&nbsp;  Definitionsgemäß gilt $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$. Damit erhält man folgende Zahlenwerte:
-$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.05cm} \mu s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25
+:$$a(t = {\rm 25 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = s_{\rm TP}(t = {\rm 25
-\hspace{0.05cm} \mu s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 3 \hspace{0.05cm} V}} ,
+\hspace{0.05cm}{\rm &micro;} s}) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +3 \hspace{0.05cm} V}} ,
 \hspace{4.15 cm}$$
-$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.05cm} \mu s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75
+:$$a(t = {\rm 75 \hspace{0.1cm} {\rm &micro;} s}) = |s_{\rm TP}(t = {\rm 75
-\hspace{0.05cm} \mu s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1 \hspace{0.05cm} V}} .$$
+\hspace{0.05cm} {\rm &micro;} s})| \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm +1 \hspace{0.05cm} V}} .$$
-'''4.''' Allgemein gilt für die Phasenfunktion:
+'''(4)'''&nbsp; Allgemein gilt für die Phasenfunktion:
-$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}
+:$$\phi(t)= {\rm arc} \left[s_{\rm TP}(t)\right]= {\rm arctan}
 \hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}{{\rm
 Re}\left[s_{\rm TP}(t)\right]}$$
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-Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: $0 \leq t \leq T_0$. Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von $180^\circ$ vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0$. Zur Berechung von $t_1$ kann das Ergebnis der Teilaufgabe (2) herangezogen werden:
+Wir beschränken uns hier auf den Zeitbereich einer Periode: $0 \leq t \leq T_0$. Im Bereich zwischen $t_1$ und $t_2$ liegt eine Phase von $180^\circ$ vor, ansonsten gilt $\text{Re}[s_{\rm TP}(t)] \geq 0$.
-$$\sin(2 \pi \cdot  {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
+:$$\sin(2 \pi \cdot  {t_1}/{T_0}) = -0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow
 \hspace{0.3cm} 2 \pi \cdot {t_1}/{T_0} = 2 \pi \cdot
 {7}/{12}\hspace{0.3cm}{\rm (entspricht}\hspace{0.2cm}210^\circ
 )$$
-Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ \mu \text{s}$. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis
+Daraus erhält man $t_1 = 7/12 · T_0 = 58.33 \ {\rm &micro;} \text{s}$. Durch ähnliche Überlegungen kommt man zum Ergebnis: $t_2 = 11/12 · T_0 = 91.63  \ {\rm &micro;} \text{s}$.
-Die gesuchten Werte sind somit $\phi(t = 25 \ \mu \text{s}) \; \underline { = 0}$ und
+Die gesuchten Werte sind somit $\phi(t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 0}$ und $\phi(t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}) \; \underline { = 180^{\circ}}\; (= \pi)$.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]]

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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt $s_{\rm TP}(t)$ zum Startzeitpunkt $t$ = 0?
+{Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass-Signal $s_{\rm TP}(t)$ im Frequenz– und Zeitbereich. Welchen Wert besitzt $s_{\rm TP}(t)$ zum Startzeitpunkt $t = 0$?
 |type="{}"}
-$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]$ &nbsp;= { 1 3% }  &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=0)]\ = \ $  { 1 3% }  &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]$ &nbsp;= { 0. } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Im}[s_{\text{TP}}(t=0 )]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Welche Werte weist $s_{\rm TP}(t)$ zu den Zeitpunkten $t = $T_0/10$, $T_0/4$, $3T_0/4$ und $T_0$ = 100 μs auf? Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
+{Welche Werte weist $s_{\rm TP}(t)$ zu den Zeitpunkten $t = T_0/10$, $T_0/4$, $3T_0/4$ und $T_0 = 100 \ {\rm &micro;}s$ auf? Zeigen Sie, dass alle Werte rein reell sind.
 |type="{}"}
-$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \mu \text{s})]$ &nbsp;= { 2.176 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=10 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 2.176 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \mu \text{s})] $ &nbsp;= { 3 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s})] \ = \ $ { 3 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \mu \text{s})]$ &nbsp;= { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { -1.03--0.97 } &nbsp;$\text{V}$
-$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \mu \text{s})]$ &nbsp;= { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$\text{Re}[s_{\text{TP}}(t=100 \ {\rm &micro;} \text{s})]\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t)$? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ \mu \text{s}$ und $t = 75 \ \mu \text{s}$?
+{Wie lautet die Betragsfunktion $a(t)$? Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$ und $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 |type="{}"}
-$a(t=25 \ \mu \text{s})$ &nbsp;= { 3 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$a(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 3 3% } &nbsp;$\text{V}$
-$a(t=75 \ \mu \text{s})$ &nbsp;= { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
+$a(t=75 \ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Geben Sie die Phasenfunktion $\phi(t)$ allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ \mu \text{s}$ und $t = 75 \ \mu \text{s}$?
+{Geben Sie die Phasenfunktion $\phi(t)$ allgemein an. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 25 \ {\rm &micro;} \text{s}$ und $t = 75 \ {\rm &micro;} \text{s}$?
 |type="{}"}
-$\phi(t=25 \ \mu \text{s}) =$ { 0. } Grad
+$\phi(t=25 \ {\rm &micro;} \text{s}) \ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{Grad}$
-$\phi(t=75\ \mu \text{s}) =$ { 180 1% } Grad
+$\phi(t=75\ {\rm &micro;} \text{s})\ = \ $ { 180 1% } &nbsp;$\text{Grad}$

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(kein Unterschied)