Aufgaben:Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation - Versionsgeschichte

Guenter am 4. November 2021 um 13:44 Uhr

2021-11-04T13:44:14Z

Guenter am 4. November 2021 um 11:55 Uhr

2021-11-04T11:55:58Z

Guenter am 4. November 2021 um 11:38 Uhr

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Guenter am 4. November 2021 um 11:37 Uhr

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Guenter am 19. Februar 2020 um 10:07 Uhr

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Guenter am 19. Februar 2020 um 09:11 Uhr

2020-02-19T09:11:55Z

Guenter am 19. Februar 2020 um 09:05 Uhr

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Guenter am 19. Februar 2020 um 09:03 Uhr

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Guenter am 20. Oktober 2018 um 14:48 Uhr

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Guenter am 20. Oktober 2018 um 13:46 Uhr

2018-10-20T13:46:04Z

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 :$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \   C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
 *Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall&nbsp; "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"&nbsp; mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
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 *Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen,&nbsp; so wäre auch die Aussage 3 richtig.
 *Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.
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 *Die Aussagen gelten auch, wenn  Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Wertenicht zu unterscheiden sind.
 *Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$.&nbsp; <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK.&nbsp; $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
-*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 bit/Kanalzugriff$&rdquo;.
+*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 \ bit/Kanalzugriff$&rdquo;.&nbsp; Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve,&nbsp; da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.&nbsp; Die Bezeichnungen &nbsp;$C_2$&nbsp; und &nbsp;$C_3$&nbsp; beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
 [[Datei:P_ID2954__Inf_A_4_9e.png|right|frame|Kanalkapazitätsgrenzen für <br>BPSK, 4–ASK und 8–ASK]]
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
+<br><br>
 *Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
 *Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit&nbsp; $K = 2$&nbsp; Dimensionen &ndash;  liegt für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve &nbsp; &rArr; &nbsp; die Antwort 3 ist falsch.
@@ Zeile 113: / Zeile 105: @@
 In der Grafik sind auch die beiden 8&ndash;ASK&ndash;Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.
-* Der violette Punkt liegt über der Kurve &nbsp;$C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht aus, um die  8&ndash;ASK  fehlerfrei decodieren zu können &nbsp; &#8658; &nbsp; $R > C$ &nbsp; &#8658; &nbsp; das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  Antwort 4 ist falsch.
+* Der violette Punkt liegt über der &nbsp;$C_{\rm 8&ndash;ASK}$.&nbsp; $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$&nbsp; reichen nicht, um die  8&ndash;ASK  fehlerfrei zu decodieren &nbsp; &#8658; &nbsp; $R > C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  Antwort 4 ist falsch.
-* Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8&ndash;ASK}$, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   &nbsp; &#8658; &nbsp; Antwort 5 ist richtig.
+* Reduziert man aber die Coderate bei gleichem&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$&nbsp; auf&nbsp; $R = 2 < C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  gelber Punkt,&nbsp; so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   &nbsp; &#8658; &nbsp; Antwort 5 ist richtig.
 {{ML-Fuß}}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658; &nbsp; $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>,&nbsp; wie die Rechnung für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658; &nbsp; $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$&nbsp; zeigt:
 :$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +   2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
 *Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
 :$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +   31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \   C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
+*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall&nbsp; "Zweier unabhängiger Gaußkanäle"&nbsp; mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
+*Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen,&nbsp; so wäre auch die Aussage 3 richtig.
-*Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$&nbsp;.
+*Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
-*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp;, aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$.
+*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$,&nbsp; aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$.
-*Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
+*Die Aussagen gelten auch, wenn  Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Wertenicht zu unterscheiden sind.
-*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$.
+*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$.&nbsp; <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK.&nbsp; $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
-*Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK.&nbsp; $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
+*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;$\rm 2 bit/Kanalzugriff$&rdquo;.
-*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff&rdquo;.&nbsp; Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve, da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.
+*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 bit/Kanalzugriff$&rdquo;.&nbsp; Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve, da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
 *Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen,&nbsp; wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
 *Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.

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 Die Grafik zeigt  AWGN&ndash;Kanalkapazitätskurven über der Abszisse&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:
 * $C_\text{Gauß}$:&nbsp; &nbsp; Shannonsche Grenzkurve,
-* $C_\text{BPSK}$:&nbsp; &nbsp; gültig für ''Binary Phase Shift Keying''.
+* $C_\text{BPSK}$:&nbsp; &nbsp; gültig für&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
-*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
+*Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen,&nbsp; wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
-*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:
+*Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.
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 [[Datei:P_ID2953__Inf_A_4_9_Zusatz.png|right|frame|Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen]]
-''Anmerkungen zur Nomenklatur'':
+'''Anmerkungen zur Nomenklatur''':
-*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK&rdquo; auch mit &bdquo;2&ndash;ASK&rdquo; bezeichnet
+*In der Literatur wird manchmal die &bdquo;BPSK&rdquo; auch mit &bdquo;2&ndash;ASK&rdquo; bezeichnet:
 :$$x &#8712; X = \{+1,\ -1\}.$$
-*Dagegen verstehen wir in unserem Lerntutorial $\rm LNTwww$ als &bdquo;ASK&rdquo; den unipolaren Fall
+*Dagegen verstehen wir hier als &bdquo;ASK&rdquo; den unipolaren Fall:
 :$$x &#8712; X = \{0,\ 1 \}.$$
 *Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:
-:$$C_\text{AK} < C_\text{BPSK}$$
+:$$C_\text{ASK} < C_\text{BPSK}.$$
-Dieser Sachverhalt ist unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.
+:Dieser Sachverhalt ist allerdings unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.
@@ Zeile 43: / Zeile 41: @@
 {Welche Gleichung liegt der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$&nbsp; zugrunde?
 |type="[]"}
-- Es gilt &nbsp; $C_{\rm Gauß}  = C_1= {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ ,
+- Es gilt &nbsp; $C_{\rm Gauß}  = C_1= {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$,
-+ Es gilt &nbsp; $C_{\rm Gauß}  = C_2= {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$ ,
++ Es gilt &nbsp; $C_{\rm Gauß}  = C_2= {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot E_{\rm S}/{N_0})$,
-- Es gilt &nbsp; $C_{\rm Gauß}  = C_3=   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$ .
+- Es gilt &nbsp; $C_{\rm Gauß}  = C_3=   {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$.
-{Welche Aussagen treffen für die grüne Kurve &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp; zu?
+{Welche Aussagen treffen für die grüne  &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&ndash;Kurve zu?
 |type="[]"}
 + $C_{\rm BPSK}$&nbsp; kann nicht in geschlossener Form angegeben werden.
-+ $C_{\rm BPSK}$&nbsp; ist größer als Null, wenn &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0} > 0$&nbsp; vorausgesetzt wird.
++ $C_{\rm BPSK}$&nbsp; ist größer als Null,&nbsp; wenn &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0} > 0$&nbsp; vorausgesetzt wird.
 - Für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; ist &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$.
 + Im gesamten Bereich gilt &nbsp;$C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.
@@ Zeile 64: / Zeile 62: @@
-{Welche Aussagen treffen für die braune Kurve &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; zu? &nbsp;($p_{\rm B}$: &nbsp; Bitfehlerwahrscheinlichkeit)
+{Welche Aussagen treffen für die braune Kurve &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; zu? <br>Hinweis:&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; bezeichnet hierbei die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
 |type="[]"}
 + Für die zugehörige Zufallsgröße &nbsp;$X$&nbsp; gilt &nbsp;$M_X = |X| = 8$.

@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658; &nbsp; $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:
 :$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +   2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
-Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
+*Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
 :$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +   31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \  =  \   C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
-Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
+*Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall ''Zweier unabhängiger Gaußkanäle'' mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
@@ Zeile 89: / Zeile 91: @@
 *Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
 *Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$&nbsp;.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
-*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp;, aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$&nbsp;.
+*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp;, aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$.
 *Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
-*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$&nbsp;.
+*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$.
-*Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK. $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
+*Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK.&nbsp; $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
-*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff&rdquo;. Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve, da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.
+*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff&rdquo;.&nbsp; Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve, da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.
@@ Zeile 106: / Zeile 111: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
 *Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
-*Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit $K = 2$ Dimensionen &ndash;  liegt für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve &nbsp; &rArr; &nbsp;die Antwort 3 ist falsch.
+*Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit&nbsp; $K = 2$&nbsp; Dimensionen &ndash;  liegt für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve &nbsp; &rArr; &nbsp; die Antwort 3 ist falsch.

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax130-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax131-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax82-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F|Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]].
 *Da die Ergebnisse in &bdquo;bit&rdquo; angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen  &bdquo;log&rdquo; &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo; verwendet.
 *Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben:
@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 + $C_{\rm braun}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8&ndash;ASK.
 - $C_{\rm braun}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8&ndash;PSK.
-- $p_{\rm B} &equiv; 0$ ist mit 8&ndash;ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
+- $p_{\rm B} &equiv; 0$&nbsp; ist mit 8&ndash;ASK,&nbsp; $R = 2.5$&nbsp; und&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$&nbsp; möglich.
-+ $p_{\rm B} &equiv; 0$ ist mit 8&ndash;ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
++ $p_{\rm B} &equiv; 0$&nbsp; ist mit 8&ndash;ASK,&nbsp; $R = 2$&nbsp; und&nbsp; $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$&nbsp; möglich.

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-Die beiden weiteren Kurvenverläufe &nbsp;$C_\text{Rot}$&nbsp; und &nbsp;$C_\text{Braun}$&nbsp; sollen in den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.
+Die beiden weiteren Kurvenverläufe &nbsp;$C_\text{rot}$&nbsp; und &nbsp;$C_\text{braun}$&nbsp; sollen in den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.
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 + Im gesamten Bereich gilt &nbsp;$C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $.
-{Welche Aussagen treffen für die rote Kurve &nbsp;$C_{\rm Rot}$&nbsp; zu?
+{Welche Aussagen treffen für die rote Kurve &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 - Für die zugehörige Zufallsgröße &nbsp;$X$&nbsp; gilt &nbsp;$M_X = |X| = 2$.
 + Für die zugehörige Zufallsgröße &nbsp;$X$&nbsp; gilt &nbsp;$M_X = |X| = 4$.
-+ $C_{\rm Rot}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4&ndash;ASK.
++ $C_{\rm rot}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4&ndash;ASK.
-- $C_{\rm Rot}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4&ndash;QAM.
+- $C_{\rm rot}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4&ndash;QAM.
-+ Für alle &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0} > 0$&nbsp; liegt &nbsp;$C_{\rm Rot}$&nbsp; zwischen &bdquo;grün&rdquo; und &bdquo;braun&rdquo;.
++ Für alle &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0} > 0$&nbsp; liegt &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; zwischen &bdquo;grün&rdquo; und &bdquo;braun&rdquo;.
-{Welche Aussagen treffen für die braune Kurve &nbsp;$C_{\rm Braun}$&nbsp; zu?
+{Welche Aussagen treffen für die braune Kurve &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; zu? &nbsp;($p_{\rm B}$: &nbsp; Bitfehlerwahrscheinlichkeit)
 |type="[]"}
 + Für die zugehörige Zufallsgröße &nbsp;$X$&nbsp; gilt &nbsp;$M_X = |X| = 8$.
-+ $C_{\rm Braun}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8&ndash;ASK.
++ $C_{\rm braun}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8&ndash;ASK.
-- $C_{\rm Braun}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8&ndash;PSK.
+- $C_{\rm braun}$&nbsp; ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8&ndash;PSK.
 - $p_{\rm B} &equiv; 0$ ist mit 8&ndash;ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
 + $p_{\rm B} &equiv; 0$ ist mit 8&ndash;ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für 10&nbsp;&middot;&nbsp;lg&nbsp;(<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>)&nbsp;=&nbsp;15&nbsp;dB&nbsp;&#8658;&nbsp;<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;31.62 zeigt:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658; &nbsp; $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:
 :$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 +   2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
 Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
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 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Würde man <i>E</i><sub>S</sub> durch <i>E</i><sub>B</sub> ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
+*Würde man &nbsp;$E_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
-*Für <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> < ln 2 gilt nämlich <i>C</i><sub>Gauß</sub> &equiv; 0 und damit auch <i>C</i><sub>BPSK</sub> &equiv; 0.
+*Für &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$&nbsp; gilt nämlich &nbsp;$C_{\rm Gauß} &equiv; 0$&nbsp;  und damit auch &nbsp;$C_{\rm BPSK} &equiv; 0$&nbsp;.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>:
-*Der rote Kurvenzug (<i>C</i><sub>rot</sub>) liegt stets oberhalb von <i>C</i><sub>BPSK</sub>, aber unterhalb von <i>C</i><sub>braun</sub> und der Shannon&ndash;Grenzkurve <i>C</i><sub>Gauß</sub>.
+*Der rote Kurvenzug &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; liegt stets oberhalb von &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp;, aber unterhalb von &nbsp;$C_{\rm braun}$&nbsp; und der Shannon&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$&nbsp;.
-*Diese Aussagen gelten auch, wenn für gewisse <i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>&ndash;Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
+*Die Aussagen gelten auch, wenn für gewisse &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
-*Aus dem Grenzwert <i>C</i><sub>rot</sub> = 2 bit/Kanalzugriff für <i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> &#8594; &#8734; kann auf den Symbolumfang <i>M<sub>X</sub></i>&nbsp;=&nbsp;4 geschlossen werden.
+*Aus dem Grenzwert &nbsp;$C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$&nbsp; für &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}  &#8594; &#8734;$&nbsp; ergibt sich der Symbolumfang &nbsp;$M_X = |X| = 4$&nbsp;.
-*Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK. <i>M<sub>X</sub></i> = 2 würde für die BPSK gelten.
+*Die rote Kurve beschreibt also die 4&ndash;ASK. $M_X = |X| = 2$&nbsp; würde für die BPSK gelten.
-*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff&rdquo;. Für kleine <i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität <i>C</i><sub>4&ndash;QAM</sub> oberhalb der roten Kurve, da <i>C</i><sub>rot</sub> von der Gauß&ndash;Grenzkurve <i>C</i><sub>2</sub> begrenzt wird, <i>C</i><sub>4&ndash;QAM</sub> aber von <i>C</i><sub>3</sub>.
+*Die 4&ndash;QAM führt genau zum gleichen Endwert &bdquo;2 bit/Kanalzugriff&rdquo;. Für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte liegt aber die Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; oberhalb der roten Kurve, da &nbsp;$C_{\rm rot}$&nbsp; von der Gauß&ndash;Grenzkurve &nbsp;$C_2$&nbsp; begrenzt wird, $C_{\rm 4&ndash;QAM}$&nbsp; aber von &nbsp;$C_3$.
-Die Bezeichnungen <i>C</i><sub>2</sub> und <i>C</i><sub>3</sub> beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (1).
+Die Bezeichnungen &nbsp;$C_2$&nbsp; und &nbsp;$C_3$&nbsp; beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe '''(1)'''.
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>:
 *Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
-*Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit <i>K</i> = 2 Dimensionen &ndash;  wird für kleine <i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve liegen &nbsp; die Antwort 3 ist falsch.
+*Die 8&ndash;PSK mit I&ndash; und Q&ndash;Komponente &ndash; also mit $K = 2$ Dimensionen &ndash;  liegt für kleine &nbsp;$E_{\rm S}/{N_0}$&ndash;Werte etwas oberhalb der braunen Kurve &nbsp; &rArr; &nbsp;die Antwort 3 ist falsch.
 In der Grafik sind auch die beiden 8&ndash;ASK&ndash;Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.
-* Der violette Punkt liegt über der Kurve <i>C</i><sub>8&ndash;ASK</Sub>. Das heißt: 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 10 dB und <i>R</i>&nbsp;=&nbsp;2.5 reichen nicht aus, um die  8&ndash;ASK  fehlerfrei decodieren zu können &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>R</i> > <i>C</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Antwort 4 ist falsch.
+* Der violette Punkt liegt über der Kurve &nbsp;$C_{\rm 8&ndash;ASK}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht aus, um die  8&ndash;ASK  fehlerfrei decodieren zu können &nbsp; &#8658; &nbsp; $R > C$ &nbsp; &#8658; &nbsp; das Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  Antwort 4 ist falsch.
-* Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem 10 &middot; lg (<i>E</i><sub>S</sub>/<i>N</i><sub>0</sub>) = 10 dB auf <i>R</i> = 2  < <i>C</i><sub>8&ndash;ASK</Sub>, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   &nbsp; &#8658; &nbsp; Antwort 5 ist richtig.
+* Reduziert man aber die Coderate gemäß dem gelben Punkt bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8&ndash;ASK}$, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt   &nbsp; &#8658; &nbsp; Antwort 5 ist richtig.
 {{ML-Fuß}}