Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Anwendung der IDFT - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Januar 2022 um 08:48 Uhr

2022-01-12T08:48:27Z

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2020-05-06T10:13:47Z

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2020-05-06T10:05:21Z

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Guenter am 22. Januar 2019 um 14:58 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:56Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:37:00Z

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Guenter am 7. August 2017 um 13:36 Uhr

2017-08-07T13:36:28Z

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-'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = 1 - {\rm  j}$&nbsp; und&nbsp; $D_7 = 1 + {\rm  j}$.&nbsp; Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten&nbsp; $(0 ≤ ν ≤ 7)$:
+'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = 1 - {\rm  j}$&nbsp; und&nbsp; $D_7 = 1 + {\rm  j}$.&nbsp;
 :$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$
 *Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:

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 Bei der &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden aus den Zeitabtastwerten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; mit der Laufvariablen &nbsp;$ν = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; mit &nbsp;$μ = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist mit &nbsp;$w$&nbsp; der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:
+Hierbei ist mit &nbsp;$w$&nbsp; der komplexe Drehfaktor abgekürzt,&nbsp; der wie folgt definiert ist:
 :$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
 Entsprechend gilt für die &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; quasi als &bdquo;Umkehrfunktion&rdquo; der DFT:
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
 *Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Wegen $D(μ) = 0$ für $μ ≠ 0$ sind alle Zeitkoeffizienten $d(ν) = D(0)= 1 - {\rm  j}$. Damit gilt auch:
+'''(1)'''&nbsp;  Wegen&nbsp; $D(μ) = 0$&nbsp; für&nbsp; $μ ≠ 0$&nbsp; sind alle Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν) = D(0)= 1 - {\rm  j}$.&nbsp; Damit gilt auch:
 :$${\rm Re}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {=+ 1}, \hspace{0.3cm}{\rm Im}[d(1)]  \hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
-'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von $D_1 = 1 - {\rm  j}$ und $D_7 = 1 + {\rm  j}$. Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten ($0 ≤ ν ≤ 7$):
+'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = 1 - {\rm  j}$&nbsp; und&nbsp; $D_7 = 1 + {\rm  j}$.&nbsp; Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten&nbsp; $(0 ≤ ν ≤ 7)$:
 :$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$
 *Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
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 *Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen:
 :$$d(\nu) = 2 \cdot \cos \left( {\pi}/{4}\cdot \nu \right)+ 2 \cdot \sin \left(  {\pi}/{4}\cdot \nu \right).$$
-*Diese Zeitfunktion $d(ν)$ ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude $ 2 \cdot \sqrt{2}$ und der Phase $φ = 45^\circ$.
+*Diese Zeitfunktion&nbsp; $d(ν)$&nbsp; ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude&nbsp; $ 2 \cdot \sqrt{2}$&nbsp; und der Phase&nbsp; $φ = 45^\circ$.
-*Der Zeitkoeffizient mit Index $ν = 1$ gibt das Maximum an:
+*Der Zeitkoeffizient mit Index&nbsp; $ν = 1$&nbsp; gibt das Maximum an:
 :$$ {\rm Re}[d(1)] = 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}+ 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.828}, \hspace{0.5cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|frame|Drei Sätze &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp;  für die Spektralkoeffizienten]]
+[[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|frame|Drei Sätze &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp;  <br>für die Spektralkoeffizienten]]
-Bei der &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; mit der Laufvariablen &nbsp;$ν = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; mit &nbsp;$μ = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
+Bei der &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden aus den Zeitabtastwerten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; mit der Laufvariablen &nbsp;$ν = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; mit &nbsp;$μ = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
 :$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei ist mit &nbsp;$w$&nbsp; der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:
 :$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend gilt für die &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; (IDFT) quasi als &bdquo;Umkehrfunktion&rdquo; der DFT:
+Entsprechend gilt für die &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; quasi als &bdquo;Umkehrfunktion&rdquo; der DFT:
 :$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen &nbsp;$D(μ)$ – die in der Tabelle mit &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; ermittelt werden. Es gilt somit stets &nbsp;$N = 8$.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen &nbsp;$D(μ)$ – die in der Tabelle mit &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; ermittelt werden.&nbsp; Es gilt somit stets &nbsp;$N = 8$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
 *Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”.
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; kontrollieren.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]&nbsp; kontrollieren.

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 [[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|frame|Drei Sätze &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp;  für die Spektralkoeffizienten]]
 Bei der &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; mit der Laufvariablen &nbsp;$ν = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; mit &nbsp;$μ = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
-:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei ist mit &nbsp;$w$&nbsp; der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:
 :$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
 Entsprechend gilt für die &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; (IDFT) quasi als &bdquo;Umkehrfunktion&rdquo; der DFT:
-:$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
 In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen &nbsp;$D(μ)$ – die in der Tabelle mit &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; ermittelt werden. Es gilt somit stets &nbsp;$N = 8$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Wegen $D(μ) = 0$ für $μ ≠ 0$ sind alle Zeitkoeffizienten $d(ν) = D(0)$. Damit gilt auch:
+'''(1)'''&nbsp;  Wegen $D(μ) = 0$ für $μ ≠ 0$ sind alle Zeitkoeffizienten $d(ν) = D(0)= 1 - {\rm  j}$. Damit gilt auch:
 :$${\rm Re}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {=+ 1}, \hspace{0.3cm}{\rm Im}[d(1)]  \hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
-'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von $D_1 = 1 –{\rm  j}$ und $D_7 = 1 + {\rm  j}$. Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten ($0 ≤ ν ≤ 7$):
+'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von $D_1 = 1 - {\rm  j}$ und $D_7 = 1 + {\rm  j}$. Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten ($0 ≤ ν ≤ 7$):
 :$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$
-Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
+*Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
 :$$d(\nu)  =  (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ +{\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}=
   \left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} + {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right]+ {\rm{j}} \cdot\left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} - {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right].$$
-Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen:
+*Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen:
 :$$d(\nu) = 2 \cdot \cos \left( {\pi}/{4}\cdot \nu \right)+ 2 \cdot \sin \left(  {\pi}/{4}\cdot \nu \right).$$
-Diese Zeitfunktion $d(ν)$ ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude $ 2 \cdot \sqrt{2}$ und der Phase $φ = 45^\circ$. Der Zeitkoeffizient mit Index $ν = 1$ gibt das Maximum an:
+*Diese Zeitfunktion $d(ν)$ ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude $ 2 \cdot \sqrt{2}$ und der Phase $φ = 45^\circ$.
 :$$ {\rm Re}[d(1)] = 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}+ 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.828}, \hspace{0.5cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Entsprechend der allgemeinen Gleichung gilt:
 :$$d(1) =  \sum\limits_{\mu = 0}^{7} D(\mu)\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\mu} = \left[ D(1) + D(7) \right]\cdot \cos \left( {\pi}/{4} \right) + \left[ D(3) + D(5) \right]\cdot \cos \left( {3\pi}/{4} \right)+
    {\rm j} \cdot \left[ D(2) - D(6) \right]\cdot \sin \left( {\pi}/{2} \right) + D(4) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}}.$$
-Die ersten drei Terme liefern rein reelle Ergebnisse:
+*Die ersten drei Terme liefern rein reelle Ergebnisse:
 :$${\rm Re}[d(1)]  =  (1+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-(3+3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ {\rm j} \cdot4{\rm j} \cdot 1 = -\frac{4}{\sqrt{2}}-4\hspace{0.15cm}\underline { \approx -6.829}.$$
-Für den Imaginärteil ergibt sich:
+*Für den Imaginärteil ergibt sich:
 :$${\rm Im}[d(1)] = {\rm Im}\left[4 \cdot{\rm j} \cdot (-1) \right] \hspace{0.15cm}\underline {= -4}.$$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
-*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]] im Buch „Signaldarstellung”.
+*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”.
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_(Applet)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; kontrollieren.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die Spektralkoeffizienten $D(μ)$ gemäß '''Spalte A'''?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; für die Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; gemäß &nbsp;$\rm A$? <br> Geben Sie den ersten Koeffizienten &nbsp;$d(1)$&nbsp; mit Real&ndash; und Imaginärteil ein.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[d(1)] \ = \ $ { 1 1% }
+${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $ { 1 1% }
-${\rm Im}[d(1)] \ = \ $ { -1.03--0.97 }
+${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $ { -1.03--0.97 }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die Spektralkoeffizienten $D(μ)$ gemäß '''Spalte B'''?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; für die Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; gemäß &nbsp;$\rm B$? <br> Geben Sie den ersten Koeffizienten &nbsp;$d(1)$&nbsp; mit Real&ndash; und Imaginärteil ein.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[d(1)] \ = \ $ { 2.828 1% }
+${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $ { 2.828 1% }
-${\rm Im}[d(1)] \ = \ $ { 0. }
+${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die Spektralkoeffizienten $D(μ)$ gemäß '''Spalte C'''?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; für die Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; gemäß &nbsp;$\rm C$? <br> Geben Sie den ersten Koeffizienten &nbsp;$d(1)$&nbsp; mit Real&ndash; und Imaginärteil ein.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[d(1)] \ = \ $ { -6.9--6.7 }
+${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $ { -6.9--6.7 }
-${\rm Im}[d(1)] \ = \ ${ -4.04--3.96 }
+${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ ${ -4.04--3.96 }

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 *Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]] im Buch „Signaldarstellung”.
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem Interaktionsmodul [[Diskrete Fouriertransformation]] kontrollieren.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)