Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses - Versionsgeschichte

Guenter am 16. Mai 2021 um 15:06 Uhr

2021-05-16T15:06:31Z

Guenter am 16. Mai 2021 um 14:46 Uhr

2021-05-16T14:46:04Z

Guenter am 10. Oktober 2019 um 13:44 Uhr

2019-10-10T13:44:55Z

Guenter am 10. Oktober 2019 um 13:35 Uhr

2019-10-10T13:35:23Z

Guenter am 27. Juli 2018 um 13:38 Uhr

2018-07-27T13:38:09Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:55Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 30. Januar 2018 um 16:00 Uhr

2018-01-30T16:00:18Z

Guenter am 30. Januar 2018 um 15:46 Uhr

2018-01-30T15:46:03Z

Guenter am 30. Januar 2018 um 15:43 Uhr

2018-01-30T15:43:45Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.2Z DFT eines Dreieckimpulses nach Aufgaben:Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses

2018-01-03T13:07:16Z

Guenter verschob die Seite 5.2Z DFT eines Dreieckimpulses nach Aufgabe 5.2Z: DFT eines Dreieckimpulses

@@ Zeile 124: / Zeile 124: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} =   \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$
 Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:
-*Die DFT-Koeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand&nbsp; $T_{\rm P} = 2T$&nbsp; periodifizierten Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
+*Die DFT-Koeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand&nbsp; $T_{\rm P} = 2T$&nbsp; periodifizierten Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$.&nbsp; Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
 *Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$&nbsp; gleich Null: &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ &nbsp;  $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.
-'''(6)'''&nbsp; Der Koeffizient&nbsp; $D(7)$&nbsp; beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
+'''(6)'''&nbsp; Der Koeffizient&nbsp; $D(7)$&nbsp; beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 7 \cdot f_{\rm A}$.&nbsp; Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
 :$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$
 Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 :$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; (DFT) mit&nbsp; $N = 8$&nbsp; angenähert werden, wobei die&nbsp; $N$&nbsp; Koeffizienten für den Zeitbereich &nbsp; &rArr; &nbsp; $d(0)$, ... , $d(7)$&nbsp; der Grafik entnommen werden können.
+Die Spektralfunktion soll nun durch eine&nbsp; '''Diskrete Fouriertransformation'''&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; mit&nbsp; $N = 8$&nbsp; angenähert werden, wobei die&nbsp; $N$&nbsp; Koeffizienten für den Zeitbereich &nbsp; &rArr; &nbsp; $d(0)$, ... , $d(7)$&nbsp; der Grafik entnommen werden können.
 Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(0)$, ... ,&nbsp; $D(7)$&nbsp; sind zu ermitteln, wobei für die Indizes&nbsp; $\mu = 0$, ... , $N–1$&nbsp; gilt:
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind&nbsp; $d(0)$,&nbsp; $d(3)$&nbsp; und&nbsp; $d(6)$?
+{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an.&nbsp; Wie groß sind&nbsp; $d(0)$,&nbsp; $d(3)$&nbsp; und&nbsp; $d(6)$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$

@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Aus der Grafik ergeben sich mit $A = 4 \ {\rm V}$ folgende Werte:
+'''(1)'''&nbsp;  Aus der Grafik ergeben sich mit&nbsp; $A = 4 \ {\rm V}$&nbsp; folgende Werte:
 :$${d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(1) = d(7) = 3\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
   \hspace{0.1cm}d(2) = d(6) = 2\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
-'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Grafik gilt $T_{\rm A} = T/4$. Mit $T = 1 \ \text{ms}$ erhält man somit $\underline{T_{\rm A} = 0.25 \ \text{ms}}$.
+'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Grafik gilt&nbsp; $T_{\rm A} = T/4$.
@@ Zeile 106: / Zeile 108: @@
-'''(4)'''&nbsp; Mit $N = 8$ und $\mu = 0$ folgt aus der DFT–Gleichung
+'''(4)'''&nbsp; Mit&nbsp; $N = 8$&nbsp; und&nbsp; $\mu = 0$&nbsp; folgt aus der DFT–Gleichung:
 :$$D(0) =  \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7}
   d(\nu) = \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4+3+2+1+0+1+2+3)\hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:
+*Der DFT–Wert $D(0)$ beschreibt den Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$, wobei folgender Zusammenhang gilt:
 :$$X(f=0) =  \frac{D(0)}{f_{\rm A}}= \frac{ 2\,{\rm V}}{0.5\,{\rm kHz}}= 4 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert &nbsp; &rArr; &nbsp;  $A \cdot T$ überein.
+*Dieser Wert stimmt mit dem theoretischen Wert &nbsp;   $(A \cdot T)$&nbsp; überein.
 '''(5)'''&nbsp; Mit $N = 8$ und $\mu = 2$ erhält man:
 :$$D(2)  =   \frac{1}{8}\cdot \sum_{\nu = 0 }^{7}
   d(\nu)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (\pi /2) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \nu} =
@@ Zeile 121: / Zeile 124: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} =   \frac{1\,{\rm V}}{8}\cdot (4-3\cdot{\rm j}-2+{\rm j}-{\rm j}-2+3\cdot{\rm j})\hspace{0.15 cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm}.$$
 Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:
-*Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
+*Die DFT-Koeffizienten&nbsp; $D(\mu)$&nbsp; sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand&nbsp; $T_{\rm P} = 2T$&nbsp; periodifizierten Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
-*Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null: &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ &nbsp;  $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.
+*Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion&nbsp; $x_{\rm Per}(t)$&nbsp; gleich Null: &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ &nbsp;  $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.
-'''(6)'''&nbsp; Der Koeffizient $D(7)$ beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
+'''(6)'''&nbsp; Der Koeffizient&nbsp; $D(7)$&nbsp; beschreibt die periodifizierte Spektralfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 7 \cdot f_{\rm A}$. Aufgrund der Periodizität und von Symmetrieeigenschaft gilt:
 :$$D(7) = D(-1) = D^{\star}(1) \hspace{0.05cm}.$$
 Vorzugsweise berechnen wir diesen DFT–Koeffizienten:
@@ Zeile 133: / Zeile 137: @@
    \frac{-1 + {\rm j}}{\sqrt{2}}-{\rm j}+ 2\cdot {\rm j}+3\cdot \frac{1 - {\rm j}}{\sqrt{2}}\right)$$
 :$$\Rightarrow \; \; D(1)  =  \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-Da $D(1)$ rein reell ist, gilt $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$.
+Da&nbsp; $D(1)$&nbsp; rein reell ist, gilt&nbsp; $D(7) = D(1) \; \underline{= 0.854 \ {\rm V}}$.
 Daraus ergeben sich für die zugehörigen Werte der kontinuierlichen Spektralfunktion:
 :$$X(f=-f_{\rm A}) =  X(f=+f_{\rm A}) =\frac{D(1)}{f_{\rm A}}=  1.708 \cdot 10^{-3}\,{\rm V/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
-*Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert $4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz}$ nicht exakt überein.
+*Wegen der impliziten periodischen Fortsetzung durch die DFT stimmt der so berechnete Wert mit dem tatsächlichen Wert&nbsp; $(4 \cdot A \cdot T/\pi^2 = 1.621 · 10^{-3}\text{ V/Hz})$ nicht exakt überein.
-*Der relative Fehler beträgt somit ca. $5.3\%$.
+*Der relative Fehler beträgt ca.&nbsp; $5.3\%$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 Die Signalparameter haben folgende Werte:
-* Amplitude $A = 4 \ \text{V}$,
+* Amplitude&nbsp; $A = 4 \ \text{V}$,
-* äquivalente Impulsdauer $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$.
+* äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t = T = 1 \, \text{ms}$.
-Das Spektrum $X(f)$ erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
+Das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegrals]]:
 :$$X(f) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation'' (DFT) mit $N = 8$ angenähert werden, wobei die $N$ Koeffizienten für den Zeitbereich &nbsp; &rArr; &nbsp; $d(0)$, ... , $d(7)$, der Grafik entnommen werden können.
+Die Spektralfunktion soll nun durch eine ''Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; (DFT) mit&nbsp; $N = 8$&nbsp; angenähert werden, wobei die&nbsp; $N$&nbsp; Koeffizienten für den Zeitbereich &nbsp; &rArr; &nbsp; $d(0)$, ... , $d(7)$&nbsp; der Grafik entnommen werden können.
-Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0)$, ... , $D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0$, ... , $N–1$ gilt:
+Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten&nbsp; $D(0)$, ... ,&nbsp; $D(7)$&nbsp; sind zu ermitteln, wobei für die Indizes&nbsp; $\mu = 0$, ... , $N–1$&nbsp; gilt:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
    d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
+Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit&nbsp; $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
 :$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 38: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
-*Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überrprüfen.
+*Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]&nbsp; überrprüfen.
@@ Zeile 47: / Zeile 51: @@
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind $d(0)$, $d(3)$ und $d(6)$?
+{Geben Sie die Zeitkoeffizienten an. Wie groß sind&nbsp; $d(0)$,&nbsp; $d(3)$&nbsp; und&nbsp; $d(6)$?
 |type="{}"}
 $d(0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 54: / Zeile 58: @@
-{Wie groß ist der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Zeitabtastwerte?
+{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zweier Zeitabtastwerte?
 |type="{}"}
 $T_{\rm A}\ = \ ${ 0.25 3% } &nbsp;$\text{ms}$
-{Wie groß ist der Abstand $f_{\rm A}$ zweier DFT–Frequenzabtastwerte?
+{Wie groß ist der Abstand&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; zweier DFT–Frequenzabtastwerte?
 |type="{}"}
 $f_{\rm A}\ = \ ${ 0.5 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
-{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D(0)$&nbsp; und interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $D(0)\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$
-{Berechnen Sie den Koeffizienten $D(2)$ und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten $D(4)$ und $D(6)$.
+{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D(2)$&nbsp; und interpretieren Sie das Ergebnis, auch im Hinblick auf die Koeffizienten&nbsp; $D(4)$&nbsp; und&nbsp; $D(6)$.
 |type="{}"}
 $D(2)\ = \ ${ 0. } &nbsp;$\text{V}$
-{Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten $D(7)$.
+{Berechnen und interpretieren Sie den DFT–Koeffizienten&nbsp; $D(7)$.
 |type="{}"}
 $D(7)\ = \ $ { 0.854 3% } &nbsp;$\text{V}$

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 Die dazugehörigen Spektralkoeffizienten $D(0)$, ... , $D(7)$ sind in dieser Aufgabe zu ermitteln, wobei für die Indizes $\mu = 0$, ... , $N–1$ gilt:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1}
-   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+   d(\nu)\cdot  {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 Bezeichnet man den Abstand zweier Abtastwerte im Zeitbereich mit $T_{\rm A}$ und den entsprechenden Frequenzabstand zweier Linien mit $f_{\rm A}$, so gilt folgender Zusammenhang:
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation (DFT)]].
-*Die hier behandelte Thematik wird auch im Interaktionsmodul [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] behandelt.
+*Ihre Lösungen können Sie mit dem interaktiven Applet [[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]] überrprüfen.
@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
   \hspace{0.1cm}d(3) = d(5) = 1\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}
 \hspace{0.1cm}d(4) = 0}\hspace{0.05cm}. $$
-$$\Rightarrow \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(3) = 1\,{\rm V},
+:$$\Rightarrow \hspace{0.15 cm}\underline{d(0) = 4\,{\rm V}, \hspace{0.1cm}d(3) = 1\,{\rm V},
   \hspace{0.1cm}d(6) = 2\,{\rm V}. \hspace{0.1cm}}
   \hspace{0.05cm} $$
@@ Zeile 97: / Zeile 97: @@
-'''(3)'''&nbsp; Für die Abständen der Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Für die Abstände der Abtastwerte im Zeit– und Frequenzbereich gilt:
 :$$N \cdot f_{\rm A} \cdot T_{\rm A} = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm
   A}= \frac{1}{ 8 \cdot 0.25\, {\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.5\, {\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung vorhersagen können:
 *Die DFT-Koeffizienten $D(\mu)$ sind gleichzeitig die Fourierkoeffizienten der im Abstand $T_{\rm P} = 2T$ periodifizierten Funktion $x_{\rm Per}(t)$. Diese ist in der Grafik auf der Angabenseite gestrichelt eingezeichnet.
-*Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null
+*Aufgrund von Symmetrieeigenschaften sind aber alle geradzahligen Fourierkoeffizienten der Funktion $x_{\rm Per}(t)$ gleich Null: &nbsp; &rArr; &nbsp; $D(4)\hspace{0.15cm}\underline{=0},$ &nbsp;  $D(6)\hspace{0.15cm}\underline{=0}$.