Digitalsignalübertragung/Eigenschaften von Nyquistsystemen - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Mai 2022 um 12:58 Uhr

2022-05-01T12:58:28Z

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Guenter am 30. Januar 2019 um 15:52 Uhr

2019-01-30T15:52:33Z

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Guenter am 30. Januar 2019 um 15:14 Uhr

2019-01-30T15:14:09Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 15:01 Uhr

2019-01-30T15:01:47Z

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Guenter am 6. Juni 2018 um 13:29 Uhr

2018-06-06T13:29:54Z

Guenter am 6. Juni 2018 um 13:28 Uhr

2018-06-06T13:28:01Z

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Guenter am 6. November 2017 um 13:32 Uhr

2017-11-06T13:32:45Z

Guenter am 18. August 2017 um 13:31 Uhr

2017-08-18T13:31:33Z

Guenter am 18. August 2017 um 12:00 Uhr

2017-08-18T12:00:18Z

Guenter am 18. August 2017 um 11:22 Uhr

2017-08-18T11:22:19Z

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 == 1/T–Nyquistspektren==
 <br>
-Besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung haben solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich $-1/T \le  f \le +1/T$ beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez&ndash;Charakteristik und der Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten.
+Besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung haben solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich &nbsp;$-1/T \le  f \le +1/T$&nbsp; beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez&ndash;Charakteristik und der Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten.
 [[Datei:P_ID1274__Dig_T_1_3_S3a_v1.png|center|frame|$1/T$-Nyquistspektren|class=fit]]
 Für beide Nyquistspektren gilt in gleicher Weise:
-*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ punktsymmetrisch um die '''Nyquistfrequenz''' $f_{\rm Nyq} = (f_1+f_2)/2$. Das heißt, dass für $0 \le f \le f_{\rm Nyq}$ gilt:
+*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$&nbsp; punktsymmetrisch um die '''Nyquistfrequenz''' &nbsp;$f_{\rm Nyq} = (f_1+f_2)/2$. Das heißt, dass für &nbsp;$0 \le f \le f_{\rm Nyq}$&nbsp; gilt:
 :$$G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}+f) + G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}-f) = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
-*$G_{\rm Nyq}(f)$  ist für alle Frequenzen $|f| \le f_1$  konstant gleich $g_0 \cdot T$ und für$|f| \ge f_2$ identisch $0$. Im Bereich zwischen $f_1$ und $f_2$ gilt:
+*$G_{\rm Nyq}(f)$&nbsp;  ist für alle Frequenzen &nbsp;$|f| \le f_1$&nbsp;  konstant gleich &nbsp;$g_0 \cdot T$&nbsp; und für &nbsp;$|f| \ge f_2$&nbsp; identisch Null. Im Bereich zwischen &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$&nbsp; gilt:
 :$$\frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T }  =   \left\{ \begin{array}{c} \frac{f_2 - |f|}{f_2 -f_1 }
   \\ \\
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 \begin{array}{*{1}c} {\rm{beim \hspace{0.15cm}Trapez}\hspace{0.05cm},}
 \\ \\ {\rm{\rm{beim \hspace{0.15cm}Cosinus-Rolloff}}\hspace{0.05cm}.}  \\ \end{array}$$
-*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir  den '''Rolloff&ndash;Faktor''' $r$, der Werte zwischen $0$ und $1$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann:
+*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir  den '''Rolloff&ndash;Faktor''' &nbsp;$r$, der Werte zwischen &nbsp;$0$&nbsp; und &nbsp;$1$&nbsp; (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann:
 :$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
-*Für $r = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_1 = f_2 = f_{\rm Nyq}$ ergibt sich das Rechteck-Nyquistspektrum, während der Rolloff-Faktor  $r = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_1 = 0, \ f_2 = 2 f_{\rm Nyq}$ ein dreieckförmiges bzw. $\cos^2$&ndash;Spektrum angibt &ndash; je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht.<br><br>
+*Für &nbsp;$r = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_1 = f_2 = f_{\rm Nyq}$&nbsp; ergibt sich das (grün&ndash;gepunktete) Rechteck-Nyquistspektrum.
-''Hinweis:'' &nbsp; In der Literatur wird der Rolloff&ndash;Faktor auch oft mit $\alpha$ (&bdquo;alpha&rdquo;) bezeichnet.
+* Der Rolloff-Faktor  &nbsp;$r = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_1 = 0, \ f_2 = 2 f_{\rm Nyq}$&nbsp; steht für ein dreieckförmiges &nbsp;bzw.&nbsp; ein $\cos^2$&ndash;Spektrum &ndash; je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht. Diese Frequenzverläufe sind jeweils rot&ndash;gestrichelt eingezeichnet.

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 t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot
 T}\right)$$
-mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 0.5$ zugrunde liegt, der schon auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapeztiefpass|Trapeztiefpass]] des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo; behandelt wurde.}}
+mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 0.5$ zugrunde liegt, der schon auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Trapeztiefpass]] des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo; behandelt wurde.}}

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 == Aufgaben zum Kapitel ==
-[[Aufgaben:1.4 Nyquistkriterien|A1.4 Nyquistkriterien]]
+[[Aufgaben:1.4_Nyquistkriterien|Aufgabe 1.4: Nyquistkriterien]]
-[[Zusatzaufgaben:1.4 Komplexes Nyquistspektrum]]
+[[Aufgaben:1.4Z_Komplexes_Nyquistspektrum|Aufgabe 1.4Z: Komplexes Nyquistspektrum]]
-[[Aufgaben:1.5 Cosinus-Quadrat-Spektrum|A1.5 Cosinus-Quadrat-Spektrum]]
+[[Aufgaben:1.5_Cosinus-Quadrat-Spektrum|Aufgabe 1.5: Cosinus-Quadrat-Spektrum]]
 ==Quellenverzeichnis==

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 *Im Grenzfall $r \to 0$ ergibt sich in beiden Fällen das rechteckförmige Nyquistspektrum und der $\rm si$&ndash;förmige Nyquistimpuls, der asymptotisch mit $1/t$ abklingt  (dünne grüne Kurven).
 *Bei einem mittleren Rolloff $(r \approx 0.5)$ sind die ersten Überschwinger beim Trapezspektrum geringer als beim CRO&ndash;Spektrum, da bei gegebenem $r$ die Nyquistflanke flacher verläuft (blaue Kurven).
-*Mit dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 1$ wird im Frequenzbereich aus dem Trapez ein Dreieck und aus dem CRO&ndash;Spektrum das Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Spektrum  (rote Kurven).
+*Mit dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 1$ wird im Frequenzbereich aus dem Trapez ein Dreieck und aus dem CRO&ndash;Spektrum das Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Spektrum. In den Grafiken auf der [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#1.2FT.E2.80.93Nyquistspektren|letzten Seite]] sind diese Spektralfunktionen rot gezeichnet.
 *Mit $r = 1$ erfolgt der asymptotische Abfall der oberen Zeitfunktion (gemäß dem Trapezspektrum) mit $1/t^2$ und der Abfall der unteren Zeitfunktion (gemäß dem CRO&ndash;Spektrum) mit $1/t^3$ &nbsp; &rArr; &nbsp; nach längerer Zeit ist der CRO&ndash;Nyquistimpuls besser eingeschwungen als  der Trapez&ndash;Nyquistimpuls .
-== Zweites Nyquistkriterium (1) ==
+== Zweites Nyquistkriterium==
 <br>
-Vor der exakten mathematischen Definition soll anhand von Grafiken veranschaulicht werden, welche Bedeutung das zweite Nyquistkriterium zur Bewertung eines Digitalsystems besitzt.<br><br>
+Vor der exakten mathematischen Definition soll anhand von Grafiken veranschaulicht werden, welche Bedeutung das ''zweite Nyquistkriterium'' zur Bewertung eines Digitalsystems besitzt. In der Grafik sind für drei Beispiele von Nyquistsystemen jeweils  dargestellt:
-[[Datei:P_ID1277__Dig_T_1_3_S4_v1.png|Zur Verdeutlichung des zweiten Nyquistkriteriums|class=fit]]<br><br>
+*oben das Nyquistspektrum $G_d(f)$,
-*Die linke Grafik zeigt im Vorgriff auf das [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms Kapitel 3.2] das Augendiagramm eines Nyquistsystems mit Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Charakteristik, wobei der Rolloff&ndash;Faktor <i>r</i> = 0.5 gewählt wurde. Da hier das erste Nyquistkriterium  erfüllt ist (es besteht eine Punktsymmetrie um <i>f</i><sub>Nyq</sub>), ergibt sich für die vertikale Augenöffnung zum Zeitpunkt <i>t</i> = 0 der größtmögliche Wert 2 &middot; <i>g<sub>d</sub></i>(0). Alle Augenlinien gehen zum Zeitpunkt <i>t</i> = 0 durch einen der beiden rot markierten Punkte.
+*unten das dazugehörige Augendiagramm im Vorgriff auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|dritte Hauptkapitel]].
-*Das mittlere Spektrum weist keine Symmetrie bezüglich des Flankenabfalls auf, so dass hier das erste Nyquistkriterium nicht erfüllt ist &ndash; im Gegensatz zum zweiten. Alle Augenlinien schneiden hier die Zeitachse zu den selben Zeiten (markiert durch die grünen  Punkte), was beispielsweise die Taktwiedergewinnung mittels einer PLL (<i>Phase-Locked Loop</i>) erleichtert. Die horizontale Augenöffnung ist bei Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums maximal gleich der Symboldauer <i>T</i>.
-*Das rechte Augendiagrammm verdeutlicht, dass beim CRO&ndash;Spektrum mit <i>r</i> = 1 &ndash; und nur bei diesem &ndash; sowohl das erste als auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt werden. Der Nyquistimpuls:
+[[Datei:P_ID1277__Dig_T_1_3_S4_v1.png|center|frame|Zur Verdeutlichung von erstem und  zweitem Nyquistkriterium]]
-<math>g_d ( t )= g_0 \cdot \frac{\pi }{4}\cdot {\rm si} \left (
 \frac{\pi \cdot t}{T}\right)\cdot \left [ {\rm si}(\pi \cdot
 (\frac{t}{T} + \frac{1}{2}) + {\rm si}(\pi \cdot (\frac{t}{T} -
-\frac{1}{2})\right]</math>
+\frac{1}{2})\right]$$
-:weist hier die erforderlichen Nulldurchgänge bei <i>t</i> = &plusmn;<i>T</i>, <i>t</i> = &plusmn;1.5<i>T</i>, <i>t</i> = &plusmn;2<i>T</i>, <i>t</i> = &plusmn;2.5<i>T</i>,  ... auf, nicht jedoch bei &plusmn;0.5<i>T</i>. Die Impulsamplitude ist <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = 0) = <i>g</i><sub>0</sub>.
+:weist hier die erforderlichen Nulldurchgänge bei $t = \pm T$, $t = \pm 1.5T$, $t = \pm 2T$, $t = \pm 2.5T$,  ... auf, nicht jedoch bei $t = \pm 0.5T$. Die Impulsamplitude ist $g_d(t = 0) = g_0$. ''Hinweis:'' Kein anderer Impuls erfüllt gleichzeitig das erste und das zweite Nyquistkriterium.
-== Zweites Nyquistkriterium (2) ==
-<br>
+{{GraueBox|TEXT=
-Ein Impuls <i>g</i><sub>Nyq-2</sub>(<i>t</i>), der das zweite Nyquistkriterium erfüllt, muss Nulldurchgänge bei &plusmn;1.5<i>T</i>, &plusmn;2.5<i>T</i>, &plusmn;3.5<i>T</i>, ... besitzen.
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Ausgehend vom Nyquist&ndash;1&ndash;Impuls $g_{\rm Nyq-1}( t )= g_0 \cdot {\rm si}(\pi \cdot t/T)$ lautet der dazugehörige Nyquist&ndash;2&ndash;Impuls:
-Dagegen weist ein Nyquist&ndash;1&ndash;Impuls Nulldurchgänge bei &plusmn;<i>T</i>, &plusmn;2<i>T</i>, &plusmn;3<i>T</i> auf. Deshalb lässt sich ein
+:$$g_{\rm Nyq-2}( t ) = g_0 \cdot  \left [ {\rm si}(\pi \cdot \frac{t + T/2}{T})  + {\rm si}(\pi \cdot \frac{t- T/2}{T}) \right] =\frac{2 \cdot g_0}{\pi} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Nyquist&ndash;2&ndash;Impuls immer als Summe zweier (eventuell unterschiedlicher) und um &plusmn;<i>T</i>/2 verschobener Nyquist&ndash;1&ndash;Impulse darstellen. Geht man von einem Impuls <i>g</i><sub>Nyq&ndash;1</sub>(<i>t</i>) aus, so gilt:
+Aufgrund der Begrenzung des Spektrums $G_{\rm Nyq-1}( f)$ auf den Bereich$\vert f \vert \le f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$ beschränkt sich in obiger Gleichung die Summe auf den Term mit $k = 0$ und man erhält:
-:<math>g_{_{\rm Nyq-2}} ( t )= g_{_{\rm Nyq-1}} ( t +{T}/{2})+
+:$$G_{\rm Nyq-2}(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} g_0 \cdot T  \cdot \cos(\pi/2 \cdot f/f_{\rm Nyq}) \\
    \\ 0 \\\end{array} \right.\quad
-\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\hspace{0.15cm}|f| < f_{_{\rm
+\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm} \vert f \vert < f_{\rm
-Nyq}}\hspace{0.05cm},
+Nyq}\hspace{0.05cm},
-\\    \\ {\rm{sonst}}\hspace{0.05cm}. \\
+\\    \\ {\rm{sonst} }\hspace{0.05cm}. \\
-\end{array}</math>
+\end{array}$$
-Dieser Frequenzverlauf und das dazugehörige Augendiagramm ist in der Grafik auf der letzten Seite in der mittleren  Spalte oben skizziert. Man erkennt deutlich die Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums.
+Dieser Frequenzverlauf und das dazugehörige Augendiagramm ist in in der mittleren  Spalte der obigen  Grafik skizziert. Man erkennt deutlich die Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums.}}

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 ==Zeitbereichsberschreibung der  1/T–Nyquistspektren ==
 <br>
-Betrachten wir nun die Nyquistimpulse. Beim trapezförmigem Spektrum mit Rolloff&ndash;Faktor <i>r</i> erhält man::
+Betrachten wir nun die Nyquistimpulse. Beim ''trapezförmigem Spektrum'' mit Rolloff&ndash;Faktor $r$ erhält man:
-<math>g_{_{\rm Trapez}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi
+:$$g_{_{\rm Trapez}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi
 \cdot t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot r \cdot
-t}{T}\right) \hspace{0.5cm}{\rm mit }\hspace{0.5cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .</math>
+t}{T}\right) \hspace{0.5cm}{\rm mit }\hspace{0.5cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$
-Dagegen liefert die Fourierrücktransformation des Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Spektrums::
+Dagegen liefert die Fourierrücktransformation des ''Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Spektrums'' (kurz: CRO:&ndash;Spektrum):
-<math>g_{_{\rm CRO}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot
+:$$g_{_{\rm CRO}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot
 t}{T}\right)\cdot \frac{\cos(\pi \cdot r \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
-r \cdot t/T)^2 } \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x.</math>
+r \cdot t/T)^2 } \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x.$$
-Diese beiden Nyquistimpulse kann man im nachfolgend genannten Interaktionsmodul mit der Einstellung &Delta;<i>f</i> &middot; <i>T</i> = 1 betrachten und sich dabei den Einfluss des Rolloff&ndash;Faktors verdeutlichen:<br><br>
+Diese beiden Nyquistimpulse kann man mit dem Interaktionsmodul [[Tiefpässe im Frequenz&ndash; und Zeitbereich]] (Einstellung $ \Delta \cdot f = 1$) betrachten und sich dabei den Einfluss des Rolloff&ndash;Faktors $r$ verdeutlichen.
-[[:File:tiefpass (1).swf|Tiefpässe im Frequenz&ndash; und Zeitbereich]]<br><br>
-[[Datei:P_ID1276__Dig_T_1_3_S3b_v1.png|Nyquistimpulse mit Trapez- und Cosinus-Rolloff-Spektrum|class=fit]]<br><br>
+[[Datei:P_ID1276__Dig_T_1_3_S3b_v1.png|center|frame|Nyquistimpulse mit Trapez- und Cosinus-Rolloff-Spektrum|class=fit]]
 Die obere Grafik zeigt den Nyquistimpuls mit Trapezspektrum für verschiedene Rolloff&ndash;Faktoren. Unten ist der entsprechende Zeitverlauf für das Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Spektrum dargestellt. Man erkennt:
-*Je kleiner der Rolloff&ndash;Faktor <i>r</i> ist, desto langsamer erfolgt der Abfall des Nyquistimpulses. Diese Aussage trifft sowohl für das Trapez&ndash; als auch für das Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Spektrum zu.
+*Je kleiner der Rolloff&ndash;Faktor $r$ ist, desto langsamer erfolgt der Abfall des Nyquistimpulses. Diese Aussage trifft sowohl für das Trapez&ndash; als auch für das Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Spektrum zu.
-*Im Grenzfall <i>r</i> &#8594; 0 ergibt sich in beiden Fällen das rechteckförmige Nyquistspektrum und der si&ndash;förmige Nyquistimpuls, der asymptotisch mit 1/<i>t</i> abklingt  (grüne Kurven).
+*Im Grenzfall $r \to 0$ ergibt sich in beiden Fällen das rechteckförmige Nyquistspektrum und der $\rm si$&ndash;förmige Nyquistimpuls, der asymptotisch mit $1/t$ abklingt  (dünne grüne Kurven).
-*Bei einem mittleren Rolloff (<i>r</i> &asymp; 0.5) sind die ersten Überschwinger beim Trapezspektrum geringer als beim CRO&ndash;Spektrum, da bei gegebenem <i>r</i> die Nyquistflanke flacher verläuft (blaue Kurven).
+*Bei einem mittleren Rolloff $(r \approx 0.5)$ sind die ersten Überschwinger beim Trapezspektrum geringer als beim CRO&ndash;Spektrum, da bei gegebenem $r$ die Nyquistflanke flacher verläuft (blaue Kurven).
-*Mit dem Rolloff&ndash;Faktor <i>r</i> = 1 wird im Frequenzbereich aus dem Trapez ein Dreieck und aus dem CRO&ndash;Spektrum das Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Spektrum  (rote Kurven).
+*Mit dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 1$ wird im Frequenzbereich aus dem Trapez ein Dreieck und aus dem CRO&ndash;Spektrum das Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Spektrum  (rote Kurven).
-*Mit <i>r</i> = 1 erfolgt der asymptotische Abfall der oberen Zeitfunktion (gemäß dem Trapezspektrum) mit 1/<i>t</i><sup>2</sup> und der Abfall der unteren Zeitfunktion (gemäß dem CRO&ndash;Spektrum) mit 1/<i>t</i><sup>3</sup>.
+*Mit $r = 1$ erfolgt der asymptotische Abfall der oberen Zeitfunktion (gemäß dem Trapezspektrum) mit $1/t^2$ und der Abfall der unteren Zeitfunktion (gemäß dem CRO&ndash;Spektrum) mit $1/t^3$ &nbsp; &rArr; &nbsp; nach längerer Zeit ist der CRO&ndash;Nyquistimpuls besser eingeschwungen als  der Trapez&ndash;Nyquistimpuls .

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 == 1/T–Nyquistspektren==
 <br>
-Eine besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung besitzen solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich &ndash;1/<i>T</i> &#8804; <i>f</i> &#8804; +1/<i>T</i> beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez&ndash;Charakteristik und der Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten.<br><br>
+Besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung haben solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich $-1/T \le  f \le +1/T$ beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez&ndash;Charakteristik und der Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten.
-[[Datei:P_ID1274__Dig_T_1_3_S3a_v1.png|1/T-Nyquistspektren|class=fit]]<br><br>
 Für beide Nyquistspektren gilt in gleicher Weise:
-*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen <i>f</i><sub>1</sub> und <i>f</i><sub>2</sub> punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz <i>f</i><sub>Nyq</sub> = 1/(2<i>T</i>) = (<i>f</i><sub>1</sub> + <i>f</i><sub>2</sub>)/2. Das heißt, dass für 0 &#8804; <i>f</i> &#8804; <i>f</i><sub>Nyq</sub> gilt::
+*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ punktsymmetrisch um die '''Nyquistfrequenz''' $f_{\rm Nyq} = (f_1+f_2)/2$. Das heißt, dass für $0 \le f \le f_{\rm Nyq}$ gilt:
-<math>G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}+f) + G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}-f) = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.</math>
+:$$G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}+f) + G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}-f) = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
-*<i>G</i><sub>Nyq</sub>(<i>f</i>) ist für alle Frequenzen | <i>f</i> | &#8804; <i>f</i><sub>1</sub> konstant gleich <i>g</i><sub>0</sub> &middot; <i>T</i> und für | <i>f</i> | &#8805; <i>f</i><sub>2</sub> identisch 0. Im Bereich zwischen <i>f</i><sub>1</sub> und <i>f</i><sub>2</sub> gilt::
+*$G_{\rm Nyq}(f)$  ist für alle Frequenzen $|f| \le f_1$  konstant gleich $g_0 \cdot T$ und für$|f| \ge f_2$ identisch $0$. Im Bereich zwischen $f_1$ und $f_2$ gilt:
-<math>\frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T }  =   \left\{ \begin{array}{c} \frac{f_2 - |f|}{f_2 -f_1 }
+:$$\frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T }  =   \left\{ \begin{array}{c} \frac{f_2 - |f|}{f_2 -f_1 }
   \\ \\
   \cos^2( \frac{\pi}{2}\cdot \frac{f_2 - |f|}{f_2 -f_1 }) \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{1}c} {\rm{beim \hspace{0.15cm}Trapez}\hspace{0.05cm},}
-\\ \\ {\rm{\rm{beim \hspace{0.15cm}Cosinus-Rolloff}}\hspace{0.05cm}.}  \\ \end{array}</math>
+\\ \\ {\rm{\rm{beim \hspace{0.15cm}Cosinus-Rolloff}}\hspace{0.05cm}.}  \\ \end{array}$$
-*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir in beiden Fällen den Rolloff&ndash;Faktor, der Werte zwischen 0 und 1 (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann::
+*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir in beiden Fällen den '''Rolloff&ndash;Faktor''' $r$, der Werte zwischen $0$ und $1$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann:
-<math>r = \frac{f_2 -f_1 }
+:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
-{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.</math>
+{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
-*Für <i>r</i> = 0 (<i>f</i><sub>1</sub> = <i>f</i><sub>2</sub> = <i>f</i><sub>Nyq</sub>) ergibt sich das Rechteck-Nyquistspektrum, während der Rolloff-Faktor <i>r</i> = 1 (<i>f</i><sub>1</sub> = 0, <i>f</i><sub>2</sub> = 2<i>f</i><sub>Nyq</sub>) ein dreieckförmiges bzw. cos<sup>2</sup>&ndash;Spektrum angibt &ndash; je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht.<br><br>
+*Für $r = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_1 = f_2 = f_{\rm Nyq}$ ergibt sich das Rechteck-Nyquistspektrum, während der Rolloff-Faktor  $r = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $f_1 = 0, \ f_2 = 2 f_{\rm Nyq}$ ein dreieckförmiges bzw. $\cos^2$&ndash;Spektrum angibt &ndash; je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht.<br><br>
-<b>Hinweis:</b> In der Literatur wird der Rolloff&ndash;Faktor auch oft mit <i>&alpha;</i> (&bdquo;alpha&rdquo;) bezeichnet.
+''Hinweis:'' In der Literatur wird der Rolloff&ndash;Faktor auch oft mit $\alpha$ (&bdquo;alpha&rdquo;) bezeichnet.
-== 1/T–Nyquistspektren (2) ==
+==Zeitbereichsberschreibung der  1/T–Nyquistspektren ==
 <br>
 Betrachten wir nun die Nyquistimpulse. Beim trapezförmigem Spektrum mit Rolloff&ndash;Faktor <i>r</i> erhält man::
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-== Aufgaben ==
+== Aufgaben zum Kapitel ==
 [[Aufgaben:1.4 Nyquistkriterien|A1.4 Nyquistkriterien]]