Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Zum Water–Filling–Algorithmus - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Oktober 2021 um 14:21 Uhr

2021-10-04T14:21:59Z

Guenter am 4. Oktober 2021 um 13:11 Uhr

2021-10-04T13:11:49Z

Guenter am 4. Oktober 2021 um 12:51 Uhr

2021-10-04T12:51:18Z

Guenter am 13. Februar 2020 um 13:28 Uhr

2020-02-13T13:28:31Z

Guenter am 13. Februar 2020 um 13:18 Uhr

2020-02-13T13:18:17Z

Guenter am 18. Oktober 2018 um 13:13 Uhr

2018-10-18T13:13:45Z

Guenter am 18. Oktober 2018 um 12:45 Uhr

2018-10-18T12:45:12Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:54Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.7Z Zum Water–Filling–Algorithmus nach Aufgaben:Aufgabe 4.7Z: Zum Water–Filling–Algorithmus

2018-01-03T14:12:08Z

Guenter verschob die Seite 4.7Z Zum Water–Filling–Algorithmus nach Aufgabe 4.7Z: Zum Water–Filling–Algorithmus

Guenter am 12. Juni 2017 um 15:27 Uhr

2017-06-12T15:27:25Z

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 \hspace{0.3cm}\underline{P_2 = 3.5}\hspace{0.05cm}.$$
-Für die&nbsp; &bdquo;Wasserstandshöhe&rdquo;&nbsp; gilt hier:&nbsp; $H= P_1 + \sigma_1^2= P_2 + \sigma_2^2 = 6.5.$
+Für die&nbsp; &bdquo;Wasserstandshöhe&rdquo;&nbsp; gilt hier:&nbsp;
@@ Zeile 127: / Zeile 128: @@
 :$${P_1 = 3}\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.3cm}{P_2 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hier gilt also für die&nbsp; &bdquo;Wasserstandshöhe&rdquo;:&nbsp; $H= 4= P_1 + \sigma_1^2= P_2 + \sigma_2^2= 3+1=0+4.$
+*Hier gilt also für die&nbsp; &bdquo;Wasserstandshöhe&rdquo;:&nbsp;
 *Damit erhält man für die Kanalkapazität:
 :$$C ={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3}{1} \right )

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Nach den Ausführungen im  Theorieteil ist &bdquo;Water&ndash;Filling&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen.
+*Nach den Ausführungen im  Theorieteil ist&nbsp; &bdquo;Water&ndash;Filling&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden,&nbsp; wenn ungleiche Bedingungen vorliegen.
-* Der <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist aber ebenfalls richtig: &nbsp; Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle&nbsp; $K$&nbsp; Kanäle mit gleicher Leistung &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$P_1 = P_2 =$&nbsp; ...&nbsp; $= P_K = P_X/K$&nbsp; zu versorgen.
+* Der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>&nbsp; ist aber ebenfalls richtig: &nbsp; Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen,&nbsp; alle&nbsp; $K$&nbsp; Kanäle mit gleicher Leistung &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$P_1 = P_2 =$&nbsp; ...&nbsp; $= P_K = P_X/K$&nbsp; zu versorgen.
@@ Zeile 92: / Zeile 92: @@
 [[Datei:P_ID2906__Inf_Z_4_7b_neu.png|right|frame|Bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung&nbsp; $P_X = 10$]]
 '''(3)'''&nbsp;  Entsprechend nebenstehender Skizze muss gelten:
-:$$P_2 = P_1 - (\sigma_2^2 - \sigma_1^2) = P_1 -3\hspace{0.3cm}\text{wobei }\hspace{0.3cm}P_1 + P_2 =  P_X = 10$$
+:$$P_2 = P_1 - (\sigma_2^2 - \sigma_1^2) = P_1 -3,\hspace{0.3cm}\text{wobei }\hspace{0.3cm}P_1 + P_2 =  P_X = 10$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 P_1 + (P_1 -3) = 10\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 \hspace{0.3cm}\underline{P_2 = 3.5}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Die Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation an.&nbsp; Das Maximum liegt durch die bestmögliche Leistungsaufteilung gemäß der Teilaufgabe '''(3)''' bereits fest.&nbsp;Für&nbsp; $P_X = 10$&nbsp; gilt:
 :$$C={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{6.5}{1} \right )
 +{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3.5}{4} \right )$$
@@ Zeile 123: / Zeile 127: @@
 :$${P_1 = 3}\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.3cm}{P_2 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
+*Hier gilt also für die&nbsp; &bdquo;Wasserstandshöhe&rdquo;:&nbsp; $H= 4= P_1 + \sigma_1^2= P_2 + \sigma_2^2= 3+1=0+4.$
 *Damit erhält man für die Kanalkapazität:
 :$$C ={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3}{1} \right )
@@ Zeile 130: / Zeile 134: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-''Weitere Anmerkungen'':
+Weitere Anmerkungen:
 *Während für&nbsp; $P_X = 10$&nbsp; die Differenz zwischen gleichmäßiger und bester Leistungsaufteilung nur&nbsp; $0.03$&nbsp; bit betragen hat, ist bei&nbsp; $P_X = 3$&nbsp; die Differenz größer, nämlich&nbsp;  $0.109$&nbsp; bit.
 *Bei noch größerem&nbsp; $P_X > 10$&nbsp; wird der Unterschied zwischen gleichmäßiger und bestmöglicher Leistungsaufteilung noch geringer.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID2903__Inf_T_4_2_S4d.png|right|frame|Water–Filling–Prinzip&nbsp; $(K = 4)$]]
-Wir betrachten&nbsp; $K$&nbsp; parallele Gaußsche Kanäle&nbsp; (AWGN)&nbsp; mit unterschiedlichen Störleistungen&nbsp; $\sigma_k^2$, wobei&nbsp;  $1 \le k \le K$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Die Grafik verdeutlicht diese Konstellation am Beispiel&nbsp; $K = 4$.
+Wir betrachten&nbsp; $K$&nbsp; parallele Gaußsche Kanäle&nbsp; $\rm (AWGN)$&nbsp; mit unterschiedlichen Störleistungen&nbsp; $\sigma_k^2$,&nbsp; wobei&nbsp;  $1 \le k \le K$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Die Grafik verdeutlicht diese Konstellation am Beispiel&nbsp; $K = 4$.
-Die Sendeleistung in den einzelnen Kanälen wird mit &nbsp;$P_k$&nbsp; bezeichnet, deren Summe den vorgegebenen Wert &nbsp;$P_X$&nbsp; nicht überschreiten darf:
+Die Sendeleistung in den einzelnen Kanälen wird mit &nbsp;$P_k$&nbsp; bezeichnet,&nbsp; deren Summe den vorgegebenen Wert &nbsp;$P_X$&nbsp; nicht überschreiten darf:
 :$$P_1 +\text{...}\hspace{0.05cm}+ P_K = \hspace{0.1cm} \sum_{k= 1}^K
   \hspace{0.1cm}{\rm E} \left [ X_k^2\right ] \le P_{X} \hspace{0.05cm}.$$
-Sind die Zufallsgrößen &nbsp;$X_1$, ... , $X_K$&nbsp; gaußisch, so kann für die (gesamte) Transinformation zwischen dem Eingang &nbsp;$X$&nbsp; und dem Ausgang &nbsp;$Y$&nbsp; geschrieben werden:
+Sind die Zufallsgrößen &nbsp;$X_1$, ... , $X_K$&nbsp; gaußisch,&nbsp; so kann für die (gesamte) Transinformation zwischen dem Eingang &nbsp;$X$&nbsp; und dem Ausgang &nbsp;$Y$&nbsp; geschrieben werden:
 :$$I(X_1,\text{...} \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, \text{...}\hspace{0.05cm}, Y_K)
 =  1/2 \cdot \sum_{k= 1}^K  \hspace{0.1cm} {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_k}{\sigma_k^2})\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Das Maximum hierfür ist die Kanalkapazität des Gesamtsystems, wobei sich die Maximierung auf die Aufteilung der Gesamtleistung &nbsp;$P_X$&nbsp; auf die einzelnen Kanäle bezieht:
+Das Maximum hierfür ist die Kanalkapazität des Gesamtsystems,&nbsp; wobei sich die Maximierung auf die Aufteilung der Gesamtleistung &nbsp;$P_X$&nbsp; auf die einzelnen Kanäle bezieht:
 :$$C_K(P_X) = \max_{P_k\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = P_X} \hspace{-0.5cm} I(X_1, \text{...} \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, \text{...}\hspace{0.05cm}, Y_K) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Maximierung kann mit dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus geschehen, der in obiger Grafik für&nbsp; $K = 4$&nbsp; dargestellt ist.
+Diese Maximierung kann mit dem so genannten&nbsp; "Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus"&nbsp; geschehen,&nbsp; der in obiger Grafik für&nbsp; $K = 4$&nbsp; dargestellt ist.
-In der vorliegenden Aufgabe soll dieser Algorithmus angewendet werden, wobei von folgenden Voraussetzungen auszugehen ist:
+In der vorliegenden Aufgabe soll dieser Algorithmus angewendet werden,&nbsp; wobei von folgenden Voraussetzungen auszugehen ist:
 * Zwei parallele Gaußkanäle &nbsp; &#8658; &nbsp; $K = 2$,
-* Normierte Störleistungen &nbsp; $\sigma_1^2 = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_2^2 = 4$,
+* Normierte Störleistungen &nbsp; $\sigma_1^2 = 1$ &nbsp; und &nbsp; $\sigma_2^2 = 4$,
-*Normierte Sendeleistungen &nbsp; $P_X = 10$&nbsp; bzw.&nbsp; $P_X = 3$.
+*Normierte Sendeleistungen &nbsp; $P_X = 10$ &nbsp; bzw. &nbsp; $P_X = 3$.
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
-{Welche Transinformation ergibt sich, wenn man die Sendeleistung &nbsp;$P_X = 10$&nbsp; gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt &nbsp;  $(P_1= P_2 = 5)$?
+{Welche Transinformation ergibt sich,&nbsp; wenn man die Sendeleistung &nbsp;$P_X = 10$&nbsp; gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt &nbsp;  $(P_1= P_2 = 5)$?
 |type="{}"}
 $I(X_1, X_2; Y_1, Y_2) \ = \ $ { 1.877 3% } $\ \rm bit$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
-{Welche Transinformation ergibt sich, wenn man die Sendeleistung&nbsp; $P_X = 3$&nbsp; gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt &nbsp; $(P_1= P_2 = 1.5)$?
+{Welche Transinformation ergibt sich,&nbsp; wenn man die Sendeleistung&nbsp; $P_X = 3$&nbsp; gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt &nbsp; $(P_1= P_2 = 1.5)$?
 |type="{}"}
 $I(X_1, X_2; Y_1, Y_2) \ = \ $ { 0.891 3% }$\ \rm bit$

@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Nach den Ausführungen im  Theorieteil ist die Strategie &bdquo;Water&ndash;Filling&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen.
+*Nach den Ausführungen im  Theorieteil ist &bdquo;Water&ndash;Filling&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen.
-* Der <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist aber ebenfalls richtig: &nbsp; Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle $K$ Kanäle mit gleicher Leistung &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$P_1 = P_2 =$ ... $= P_K = P_X/K$&nbsp; zu versorgen.
+* Der <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist aber ebenfalls richtig: &nbsp; Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle&nbsp; $K$&nbsp; Kanäle mit gleicher Leistung &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$P_1 = P_2 =$&nbsp; ...&nbsp; $= P_K = P_X/K$&nbsp; zu versorgen.
@@ Zeile 88: / Zeile 89: @@
 [[Datei:P_ID2906__Inf_Z_4_7b_neu.png|right|frame|Bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung $P_X = 10$]]
 '''(3)'''&nbsp;  Entsprechend nebenstehender Skizze muss gelten:
 :$$P_2 = P_1 - (\sigma_2^2 - \sigma_1^2) = P_1 -3\hspace{0.3cm}\text{wobei }\hspace{0.3cm}P_1 + P_2 =  P_X = 10$$
@@ Zeile 99: / Zeile 101: @@
 '''(4)'''&nbsp;  Die Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation an. Das Maximum liegt durch die bestmögliche Leistungsaufteilung gemäß der Teilaufgabe '''(3)''' bereits fest. $P_X = 10$ gilt:
 :$$C={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{6.5}{1} \right )
 +{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3.5}{4} \right )$$
@@ Zeile 107: / Zeile 110: @@
 '''(5)'''&nbsp;  Für $P_X = 3$  erhält man bei gleicher Leistungsaufteilung $(P_1 = P_2 =1.5)$:
 :$$I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) ={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{1} \right )
 +{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{4} \right )
@@ Zeile 114: / Zeile 118: @@
 [[Datei:P_ID2907__Inf_Z_4_7e_neu.png|right|frame|Bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung $P_X = 3$]]
-'''(6)'''&nbsp;  Entsprechend dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus wird die gesamte zur Verfügung stehende Sendeleistung $P_X = 3$ nun vollständig dem ersten Kanal zugewiesen:
+[[Datei:P_ID2907__Inf_Z_4_7e_neu.png|right|frame|Bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung&nbsp; $P_X = 3$]]
 :$${P_1 = 3}\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.3cm}{P_2 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für die Kanalkapazität:
+*Damit erhält man für die Kanalkapazität:
 :$$C ={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3}{1} \right )
 +{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{0}{4} \right )=1\,{\rm bit}+ 0\,{\rm bit}
@@ Zeile 126: / Zeile 131: @@
 ''Weitere Anmerkungen'':
-*Während für $P_X = 10$ die Differenz zwischen gleichmäßiger und bester Leistungsaufteilung nur $0.03$ bit betragen hat, ist bei $P_X = 3$ die Differenz größer, nämlich  $0.109$ bit.
+*Während für&nbsp; $P_X = 10$&nbsp; die Differenz zwischen gleichmäßiger und bester Leistungsaufteilung nur&nbsp; $0.03$&nbsp; bit betragen hat, ist bei&nbsp; $P_X = 3$&nbsp; die Differenz größer, nämlich&nbsp;  $0.109$&nbsp; bit.
-*Bei noch größerem $P_X > 10$ wird der Unterschied zwischen gleichmäßiger und bestmöglicher Leistungsaufteilung noch geringer.
+*Bei noch größerem&nbsp; $P_X > 10$&nbsp; wird der Unterschied zwischen gleichmäßiger und bestmöglicher Leistungsaufteilung noch geringer.
-Zum Beispiel beträgt die Differenz für $P_X = 100$ nur noch $0.001$ bit, wie die folgende Rechnung zeigt:
+Zum Beispiel beträgt die Differenz für&nbsp; $P_X = 100$&nbsp; nur noch&nbsp; $0.001$&nbsp; bit, wie die folgende Rechnung zeigt:
-*Für $P_1 = P_2 = 50$ erhält man:
+*Für&nbsp; $P_1 = P_2 = 50$&nbsp; erhält man:
 :$$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{50}{1} \right )
 +{1}/{2}\cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{50}{4} \right )= 2.836\,{\rm bit}+ 1.877\,{\rm bit}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2903__Inf_T_4_2_S4d.png|right|frame|Water–Filling–Prinzip $(K = 4)$]]
+[[Datei:P_ID2903__Inf_T_4_2_S4d.png|right|frame|Water–Filling–Prinzip&nbsp; $(K = 4)$]]
-Wir betrachten $K$ parallele Gaußsche Kanäle (AWGN) mit unterschiedlichen Störleistungen $\sigma_k^2$, wobei  $1 \le k \le K$ gelten soll. Die Grafik verdeutlicht diese Konstellation am Beispiel $K = 4$.
+Wir betrachten&nbsp; $K$&nbsp; parallele Gaußsche Kanäle&nbsp; (AWGN)&nbsp; mit unterschiedlichen Störleistungen&nbsp; $\sigma_k^2$, wobei&nbsp;  $1 \le k \le K$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Die Grafik verdeutlicht diese Konstellation am Beispiel&nbsp; $K = 4$.
 Die Sendeleistung in den einzelnen Kanälen wird mit &nbsp;$P_k$&nbsp; bezeichnet, deren Summe den vorgegebenen Wert &nbsp;$P_X$&nbsp; nicht überschreiten darf:
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 :$$C_K(P_X) = \max_{P_k\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm}P_1 + ... \hspace{0.05cm}+ P_K = P_X} \hspace{-0.5cm} I(X_1, \text{...} \hspace{0.05cm}, X_K\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1, \text{...}\hspace{0.05cm}, Y_K) \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Maximierung kann mit dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus geschehen, der in obiger Grafik für $K = 4$ dargestellt ist.
+Diese Maximierung kann mit dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus geschehen, der in obiger Grafik für&nbsp; $K = 4$&nbsp; dargestellt ist.
 In der vorliegenden Aufgabe soll dieser Algorithmus angewendet werden, wobei von folgenden Voraussetzungen auszugehen ist:
 * Zwei parallele Gaußkanäle &nbsp; &#8658; &nbsp; $K = 2$,
-* Normierte Störleistungen &nbsp; $\sigma_1^2 = 1$ und $\sigma_2^2 = 4$,
+* Normierte Störleistungen &nbsp; $\sigma_1^2 = 1$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_2^2 = 4$,
-*Normierte Sendeleistungen &nbsp; $P_X = 10$ bzw. $P_X = 3$.
+*Normierte Sendeleistungen &nbsp; $P_X = 10$&nbsp; bzw.&nbsp; $P_X = 3$.
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le|Parallele Gaußkanäle]].
-*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  der Logarithmus zur Basis $2$ verwendet: &nbsp; $\log_2$.
+*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  der Logarithmus zur Basis&nbsp; $2$&nbsp; verwendet: &nbsp; $\log_2$.
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 {Welche Strategien der Leistungszuteilung sind sinnvoll?
 |type="[]"}
-- Einem stark gestörten Kanal $k$ (mit großer Störleistung  $\sigma_k^2$)&nbsp; sollte eine große Nutzleistung $P_k$ zugewiesen werden.
+- Einem stark gestörten Kanal&nbsp; $k$&nbsp; $($mit großer Störleistung&nbsp;  $\sigma_k^2)$&nbsp; sollte eine große Nutzleistung&nbsp; $P_k$&nbsp; zugewiesen werden.
-+ Einem stark gestörten Kanal $k$ (mit großer Störleistung $\sigma_k^2$)&nbsp;  sollte nur eine kleine Nutzleistung $P_k$ zugewiesen werden.
++ Einem stark gestörten Kanal&nbsp; $k$&nbsp; $($mit großer Störleistung&nbsp;  $\sigma_k^2)$&nbsp;  sollte nur eine kleine Nutzleistung&nbsp; $P_k$&nbsp; zugewiesen werden.
-+ Bei gleich guten Kanälen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma_1^2 = \text{...} = \sigma_K^2 = \sigma_N^2$ sollte die Leistung gleichmäßig verteilt werden.
++ Bei gleich guten Kanälen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma_1^2 = \text{...} = \sigma_K^2 = \sigma_N^2$&nbsp; $k$&nbsp; sollte die Leistung&nbsp; $P_k$&nbsp; gleichmäßig verteilt werden.
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
-{Es gelte weiter $P_X = P_1 + P_2 = 10$. Welche optimale Leistungsaufteilung ergibt sich nach dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus?
+{Es gelte weiter&nbsp; $P_X = P_1 + P_2 = 10$.&nbsp; Welche optimale Leistungsaufteilung ergibt sich nach dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus?
 |type="{}"}
 $P_1  \ = \ $ { 6.5 3% }
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
-{Wie groß ist die Kanalkapazität für $\underline{K = 2}$ und $\underline{P_X = 10}$?
+{Wie groß ist die Kanalkapazität für&nbsp; $\underline{K = 2}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{P_X = 10}$?
 |type="{}"}
 $C  \ = \ $ { 1.907 3% } $\ \rm bit$
-{Welche Transinformation ergibt sich, wenn man die Sendeleistung $P_X = 3$ gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt &nbsp; $(P_1= P_2 = 1.5)$?
+{Welche Transinformation ergibt sich, wenn man die Sendeleistung&nbsp; $P_X = 3$&nbsp; gleichmäßig auf beide Kanäle verteilt &nbsp; $(P_1= P_2 = 1.5)$?
 |type="{}"}
 $I(X_1, X_2; Y_1, Y_2) \ = \ $ { 0.891 3% }$\ \rm bit$
-{Wie groß ist die Kanalkapazität für $\underline{K = 2}$ und $\underline{P_X = 3}$?
+{Wie groß ist die Kanalkapazität für&nbsp; $\underline{K = 2}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{P_X = 3}$?
 |type="{}"}
 $C  \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm bit$

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le|Parallele Gaußkanäle]].
 *Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 14:12 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Nach den Ausführungen im  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le |'''im Theorieteil''']] ist die Strategie &bdquo;Water&ndash;Filling&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Vorschlag 2</u> anzuwenden, wenn ungleiche Bedingungen vorliegen. <u>Lösungsvorschlag 3</u> ist aber ebenfalls richtig: Bei gleich guten Kanälen spricht nichts dagegen, alle <i>K</i> Kanäle mit der gleichen Leistung <i>P</i><sub>1</sub> = ... = <i>P<sub>K</sub></i> = <i>P<sub>X</sub></i>/<i>K</i> zu versorgen.
+'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-'''2.'''  Für die Transinformation gilt bei gleicher Leistungsaufteilung:
-$$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) \ =  \ \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{1} \right )
+'''(2)'''&nbsp;  Für die Transinformation gilt bei gleicher Leistungsaufteilung:
-+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{4} \right )=\\$$$$\hspace{-0.15cm} 1.292\,{\rm bit}+ 0.585\,{\rm bit}
+:$$I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) \ =  \ {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{5}{1} \right )
 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.877\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2906__Inf_Z_4_7b_neu.png|right|frame|Leistungsaufteilung für <i>P<sub>X</sub></i> = 10]]
+[[Datei:P_ID2906__Inf_Z_4_7b_neu.png|right|frame|Bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung <i>P<sub>X</sub></i> = 10]]
-'''3.'''   Entsprechend nebenstehender Skizze muss gelten:
+'''(3)'''&nbsp;  Entsprechend nebenstehender Skizze muss gelten:
+:$$P_2 = P_1 - (\sigma_2^2 - \sigma_1^2) = P_1 -3\hspace{0.3cm}\text{wobei }\hspace{0.3cm}P_1 + P_2 =  P_X = 10$$
-$$P_2 \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} P_1 - (\sigma_2^2 - \sigma_1^2) = P_1 -3\hspace{0.05cm},$$$$P_1 + P_2 \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}  P_X = 10$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+P_1 + (P_1 -3) = 10\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
-P_1 + (P_1 -3) = 10
+\cdot P_1 = 13 \hspace{0.3cm}
-\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \underline{P_1 = 6.5}\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.3cm}\underline{P_2 = 3.5}\hspace{0.05cm}.$$
-'''4.'''  Die Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation an. Das Maximum liegt durch die bestmögliche Leistungsaufteilung gemäß der Teilaufgabe (c) bereits fest. Es gilt <i>P<sub>X</sub></i> = 10:
-$$C_2\hspace{-0.15cm}   =  \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{6.5}{1} \right )
+'''(4)'''&nbsp;  Die Kanalkapazität gibt die maximale Transinformation an. Das Maximum liegt durch die bestmögliche Leistungsaufteilung gemäß der Teilaufgabe (c) bereits fest. Mit <i>P<sub>X</sub></i> = 10 gilt:
-+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3.5}{4} \right )=\\
+:$$C_2={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{6.5}{1} \right )
- =  \hspace{-0.15cm} 1.453\,{\rm bit}+ 0.453\,{\rm bit}
++{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3.5}{4} \right )=1.453\,{\rm bit}+ 0.453\,{\rm bit}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.906\,{\rm bit}}
-\hspace{0.05cm}$$.
+\hspace{0.05cm}.$$
-'''5.'''  Für <i>P<sub>X</sub></i> = 3  erhält man bei gleicher Leistungsaufteilung (<i>P</i><sub>1</sub> = <i>P</i><sub>2</sub> = 1.5):
+'''(5)'''&nbsp;  Für <i>P<sub>X</sub></i> = 3  erhält man bei gleicher Leistungsaufteilung (<i>P</i><sub>1</sub> = <i>P</i><sub>2</sub> = 1.5):
-$$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{1} \right )
+:$$I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) ={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{1} \right )
-+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{4} \right )=\\
++{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{1.5}{4} \right )= \text{...}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.891\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2907__Inf_Z_4_7e_neu.png|right|frame|Leistungsaufteilung für <i>P<sub>X</sub></i> = 3]]
+[[Datei:P_ID2907__Inf_Z_4_7e_neu.png|right|frame|Bestmögliche Aufteilung der Sendeleistung <i>P<sub>X</sub></i> = 3]]
-Entsprechend dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus wird die gesamte zur Verfügung stehende Sendeleistung <i>P<sub>X</sub></i> = 3 nun dem ersten Kanal zugewiesen:
+'''(6)'''&nbsp;  Entsprechend dem Water&ndash;Filling&ndash;Algorithmus wird die gesamte zur Verfügung stehende Sendeleistung <i>P<sub>X</sub></i> = 3 nun vollständig dem ersten Kanal zugewiesen:
-$${P_1 = 3}\hspace{0.05cm},
+:$${P_1 = 3}\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.3cm}{P_2 = 0}\hspace{0.05cm}.$$
 Damit erhält man für die Kanalkapazität:
-$$C_2 \hspace{-0.15cm}   =  \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3}{1} \right )
+:$$C_2 ={1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{3}{1} \right )
-+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{0}{4} \right )=\\
++{1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{0}{4} \right )=1\,{\rm bit}+ 0\,{\rm bit}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 1\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-Während für <i>P<sub>X</sub></i> = 10 die Differenz zwischen gleichmäßiger und bester Leistungsaufteilung nur 0.03 bit betragen hat, ist bei <i>P<sub>X</sub></i> = 3 die Differenz größer, nämlich  0.109 bit. Bei noch größerem <i>P<sub>X</sub></i> > 10 wird der Abstand zwischen gleichmäßiger und bestmöglicher Leistungsaufteilung noch geringer: Zum Beispiel beträgt die Differenz für <i>P<sub>X</sub></i> = 100 nur noch 0.001 bit:
-:*<i>P</i><sub>1</sub> = <i>P</i><sub>2</sub> = 50:
+''Weitere Anmerkungen'':
-$$I = I(X_1, X_2\hspace{0.05cm};\hspace{0.05cm}Y_1,  Y_2) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{50}{1} \right )
+*Während für <i>P<sub>X</sub></i> = 10 die Differenz zwischen gleichmäßiger und bester Leistungsaufteilung nur 0.03 bit betragen hat, ist bei <i>P<sub>X</sub></i> = 3 die Differenz größer, nämlich  0.109 bit.
-+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{50}{4} \right )=\\
+*Bei noch größerem <i>P<sub>X</sub></i> > 10 wird der Abstand zwischen gleichmäßiger und bestmöglicher Leistungsaufteilung noch geringer.
-  =  \hspace{-0.15cm} 2.836\,{\rm bit}+ 1.877\,{\rm bit}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 4.713\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-:*<i>P</i><sub>1</sub> = 51.5, <i>P</i><sub>2</sub> = 48.5:
+*Dagegen erhält man bei bestmöglicher Aufteilung &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>P</i><sub>1</sub> = 51.5, <i>P</i><sub>2</sub> = 48.5:
-$$C_2\hspace{-0.15cm}   =  \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{51.5}{1} \right )
+:$$C_2 = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{51.5}{1} \right )
-+\frac{1}{2} \cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{48.5}{4} \right )=\\
++{1}/{2}\cdot  {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{48.5}{4} \right )= 2.857\,{\rm bit}+ 1.857\,{\rm bit}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 4.714\,{\rm bit}}
 \hspace{0.05cm}.$$