Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra - Versionsgeschichte

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Guenter am 27. August 2022 um 11:48 Uhr

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Guenter am 16. Mai 2019 um 10:09 Uhr

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Guenter am 15. Mai 2019 um 16:22 Uhr

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 *die Fehlerkorrektur eines solchen Codes beim&nbsp; &raquo;Auslöschungskanal&laquo;  &nbsp; $\rm (BEC)$,
-*die Decodierung mit Hilfe des&nbsp; &raquo;Error Locator Polynoms&laquo;  &nbsp;  ⇒  &nbsp; "Bounded Distance Decoding" (BDD),
+*die Decodierung mit Hilfe des&nbsp; &raquo;Error Locator Polynoms&laquo;  &nbsp;  ⇒  &nbsp; "Bounded Distance Decoding" &nbsp; $\rm (BDD)$,
 *die&nbsp; &raquo;Blockfehlerwahrscheinlichkeit&laquo;&nbsp; der Reed–Solomon–Codes und&nbsp; &raquo;typische Anwendungen&laquo;&nbsp;.

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $\rm Galoisfeld$&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; ist ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele| "endlicher Körper"]]&nbsp; mit&nbsp; $q$&nbsp; Elementen&nbsp; $z_0$,&nbsp; $z_1$,&nbsp; ... ,&nbsp; $z_{q-1}$,&nbsp; wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (H)$&nbsp; hinsichtlich&nbsp; $\rm Addition$&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; und&nbsp;  $\rm Multiplikation$&nbsp; (&bdquo;$\cdot $&rdquo;)&nbsp;  zutreffen.
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $\rm Galoisfeld$&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; ist ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe| "endlicher Körper"]]&nbsp; mit&nbsp; $q$&nbsp; Elementen&nbsp; $z_0$,&nbsp; $z_1$,&nbsp; ... ,&nbsp; $z_{q-1}$,&nbsp; wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (H)$&nbsp; hinsichtlich&nbsp; $\rm Addition$&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; und&nbsp;  $\rm Multiplikation$&nbsp; (&bdquo;$\cdot $&rdquo;)&nbsp;  zutreffen.
 *Addition und Multiplikation sind hierbei modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen.

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Verallgemeinerung (vorerst ohne Beweis):}$
-*Ein Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; kann in der hier beschriebenen Weise als&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele| &bdquo;Ring&rdquo;]]&nbsp; von Integergrößen modulo&nbsp; $q$&nbsp; nur dann gebildet werden, wenn&nbsp; $q$&nbsp; eine Primzahl ist: &nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; $q = 2$,&nbsp; $q = 3$,&nbsp; $q = 5$,&nbsp; $q = 7$,&nbsp; $q = 11$, ...<br>
+*Ein Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; kann in der hier beschriebenen Weise als&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings| &bdquo;Ring&rdquo;]]&nbsp; von Integergrößen modulo&nbsp; $q$&nbsp; nur dann gebildet werden, wenn&nbsp; $q$&nbsp; eine Primzahl ist: &nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; $q = 2$,&nbsp; $q = 3$,&nbsp; $q = 5$,&nbsp; $q = 7$,&nbsp; $q = 11$, ...<br>
 *Kann man aber die Ordnung&nbsp; $q$&nbsp; in der Form&nbsp; $q = P^m$&nbsp; mit einer Primzahl&nbsp; $P$&nbsp; und ganzzahligem&nbsp; $m$&nbsp; ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; über einen&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Erweiterungskörper]]&nbsp; finden.}}<br>

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;  Eine&nbsp; $\text{algebraische Gruppe}$&nbsp; $(\mathcal{G}, +)$&nbsp; ist eine (beliebige) Teilmenge&nbsp; $\mathcal{G} &#8834; \mathcal{M}$&nbsp; zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$&rdquo;), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:
-*Für alle&nbsp; $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gilt&nbsp; $(z_i + z_j) &#8712; \mathcal{G}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Closure</i>&ndash;Kriterium für &bdquo;$+$&rdquo;.<br>
+*Für alle&nbsp; $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gilt&nbsp; $(z_i + z_j) &#8712; \mathcal{G}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Closure</i>&ndash;Kriterium für&nbsp; &bdquo;$+$&rdquo;.<br>
 *Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element&nbsp; $N_{\rm A} &#8712; \mathcal{G}$, so dass für alle&nbsp; $z_i &#8712; \mathcal{G}$ gilt: &nbsp; $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist&nbsp; $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>
 *Für alle&nbsp; $z_i &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i) &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; mit der Eigenschaft&nbsp; $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. <br>Bei einer Zahlengruppe ist&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>
-*Für alle&nbsp; $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gilt:&nbsp; $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$+$&rdquo;.<br><br>
+*Für alle&nbsp; $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gilt:&nbsp; $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Assoziativgesetz''&nbsp; für&nbsp; &bdquo;$+$&rdquo;.<br><br>
 Wird zusätzlich für alle&nbsp;  $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; das ''Kommutativgesetz''&nbsp; $z_i + z_j= z_j + z_i$&nbsp; erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe''&nbsp; oder einer ''Abelschen Gruppe'', benannt nach dem norwegischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>
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 == Definition und  Beispiele eines algebraischen Rings  ==
 <br>
-Entsprechend der [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe |Übersichtsgrafik]] kommt man von der Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ durch Definition einer zweiten Rechenoperation &ndash; der Multiplikation (&bdquo;$\cdot$&rdquo;) &ndash; zum Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$. Man benötigt hierfür also neben einer Additionstabelle auch eine Multiplikationstabelle.<br>
+Entsprechend der&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe |Übersichtsgrafik]]&nbsp; kommt man von der Gruppe&nbsp; $(\mathcal{G}, +)$&nbsp; durch Definition einer zweiten Rechenoperation &ndash; der Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$\cdot$&rdquo;)&nbsp; &ndash; zum Ring&nbsp; $(\mathcal{R}, +, \cdot)$. Man benötigt hierfür also neben einer Additionstabelle auch eine Multiplikationstabelle.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Eine <b>algebraischer Ring</b> $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge $\mathcal{R} &#8834; \mathcal{G} &#8834; \mathcal{M})$ zusammen mit zwei in dieser Menge definierten Rechenoperationen, der Addition (&bdquo;$+$&rdquo;) und der Multiplikation (&bdquo;$&middot;$&rdquo;). Dabei müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $\text{algebraischer Ring}$&nbsp; $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge&nbsp; $\mathcal{R} &#8834; \mathcal{G} &#8834; \mathcal{M}$&nbsp; zusammen mit zwei in dieser Menge definierten Rechenoperationen, der Addition&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; und der Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$&middot;$&rdquo;). Dabei müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:
-*Hinsichtlich der Addition ist  der Ring$(\mathcal{R}, +, \cdot)$ eine [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|Abelsche Gruppe]] $(\mathcal{G}, +)$.<br>
+*Hinsichtlich der Addition ist  der Ring&nbsp; $(\mathcal{R}, +, \cdot)$&nbsp; eine&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|Abelsche Gruppe]]&nbsp; $(\mathcal{G}, +)$.<br>
-*Zusätzlich gilt für alle $z_i, z_j &#8712; \mathcal{R}$ auch $(z_i \cdot z_j) &#8712; \mathcal{R}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Closure</i>&ndash;Kriterium für &bdquo;$\cdot$&rdquo;.<br>
+*Zusätzlich gilt für alle&nbsp; $z_i, z_j &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; auch&nbsp; $(z_i \cdot z_j) &#8712; \mathcal{R}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Closure</i>&ndash;Kriterium für &bdquo;$\cdot$&rdquo;.<br>
-*Es gibt stets auch ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element $N_{\rm M} &#8712; \mathcal{R}$, so dass für alle $z_i &#8712; \mathcal{R}$ gilt: &nbsp; $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist stets  $N_{\rm M} = 1$.<br>
+*Es gibt stets auch ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element&nbsp; $N_{\rm M} &#8712; \mathcal{R}$, so dass für alle&nbsp; $z_i &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; gilt: &nbsp; $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$. <br>Bei einer Zahlengruppe ist stets&nbsp;  $N_{\rm M} = 1$.<br>
-*Für alle $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{R}$ gilt: &nbsp; $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$\cdot $&rdquo;.<br>
+*Für alle&nbsp; $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; gilt: &nbsp; $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Assoziativgesetz''&nbsp; für&nbsp; &bdquo;$\cdot $&rdquo;.<br>
-*Für alle $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{R}$ gilt: &nbsp; $z_i \cdot (z_j + z_k) = z_i \cdot z_j + z_i \cdot z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Distributivgesetz'' für &bdquo;$\cdot $&rdquo;.}}<br>
+*Für alle&nbsp; $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{R}$ gilt: &nbsp; $z_i \cdot (z_j + z_k) = z_i \cdot z_j + z_i \cdot z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Distributivgesetz''&nbsp; für&nbsp; &bdquo;$\cdot $&rdquo;.}}<br>
 Weiter sollen die folgenden Vereinbarungen gelten:
-*Ein Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist nicht notwendigerweise kommutativ. Gilt tatsächlich auch für alle Elemente $z_i, z_j &#8712; \mathcal{R}$ das ''Kommutativgesetz'' $z_i \cdot z_j= z_j \cdot z_i$ hinsichtlich der Multiplikation, so spricht man in der Fachliteratur von einem '''kommutativen Ring'''.
+*Ein Ring&nbsp; $(\mathcal{R}, +, \cdot)$&nbsp; ist nicht notwendigerweise kommutativ. Gilt tatsächlich auch für alle Elemente&nbsp; $z_i, z_j &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; das ''Kommutativgesetz''&nbsp; $z_i \cdot z_j= z_j \cdot z_i$&nbsp; hinsichtlich der Multiplikation, so spricht man in der Fachliteratur von einem&nbsp; '''kommutativen Ring'''.
-*Existiert für jedes Element $z_i &#8712; \mathcal{R}$ mit Ausnahme von $N_{\rm A}$ (neutrales Element der Addition, Nullelement) ein hinsichtlich der Multiplikation inverses Element ${\rm Inv_M}(z_i)$, so dass $z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1$ gilt, so liegt ein <b>Divisionsring</b> (englisch: <i>Division Ring</i>) vor.<br>
+*Existiert für jedes Element&nbsp; $z_i &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; mit Ausnahme von&nbsp; $N_{\rm A}$&nbsp; (neutrales Element der Addition, Nullelement) ein hinsichtlich der Multiplikation inverses Element&nbsp; ${\rm Inv_M}(z_i)$, so dass&nbsp; $z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1$&nbsp; gilt, so liegt ein&nbsp; <b>Divisionsring</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Division Ring</i>) vor.<br>
-*Der Ring ist <b>nullteilerfrei</b> (englisch: <i>free of zero devisors</i>), wenn aus $z_i \cdot  z_j  = 0$ zwingend $z_i = 0$ oder $z_j = 0$ folgt. In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein vom Nullelement verschiedenes Element $z_i$, falls es ein Element $z_j \ne 0$ gibt, so dass das Produkt  $z_i \cdot  z_j  = 0$ ist.<br>
+*Der Ring ist&nbsp; <b>nullteilerfrei</b>&nbsp; (englisch: <i>free of zero devisors</i>), wenn aus&nbsp; $z_i \cdot  z_j  = 0$&nbsp; zwingend&nbsp; $z_i = 0$&nbsp; oder&nbsp; $z_j = 0$&nbsp; folgt. In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein vom Nullelement verschiedenes Element&nbsp; $z_i$, falls es ein Element&nbsp; $z_j \ne 0$&nbsp; gibt, so dass das Produkt&nbsp;  $z_i \cdot  z_j  = 0$&nbsp; ist.<br>
-*Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als <b>Integritätsring</b> oder <b>Integritätsbereich</b> (englisch: <i>Integral Domain</i>) bezeichnet.<br><br>
+*Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als&nbsp; <b>Integritätsring</b>&nbsp; oder &nbsp;<b>Integritätsbereich</b>&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Integral Domain</i>) bezeichnet.<br><br>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-Vergleicht man die Definitionen von [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe| Gruppe]], Ring (siehe oben), [[Aufgaben:2.1_Gruppe,_Ring,_Körper|Körper]] und [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes| Galoisfeld]], so erkennt man, dass ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$
+Vergleicht man die Definitionen von&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe| Gruppe]],&nbsp; Ring (siehe oben), [[Aufgaben:2.1_Gruppe,_Ring,_Körper|Körper]]&nbsp; und&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes| Galoisfeld]], so erkennt man, dass ein Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$
-*ein endlicher Körper (englisch: <i>Field</i>&nbsp;) mit $q$ Elementen ist,<br>
+*ein endlicher Körper (englisch: &nbsp;<i>Field</i>&nbsp;) mit&nbsp; $q$&nbsp; Elementen ist,<br>
-*gleichzeitig als <i>Commutative Division Ring</i> aufgefasst werden kann, und auch <br>
+*gleichzeitig als <i>Commutative Division Ring</i>&nbsp; aufgefasst werden kann, und auch <br>
 *einen Integritätsbereich (englisch: <i>Integral Domain</i>&nbsp;) beschreibt.}}<br><br>

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Eine <b>algebraische Gruppe</b> $(\mathcal{G}, +)$ ist eine (beliebige) Teilmenge $\mathcal{G} &#8834; \mathcal{M})$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$&rdquo;), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Eine&nbsp; $\text{algebraische Gruppe}$&nbsp; $(\mathcal{G}, +)$&nbsp; ist eine (beliebige) Teilmenge&nbsp; $\mathcal{G} &#8834; \mathcal{M}$&nbsp; zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$&rdquo;), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:
-*Für alle $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$ gilt $(z_i + z_j) &#8712; \mathcal{G}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Closure</i>&ndash;Kriterium für &bdquo;$+$&rdquo;.<br>
+*Für alle&nbsp; $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gilt&nbsp; $(z_i + z_j) &#8712; \mathcal{G}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Closure</i>&ndash;Kriterium für &bdquo;$+$&rdquo;.<br>
-*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element $N_{\rm A} &#8712; \mathcal{G}$, so dass für alle $z_i &#8712; \mathcal{G}$ gilt: &nbsp; $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>
+*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element&nbsp; $N_{\rm A} &#8712; \mathcal{G}$, so dass für alle&nbsp; $z_i &#8712; \mathcal{G}$ gilt: &nbsp; $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist&nbsp; $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>
-*Für alle $z_i &#8712; \mathcal{G}$ gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element ${\rm Inv_A}(z_i) &#8712; \mathcal{G}$ mit der Eigenschaft $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. Bei einer Zahlengruppe ist ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>
+*Für alle&nbsp; $z_i &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i) &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; mit der Eigenschaft&nbsp; $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. <br>Bei einer Zahlengruppe ist&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>
-*Für alle $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{G}$ gilt: $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$+$&rdquo;.<br><br>
+*Für alle&nbsp; $z_i, z_j, z_k &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; gilt:&nbsp; $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$+$&rdquo;.<br><br>
-Wird zusätzlich für alle  $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$ das ''Kommutativgesetz'' $z_i + z_j= z_j + z_i$ erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe'' oder einer '''Abelschen Gruppe''', benannt nach dem norwegischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>
+Wird zusätzlich für alle&nbsp;  $z_i, z_j &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; das ''Kommutativgesetz''&nbsp; $z_i + z_j= z_j + z_i$&nbsp; erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe''&nbsp; oder einer ''Abelschen Gruppe'', benannt nach dem norwegischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiele für algebraische Gruppen:}$
-'''(1)'''&nbsp; Die <i>Menge der rationalen Zahlen</i> ist definiert als die Menge aller Quotienten $I/J$ mit ganzen Zahlen $I$ und $J &ne; 0$. Diese Menge ist eine Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ hinsichtlich der Addition, da
+'''(1)'''&nbsp; Die <i>Menge der rationalen Zahlen</i> ist definiert als die Menge aller Quotienten&nbsp; $I/J$&nbsp; mit ganzen Zahlen&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $J &ne; 0$.
-*für alle $a &#8712; \mathcal{G}$ und $b &#8712; \mathcal{G}$ auch die Summe $a+b$ wieder zu $\mathcal{G}$ gehört,<br>
+:Diese Menge ist eine Gruppe&nbsp; $(\mathcal{G}, +)$&nbsp; hinsichtlich der Addition, da
-*das Assozitativgesetz gilt,<br>
+:*für alle&nbsp; $a &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; und&nbsp; $b &#8712; \mathcal{G}$&nbsp; auch die Summe&nbsp; $a+b$&nbsp; wieder zu&nbsp; $\mathcal{G}$&nbsp; gehört,<br>
-*mit $ N_{\rm A} = 0$ das neutrale Element der Addition in $\mathcal{G}$ enthalten ist, und<br>
+:*das Assozitativgesetz gilt,<br>
-*es für jedes $a$ die additive Inverse ${\rm Inv_A}(a) = -a$ existiert.<br><br>
+:*mit&nbsp; $ N_{\rm A} = 0$&nbsp; das neutrale Element der Addition in&nbsp; $\mathcal{G}$&nbsp; enthalten ist, und<br>
-Da zudem das Kommutativgesetz erfüllt ist, handelt es sich um eine <i>abelsche Gruppe</i>.<br>
+'''(2)'''&nbsp; Die <i>Menge der natürlichen Zahlen</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $\{0, 1, 2, \text{...}\}$&nbsp; ist hinsichtlich Addition keine algebraische Gruppe,
-'''(2)'''&nbsp; Die <i>Menge der natürlichen Zahlen</i>, $\{0, 1, 2, \text{...}\}$, ist hinsichtlich Addition keine algebraische Gruppe, da es für kein einziges Element $z_i$ die additive Inverse ${\rm Inv_A}(z_i) = -z_i$ gibt.<br>
+'''(3)'''&nbsp; Die <i>begrenzte natürliche Zahlenmenge</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; $\{0, 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, q-1\}$&nbsp;  erfüllt dagegen dann die Bedingungen an eine Gruppe&nbsp; $(\mathcal{G}, +)$,
-'''(3)'''&nbsp; Die <i>begrenzte natürliche Zahlenmenge</i>, $\{0, 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, q-1\}$,  erfüllt dagegen dann die Bedingungen an eine Gruppe $(\mathcal{G}, +)$, wenn man die Addition modulo $q$ definiert.
+'''(4)'''&nbsp; Dagegen ist&nbsp; $\{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm},q\}$&nbsp; keine Gruppe, da das neutrale Element der Addition&nbsp; $(N_{\rm A} = 0)$&nbsp; fehlt.}}<br>
 == Definition und  Beispiele eines algebraischen Rings  ==

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 == Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe ==
 <br>
-Auf den ersten Seiten sind bereits einige algebraische Grundbegriffe gefallen, ohne dass deren Bedeutungen genauer erläutert wurden. Dies soll nun in aller Kürze aus Sicht eines Nachrichtentechnikers nachgeholt werden, wobei wir uns vorwiegend auf die Darstellung in [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref> und  [KM+08]<ref name='KM+08'>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref> beziehen. Zusammenfassend lässt sich sagen:<br>
+Auf den ersten Seiten sind bereits einige algebraische Grundbegriffe gefallen, ohne dass deren Bedeutungen genauer erläutert wurden. Dies soll nun in aller Kürze aus Sicht eines Nachrichtentechnikers nachgeholt werden, wobei wir uns vorwiegend auf die Darstellung in&nbsp; [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>&nbsp; und&nbsp;  [KM+08]<ref name='KM+08'>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>&nbsp; beziehen. Zusammenfassend lässt sich sagen:<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein <b>Galoisfeld</b> ${\rm GF}(q)$ ist ein ''Körper'' (englisch: <i>Field</i>) mit einer begrenzten Anzahl $(q)$ an Elementen &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>endlicher Körper</i>. Jeder Körper ist wieder ein Sonderfall eines ''Rings'' (gleichlautende englische Bezeichnung), der sich selbst wieder als Spezialfall einer ''Abelschen Gruppe'' (englisch: <i>Abelian Group</i>) darstellen lässt.}}<br>
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $\rm Galoisfeld$&nbsp; ${\rm GF}(q)$ ist ein ''Körper''&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Field</i>) mit einer begrenzten Anzahl&nbsp; $(q)$&nbsp; an Elementen &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>endlicher Körper</i>. Jeder Körper ist wieder ein Sonderfall eines ''Rings''&nbsp; (gleichlautende englische Bezeichnung), der sich selbst wieder als Spezialfall einer ''Abelschen Gruppe''&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Abelian Group</i>) darstellen lässt.}}<br>
 [[Datei:KC_T_2_1_S2_version2.png|right|frame|Algebraische Zusammenhänge zwischen Gruppe, Ring und Körper|class=fit]]
-Die Grafik verdeutlicht schrittweise, wie sich aus einer Menge durch Definition von Additition, Multiplikation und Division innerhalb dieser Menge $\mathcal{M}$ folgende untergeordnete Mengen ergeben:
+Die Grafik verdeutlicht schrittweise, wie sich aus einer Menge durch Definition von Additition, Multiplikation und Division innerhalb dieser Menge&nbsp; $\mathcal{M}$&nbsp; folgende untergeordnete Mengen ergeben:
-*Abelsche Gruppe $\mathcal{G}$  (englisch: <i>Field</i>&nbsp;) ,
+*Abelsche Gruppe&nbsp; $\mathcal{G}$&nbsp;  (englisch: &nbsp;<i>Field</i>&nbsp;) ,
-*Ring $\mathcal{R}$,
+*Ring&nbsp; $\mathcal{R}$,
-*Körper $\mathcal{K}$  (englisch: <i>Field</i> $\mathcal{F}$),
+*Körper&nbsp; $\mathcal{K}$&nbsp;  (englisch: &nbsp;<i>Field</i> $\mathcal{F}$),
-*endlicher Körper $\mathcal{F}_q$ oder Galoisfeld ${\rm GF}(q)$.
+*endlicher Körper&nbsp; $\mathcal{F}_q$&nbsp; oder Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$.
-<br clear=all>
-Auf den beiden nächsten Seiten werden die hier genannten algebraischen Begriffe genauer behandelt. Zum Verstehen der Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind diese Kenntnisse allerdings nicht unbedingt erforderlich. Sie könnten also auch direkt zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper| Erweiterungskörper]] springen.<br>

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $\rm Galoisfeld$&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; ist ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele| endlicher Körper]]&nbsp; mit&nbsp; $q$&nbsp; Elementen&nbsp; $z_0$,&nbsp; $z_1$,&nbsp; ... ,&nbsp; $z_{q-1}$, wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen hinsichtlich ''Addition'' (&bdquo;$+$&rdquo;) und  ''Multiplikation'' (&bdquo;$\cdot $&rdquo;)  zutreffen.
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $\rm Galoisfeld$&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; ist ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele| endlicher Körper]]&nbsp; mit&nbsp; $q$&nbsp; Elementen&nbsp; $z_0$,&nbsp; $z_1$,&nbsp; ... ,&nbsp; $z_{q-1}$, wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; ... &nbsp;$\rm (H)$&nbsp; hinsichtlich ''Addition'' (&bdquo;$+$&rdquo;) und  ''Multiplikation'' (&bdquo;$\cdot $&rdquo;)  zutreffen.
 *Addition und Multiplikation sind hierbei modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen.
-*Die&nbsp; $\rm Ordnung$&nbsp; $q$&nbsp; gibt die Anzahl der Elemente des Galoisfeldes an.<br><br>
+*Die&nbsp; $\rm Ordnung$&nbsp; $q$&nbsp; gibt die Anzahl der Elemente des Galoisfeldes an.}}
 $\rm (A)$&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; ist in sich abgeschlossen $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Closure$:
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 \hspace{0.05cm}. </math>
-$\rm (D)$&nbsp; Für jedes&nbsp; $z_i$&nbsp; existiert eine ''additive Inverse''&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i)$  $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}+\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
+$\rm (D)$&nbsp; Für jedes&nbsp; $z_i$&nbsp; existiert eine ''additive Inverse'' &nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i)$  $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}+\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}
@@ Zeile 56: / Zeile 60: @@
 {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}. </math>
-$\rm (E)$&nbsp; Für jedes&nbsp; $z_i$&nbsp; mit Ausnahme des Nullelements existiert die ''multiplikative Inverse''&nbsp; ${\rm Inv_M}(z_i)$ $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
+$\rm (E)$&nbsp; Für jedes&nbsp; $z_i$&nbsp; mit Ausnahme des Nullelements existiert die ''multiplikative Inverse'' &nbsp; ${\rm Inv_M}(z_i)$ $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A}, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}
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 == Beispiele und Eigenschaften von Galoisfeldern ==
 <br>
-Wir überprüfen zunächst, ob für die binäre Zahlenmenge $Z_2 = \{0, 1\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q=2$ (gültig für den einfachen Binärcode) die auf der letzten Seite genannten acht Kriterien erfüllt werden, so dass man tatsächlich von &bdquo;${\rm GF}(2)$&rdquo; sprechen kann. Sie sehen nachfolgend die Additions&ndash; und Multiplikationstabelle:
+Wir überprüfen zunächst, ob für die binäre Zahlenmenge&nbsp; $Z_2 = \{0, 1\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q=2$&nbsp; (gültig für den einfachen Binärcode) die auf der letzten Seite genannten acht Kriterien erfüllt werden, so dass man tatsächlich von &bdquo;${\rm GF}(2)$&rdquo; sprechen kann. Sie sehen nachfolgend die Additions&ndash; und Multiplikationstabelle:
 :$$Z_2 = \{0, 1\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      }
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 Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Jedes Element der Additions&ndash; und der Multiplikationstabelle von $Z_2$ ist wieder $z_0 = 0$ oder $z_0 = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; das Kriterium $\rm (A)$ ist erfüllt.<br>
+*Jedes Element der Additions&ndash; und der Multiplikationstabelle von&nbsp; $Z_2$&nbsp; ist wieder&nbsp; $z_0 = 0$&nbsp; oder&nbsp; $z_0 = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; das Kriterium&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; ist erfüllt.<br>
-*Die Menge  $Z_2$ enthält das Nullelement $(\hspace{-0.05cm}N_{\rm A} = z_0 = 0)$ und das Einselement  $(\hspace{-0.05cm}N_{\rm M} = z_1 = 1)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; die Kriterien $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind erfüllt.<br>
+*Die Menge&nbsp;  $Z_2$&nbsp; enthält das Nullelement&nbsp; $(\hspace{-0.05cm}N_{\rm A} = z_0 = 0)$&nbsp; und das Einselement  $(\hspace{-0.05cm}N_{\rm M} = z_1 = 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Kriterien&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; sind erfüllt.<br>
-*Die additiven Inversen ${\rm Inv_A}(0) = 0$ und ${\rm Inv_A}(1) = -1 \ {\rm mod}\  2 = 1$ existieren und gehören zu  $Z_2$.
+*Die additiven Inversen&nbsp; ${\rm Inv_A}(0) = 0$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Inv_A}(1) = -1 \ {\rm mod}\  2 = 1$&nbsp; existieren und gehören zu&nbsp;  $Z_2$.
-*Ebenso gibt es die multiplikative Inverse ${\rm Inv_M}(1) = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Kriterien $\rm (D)$ und $\rm (E)$ sind erfüllt.<br>
+*Ebenso gibt es die multiplikative Inverse&nbsp; ${\rm Inv_M}(1) = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Kriterien&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; sind erfüllt.<br>
-*Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes $\rm (F)$ in der Menge $Z_2$ erkennt man an der Symmetrie bezüglich der Tabellendiagonalen.
+*Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes&nbsp; $\rm (F)$&nbsp; in der Menge&nbsp; $Z_2$&nbsp; erkennt man an der Symmetrie bezüglich der Tabellendiagonalen.
-*Die Kriterien $\rm (G)$ und $\rm (H)$ werden hier ebenfalls erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  alle acht Kriterien sind erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  $Z_2 = \rm GF(2)$.<br>
+*Die Kriterien&nbsp; $\rm (G)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (H)$&nbsp; werden hier ebenfalls erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  alle acht Kriterien sind erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp;  $Z_2 = \rm GF(2)$.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Zahlenmenge $Z_3 = \{0, 1, 2\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 3$ erfüllt alle acht Kriterien und ist somit ein Galoisfeld $\rm GF(3)$:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Zahlenmenge&nbsp; $Z_3 = \{0, 1, 2\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 3$&nbsp; erfüllt alle acht Kriterien und ist somit ein Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(3)$:
 :$$Z_3 = \{0, 1, 2\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      }
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  Dagegen ist die Zahlenmenge $Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 4$  kein Galoisfeld.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  Dagegen ist die Zahlenmenge&nbsp; $Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 4$&nbsp;  kein Galoisfeld.
-*Der Grund hierfür ist, dass es hier zum Element $z_2 = 2$ keine multiplikative Inverse gibt. Bei einem Galoisfeld müsste nämlich gelten: &nbsp; $2 \cdot {\rm Inv_M}(2) = 1$
+*Der Grund hierfür ist, dass es hier zum Element&nbsp; $z_2 = 2$&nbsp; keine multiplikative Inverse gibt. Bei einem Galoisfeld müsste nämlich gelten: &nbsp; $2 \cdot {\rm Inv_M}(2) = 1$.
-*In der Multiplikationstabelle gibt es aber in der dritten Zeile und dritten Spalte  (jeweils gültig für den Multiplikanden $z_2 = 2$ keinen Eintrag mit &bdquo;$1$&rdquo;.
+*In der Multiplikationstabelle gibt es aber in der dritten Zeile und dritten Spalte  $($jeweils gültig für den Multiplikanden&nbsp; $z_2 = 2)$&nbsp; keinen Eintrag mit &bdquo;$1$&rdquo;.
 :$$Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      }
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Verallgemeinerung (vorerst ohne Beweis):}$
-*Ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ kann in der hier beschriebenen Weise als [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele| Ring]] von Integergrößen modulo $q$ nur dann gebildet werden, wenn $q$ eine Primzahl ist: &nbsp; $q = 2$, $q = 3$, $q = 5$, $q = 7$, $q = 11$, ...<br>
+*Ein Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; kann in der hier beschriebenen Weise als&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Algebraischer_Ring_und_Beispiele| &bdquo;Ring&rdquo;]]&nbsp; von Integergrößen modulo&nbsp; $q$&nbsp; nur dann gebildet werden, wenn&nbsp; $q$&nbsp; eine Primzahl ist: &nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; $q = 2$,&nbsp; $q = 3$,&nbsp; $q = 5$,&nbsp; $q = 7$,&nbsp; $q = 11$, ...<br>
-*Kann man aber die Ordnung $q$ in der Form $q = P^m$ mit einer Primzahl $P$ und ganzzahligem $m$ ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ über einen [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Erweiterungskörper]] finden.}}<br>
+*Kann man aber die Ordnung&nbsp; $q$&nbsp; in der Form&nbsp; $q = P^m$&nbsp; mit einer Primzahl&nbsp; $P$&nbsp; und ganzzahligem&nbsp; $m$&nbsp; ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; über einen&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Erweiterungskörper]]&nbsp; finden.}}<br>
 == Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe ==

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 \hspace{0.05cm}. </math>
-$\rm (D)$&nbsp; Für jedes $z_i$ existiert eine ''additive Inverse''&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i)$  $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}+\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
+$\rm (D)$&nbsp; Für jedes&nbsp; $z_i$&nbsp; existiert eine ''additive Inverse''&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i)$  $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}+\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}
@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}. </math>
-$\rm (E)$&nbsp; Für jedes $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements existiert die ''multiplikative Inverse'' ${\rm Inv_M}(z_i)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <span style="font-weight: bold;">Inverse for &bdquo;&middot;&rdquo;</span>:
+$\rm (E)$&nbsp; Für jedes&nbsp; $z_i$&nbsp; mit Ausnahme des Nullelements existiert die ''multiplikative Inverse''&nbsp; ${\rm Inv_M}(z_i)$ $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Inverse \ for \ &bdquo;\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}&rdquo;$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A}, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}
-\hspace{0.25cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm}
+\hspace{0.25cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\text{kurz:}\hspace{0.3cm}
 {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1}
 \hspace{0.05cm}. </math>
-$\rm (F)$&nbsp; Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das ''Kommutativgesetz'' &nbsp; &#8658; &nbsp; <span style="font-weight: bold;">Commutative Law</span>:
+$\rm (F)$&nbsp; Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das ''Kommutativgesetz'' $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Commutative \ Law$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i,\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:}
@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-$\rm (G)$&nbsp; Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das ''Assoziativgesetz'' &nbsp; &#8658; &nbsp; <span style="font-weight: bold;">Associative Law</span>:
+$\rm (G)$&nbsp; Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das ''Assoziativgesetz'' $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Associative \ Law$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i,\hspace{0.1cm} z_j ,\hspace{0.1cm} z_k \in {\rm GF}(q)\text{:}
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-$\rm (H)$&nbsp; Für die Kombination &bdquo;Addition &ndash; Multiplikation&rdquo; gilt das ''Distributivgesetz'' &nbsp; &#8658; &nbsp; <span style="font-weight: bold;">Distributive Law</span>:
+$\rm (H)$&nbsp; Für die Kombination &bdquo;Addition &ndash; Multiplikation&rdquo; gilt das ''Distributivgesetz'' $\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\rm Distributive \ Law$:
 ::<math>\forall \hspace{0.15cm}  z_i,\hspace{0.15cm} z_j ,\hspace{0.15cm} z_k \in {\rm GF}(q)\text{:}
 \hspace{0.25cm}(z_i + z_j) \cdot z_k = z_i \cdot z_k + z_j \cdot z_k