Modulationsverfahren/Qualitätskriterien - Versionsgeschichte

Guenter am 2. November 2021 um 15:52 Uhr

2021-11-02T15:52:32Z

Guenter am 2. November 2021 um 10:37 Uhr

2021-11-02T10:37:35Z

Guenter am 2. November 2021 um 10:20 Uhr

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Guenter am 1. November 2021 um 14:01 Uhr

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Guenter am 1. November 2021 um 11:35 Uhr

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Guenter am 2. März 2020 um 09:45 Uhr

2020-03-02T09:45:40Z

Guenter am 29. Februar 2020 um 16:46 Uhr

2020-02-29T16:46:34Z

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Guenter am 3. Dezember 2018 um 11:02 Uhr

2018-12-03T11:02:05Z

Guenter am 3. Dezember 2018 um 11:01 Uhr

2018-12-03T11:01:16Z

Guenter am 2. Dezember 2018 um 13:17 Uhr

2018-12-02T13:17:26Z

Änderungen zeigen

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 <br>
 Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.&nbsp; Wir werden dabei stets das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:
 *Je mehr Sendeleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
 *$ρ_v$&nbsp; nimmt mit steigender Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; monoton ab.&nbsp; Eine Vergrößerung von &nbsp;$N_0$&nbsp; kann meist durch eine größere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; ausgeglichen werden.
 *Je kleiner der Parameter &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp;  des Kanals ist, um so kleiner wird &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung &nbsp;$P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$&nbsp; ist.
-*Ein breitbandigeres Quellensignal&nbsp; $($größeres &nbsp;$B_{\rm NF})$&nbsp; führt zu kleinerem &nbsp;$ρ_v$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern &nbsp; &rArr; &nbsp; mehr werden Störungen wirksam.
+*Ein breitbandigeres Quellensignal&nbsp; $($größeres &nbsp;$B_{\rm NF})$&nbsp; führt zu kleinerem &nbsp;$ρ_v$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man muss auch die HF–Bandbreite vergrößern &nbsp; &rArr; &nbsp; mehr Störungen werden wirksam.
 {{BlaueBox|TEXT=
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-Die in &nbsp;$ξ$&nbsp; zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium &nbsp;$ρ_v$&nbsp; durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
+Die in &nbsp;$ξ$&nbsp; zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert,&nbsp; während das Qualitätskriterium &nbsp;$ρ_v$&nbsp; durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt,&nbsp; jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;
 [[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png |right|frame| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
 :$$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$$
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 B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
-:zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).&nbsp; Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
+:zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).&nbsp;
 :$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
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 *Auch beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; besteht mit &nbsp;$ρ_v = ξ/3$&nbsp; ein linearer Zusammenhang.&nbsp; Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.&nbsp; Die Steigung beträgt aber nur &nbsp;$1/3$.&nbsp;
-:Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;  bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$&nbsp; festzustellen ist, während &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; eine&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] und Modulationsgrad &nbsp;$m ≈ 0.5$&nbsp; beschreibt.
+*Anzumerken ist,&nbsp; dass ein Rauschverhalten entsprechend &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;  bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$&nbsp; festzustellen ist, während &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; eine&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]]&nbsp; und Modulationsgrad &nbsp;$m ≈ 0.5$&nbsp; beschreibt.
 *Das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp; zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.&nbsp; Für kleine &nbsp;$ξ$&ndash;Werte ist dieses System dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; überlegen, während für &nbsp;$ξ = 10000$&nbsp; die Qualität beider Systeme gleich ist.
-Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; wird das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp;  im Gegensatz zum $\text{System A}$  nicht signifikant verbessert.&nbsp; Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.&nbsp; Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.
+Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; wird das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp;  im Gegensatz zum $\text{System A}$  nicht signifikant verbessert.&nbsp; Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.&nbsp; Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung kein besseres Sinken–SNR – und damit verbunden auch keine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – zu erzielen.
 Meist werden die Größen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
-*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.&nbsp; Die geringere Steigung&nbsp; $($Faktor $3)$&nbsp; von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; führt nun zu einer Verschiebung um &nbsp;$10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$&nbsp; nach unten.
+*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.&nbsp;
 *Der Schnittpunkt der Systeme &nbsp;$\text{A}$&nbsp; und &nbsp;$\text{C}$&nbsp; verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; auf &nbsp;$10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}

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 ==Untersuchungen im Hinblick auf Signalverzerrungen==
 <br>
-Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen, das heißt zu einem Sinkensignal &nbsp;$v(t) ≠ α · q(t - τ)$, das sich nicht nur durch eine Dämpfung und eine Laufzeit von &nbsp;$q(t)$&nbsp; unterscheidet.&nbsp; Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und folgendem Modell aus:
+Alle in den folgenden Kapiteln beschriebenen Modulationsverfahren führen bei nichtidealen Bedingungen zu Verzerrungen,&nbsp; das heißt zu einem Sinkensignal &nbsp;
 [[Datei:P_ID944__Mod_T_1_2_S3_neu.png |right|frame| Vereinfachtes Modell eines Übertragungssystems]]
-*Das additive Störsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; am Kanalausgang (Demodulatoreingang) sei vernachlässigbar klein und wird nicht berücksichtigt.
+Für die Untersuchung und Beschreibung dieser Signalverfälschungen gehen wir stets von folgenden Voraussetzungen und dem obigen Modell aus:
 *Alle Komponenten von Modulator und Demodulator seien linear,
 *ebenso wie der Kanal, der somit durch seinen Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; vollständig beschrieben wird.
-<br clear=all>
 Je nach Art und Realisierung von Modulator und Demodulator treten folgende Signalverfälschungen auf:
-'''Lineare Verzerrungen'''&nbsp; entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;:
+{{BlaueBox|TEXT=
 *Lineare Verzerrungen können im Allgemeinen durch einen Entzerrer kompensiert werden, was allerdings bei Vorhandensein einer stochastischen Störung &nbsp;$n(t)$&nbsp; stets zu einer höheren Störleistung und damit zu einem geringeren Sinken–SNR führt.
-*Solche lineare Verzerrungen werden weiter in&nbsp; ''Dämpfungsverzerrungen''&nbsp; und&nbsp; ''Phasenverzerrungen''&nbsp; unterteilt.
+*Solche linearen Verzerrungen werden weiter in&nbsp; '''Dämpfungsverzerrungen'''&nbsp; und&nbsp; '''Phasenverzerrungen'''&nbsp; unterteilt.
-'''Nichtlineare Verzerrungen'''  entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;:
+$\text{Nichtlineare Verzerrungen}$&nbsp; entsprechend der Beschreibung im &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|gleichnamigen  Kapitel]]&nbsp; des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;:
 *Nichtlineare Verzerrungen sind irreversibel und damit eine stärkere Beeinträchtigung als lineare Verzerrungen.
-*Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor &nbsp;$K$, der mit dem Sinken–SNR in folgendem Zusammenhang steht: &nbsp;
+*Zur quantitativen Erfassung solcher Verzerrungen eignet sich beispielsweise der Klirrfaktor $K$,&nbsp; der mit dem Sinken–SNR wie folgt zusammenhängt: &nbsp; $\rho_{v} = {1}/{K^2}  \hspace{0.05cm}.$
-:$$\rho_{v} = {1}/{K^2}  \hspace{0.05cm}.$$
+*Die Angabe des Klirrfaktors setzt jedoch eine harmonische Schwingung als Quellensignal voraus.}}

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 Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; auf den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α = 0.7$&nbsp; und die Laufzeit &nbsp;$τ = 0.1\text{ ms}$&nbsp; zurückzuführen ist.
-Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$&nbsp; nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.&nbsp; Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung &nbsp;$P_ε$.
+Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$&nbsp; nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.&nbsp; Den quadratischen Mittelwert &nbsp; &rArr; &nbsp;  "Varianz"&nbsp; dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung &nbsp;$P_ε$.
 Zur Berechnung des Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; muss &nbsp;$P_ε$&nbsp; in Bezug zur Nutzleistung &nbsp;$α^2 · P_q$&nbsp; gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals &nbsp;$α · q(t - τ)$.
-Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen &nbsp;$\alpha = 0.7$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\alpha^2 \approx 0.5$&nbsp; sowie &nbsp;$P_{q} = 8\,{\rm V^2}$&nbsp; und &nbsp;${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$&nbsp; ergibt sich das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v ≈ 100$&nbsp; bzw. der Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB. }}
+Mit den hier vorausgesetzten Kenngrößen &nbsp;$\alpha = 0.7$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\alpha^2 \approx 0.5$&nbsp; sowie &nbsp;$P_{q} = 8\,{\rm V^2}$&nbsp; und &nbsp;${P_{\varepsilon} } = 0.04\,{\rm V^2}$&nbsp; ergibt sich das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v ≈ 100$&nbsp; bzw. der Sinken–Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v ≈ 20$ dB.}}

@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
-*Durch den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; ist das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$ gegenüber dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur „leiser”.
+*Durch den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α$&nbsp; ist das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; gegenüber dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; nur „leiser”.
 *Auch eine Laufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; ist oft tolerabel, zumindest bei einer unidirektionalen Übertragung.
 *Dagegen wird bei einer bidirektionalen Kommunikation – zum Beispiel einem Telefonat – schon eine Laufzeit von&nbsp; $300$&nbsp; Millisekunden als sehr störend empfunden.
@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 ==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==
 <br>
-Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; auch gegenüber &nbsp; $α · q(t - τ)$ &nbsp; noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
+Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; auch gegenüber&nbsp; $α · q(t - τ)$ &nbsp; noch unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
 :$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) +  \varepsilon_{\rm St} (t).$$
 Dieses Fehlersignal setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
-*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen &nbsp;$ε_{\rm V}(t)$, die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches&nbsp; (zeitinvariantes)&nbsp;Verhalten zeigen;
+*den linearen und nichtlinearen Verzerrungen&nbsp; $ε_{\rm V}(t)$&nbsp; (German:&nbsp; "Verzerrungen" &nbsp; &rArr; &nbsp; subscript "V"),&nbsp; die durch die Frequenzgänge von Modulator, Kanal und Demodulator hervorgerufen werden und somit deterministisches&nbsp; (zeitinvariantes)&nbsp;Verhalten zeigen;
-*der stochastischen Komponente &nbsp;$ε_{\rm St}(t)$, die von der HF–Störung&nbsp; $n(t)$&nbsp; am Demodulatoreingang herrührt.&nbsp; Im Gegensatz zu &nbsp;$n(t)$&nbsp; handelt es sich bei&nbsp; $ε_{\rm St}(t)$&nbsp; jedoch meist um eine niederfrequente Rauschstörung.
+*der stochastischen Komponente &nbsp;$ε_{\rm St}(t)$,&nbsp; die von der HF–Störung&nbsp; $n(t)$&nbsp; am Demodulatoreingang herrührt.&nbsp; Im Gegensatz zu &nbsp;$n(t)$&nbsp; handelt es sich bei&nbsp; $ε_{\rm St}(t)$&nbsp; jedoch meist aufgrund des Demodulators mit Tiefpass&nbsp;Charakteristik um eine niederfrequente Rauschstörung.
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 :$$\rho_{v} = \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q} }{P_{\varepsilon} }  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{v} =
 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \frac{\alpha^2 \cdot  P_{q} }{P_{\varepsilon} } \hspace{0.05cm}.$$
-Im Folgenden bezeichnen wir &nbsp;$ρ_v$&nbsp; kurz als das&nbsp; '''Signal–to–Noise–Ratio'''&nbsp; (oder kurz&nbsp; ''Sinken–SNR'')&nbsp; und &nbsp;$10 · \lg \ ρ_v$ als den&nbsp; '''Sinken–Störabstand''', der bei Verwendung des Zehner–Logarithmus&nbsp; $(\lg)$&nbsp; in dB angegeben wird. }}
+*Im Folgenden bezeichnen wir &nbsp;$ρ_v$&nbsp; kurz als das&nbsp; '''Signal–to–Noise–Ratio'''&nbsp; oder&nbsp; '''Sinken–SNR''',&nbsp; und
-[[Datei:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png |right|frame|Zur Verdeutlichung des Fehlersignals]]
+[[Datei:P_ID941__Mod_T_1_2_S2_neu.png |right|frame|Zur Verdeutlichung des Fehlersignals&nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt des (blauen) Quellensignals &nbsp;$q(t)$&nbsp; und des (roten) Sinkensignals &nbsp;$v(t)$, die sich merklich voneinander unterscheiden.
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Rechts sehen Sie einen beispielhaften Ausschnitt
 Die mittlere Grafik macht jedoch deutlich, dass der wesentliche Unterschied zwischen &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; auf den Dämpfungsfaktor &nbsp;$α = 0.7$&nbsp; und die Laufzeit &nbsp;$τ = 0.1\text{ ms}$&nbsp; zurückzuführen ist.
-Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$&nbsp; nach Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.&nbsp; Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung &nbsp;$P_ε$.
+Die untere Skizze zeigt das verbleibende Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - α · q(t - τ)$&nbsp; nach bestmöglicher Korrektur von Dämpfung und Laufzeit.&nbsp; Den quadratischen Mittelwert (die Varianz) dieses Signals bezeichnen wir als die Störleistung &nbsp;$P_ε$.
 Zur Berechnung des Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; muss &nbsp;$P_ε$&nbsp; in Bezug zur Nutzleistung &nbsp;$α^2 · P_q$&nbsp; gesetzt werden. Diese ergibt sich als die Varianz des in der mittleren Grafik hellblau eingezeichneten Signals &nbsp;$α · q(t - τ)$.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Ideales und verzerrungsfreies System==
 <br>
-In allen nachfolgenden Kapiteln wird stets von folgendem Modell ausgegangen:
+[[Datei:P_ID940__Mod_T_1_2_S1_neu.png |right|frame| Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation]]
-[[Datei:P_ID940__Mod_T_1_2_S1_neu.png |center|frame| Blockschaltbild zur Beschreibung von Modulation und Demodulation]]
+In allen folgenden Kapiteln wird von folgendem Modell ausgegangen:
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; '''ideales System'''&nbsp; liegt vor, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
@@ Zeile 19: / Zeile 21: @@
-In der Praxis werden sich die Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp; nicht nur um &nbsp;$n(t)$&nbsp; unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:
+In der Praxis werden sich die Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$v(t)$&nbsp;  um mehr als den Rauschterm&nbsp; $n(t)$&nbsp; unterscheiden, wofür es folgende Gründe gibt:
 *Nichtideale Realisierung von Modulator und Demodulator,
 *lineare Dämpfungs– und Phasenverzerrungen sowie Nichtlinearitäten,

@@ Zeile 140: / Zeile 140: @@
 ==Untersuchungen beim AWGN–Kanal==
 <br>
-Bei allen Untersuchungen hinsichtlich des Rauschverhaltens gehen wir von folgendem Blockschaltbild aus:
+Bei allen Untersuchungen hinsichtlich Rauschverhalten gehen wir vom unten skizzierten Blockschaltbild aus.&nbsp; Wir werden dabei stets das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:
-[[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png |center|frame| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]
+*Je mehr Sendeleistung&nbsp; $P_{\rm S}$&nbsp; aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$.&nbsp; Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;  Unter Berücksichtigung dieser vier Aussagen kommt man zu dem Schluss, dass es Sinn macht, das Sinken–SNR in der Form
 :$$\rho_{v } = \rho_{v }(\xi) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm}\xi = \frac{ {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} }$$
-normiert darzustellen. Im Folgenden bezeichnen wir $ξ$  als '''Leistungskenngröße'''.}}
+normiert darzustellen.&nbsp; Im Folgenden bezeichnen wir&nbsp; $ξ$&nbsp;  als die&nbsp; '''Leistungskenngröße'''.}}
@@ Zeile 160: / Zeile 159: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;
-[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png |center|frame| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
+*Beim &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; gilt &nbsp;$ρ_ν = ξ$.&nbsp; Beispielsweise führen die Systemparameter
 :$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
-\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{N_0} =
+\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
 ^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
-zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung im obigem Bild). Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
+:zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung der Skizze).&nbsp; Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
 :$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
-\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{N_0} =
+\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
 ^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-Auch beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; besteht mit &nbsp;$ρ_v = ξ/3$&nbsp; ein linearer Zusammenhang.
+*Auch beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; besteht mit &nbsp;$ρ_v = ξ/3$&nbsp; ein linearer Zusammenhang.&nbsp; Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt.&nbsp; Die Steigung beträgt aber nur &nbsp;$1/3$.&nbsp;
-Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt. Die Steigung beträgt aber nur &nbsp;$1/3$.
+:Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;  bei&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$&nbsp; festzustellen ist, während &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; eine&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] und Modulationsgrad &nbsp;$m ≈ 0.5$&nbsp; beschreibt.
-Das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp; zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.
+*Das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp; zeigt ein völlig anderes Rauschverhalten.&nbsp; Für kleine &nbsp;$ξ$&ndash;Werte ist dieses System dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; überlegen, während für &nbsp;$ξ = 10000$&nbsp; die Qualität beider Systeme gleich ist.
-Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird. Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.
+Durch eine Erhöhung der Leistungskenngröße &nbsp;$ξ$&nbsp; wird das &nbsp;$\text{System C}$&nbsp;  im Gegensatz zum $\text{System A}$  nicht signifikant verbessert.&nbsp; Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird.&nbsp; Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.
 Meist werden die Größen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
-*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.
+*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.&nbsp; Die geringere Steigung&nbsp; $($Faktor $3)$&nbsp; von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; führt nun zu einer Verschiebung um &nbsp;$10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$&nbsp; nach unten.
-*Die geringere Steigung (Faktor $3$) von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; führt nun zu einer Verschiebung um &nbsp;$10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$&nbsp; nach unten.
+*Der Schnittpunkt der Systeme &nbsp;$\text{A}$&nbsp; und &nbsp;$\text{C}$&nbsp; verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Darstellung von &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; auf &nbsp;$10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}

@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 ==Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis==
 <br>
-Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; auch gegenüber &nbsp;$α · q(t – τ)$&nbsp; unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
+Im allgemeinen Fall wird sich das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; auch gegenüber &nbsp;$α · q(t - τ)$&nbsp; unterscheiden, und es gilt für das Fehlersignal:
 :$$\varepsilon (t) = v(t) - \alpha \cdot q(t- \tau) = \varepsilon_{\rm V} (t) +  \varepsilon_{\rm St} (t).$$

@@ Zeile 129: / Zeile 129: @@
 *Bei echt weißem Rauschen würde sich eine unendliche große Leistung ergeben. Deshalb ist stets eine Bandbegrenzung auf &nbsp;$B$&nbsp; zu berücksichtigen, und es gilt für die wirksame Rauschleistung:
 :$$N = \sigma_n^2 = {N_0} \cdot B \hspace{0.05cm}.$$
-*Dass Störsignal &nbsp;$n$&nbsp; besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) &nbsp; &rArr; Amplitudenverteilung &nbsp; mit dem Störeffektivwert $σ_n$:
+*Dass Störsignal &nbsp;$n$&nbsp; besitzt eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) &nbsp; &rArr; Amplitudenverteilung &nbsp; mit Störeffektivwert &nbsp;$σ_n$:
 :$$f_n(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_n}\cdot {\rm e}^{-{\it
 n^{\rm 2}}/{(2\sigma_{\it n}^2)}}.$$
-*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal $H_{\rm K}(f) = 1$ zu setzen. Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen:
+*Eigentlich ist beim AWGN–Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; zu setzen. Wir modifizieren dieses Modell für unsere Untersuchungen jedoch in der Form, dass wir eine frequenzunabhängige Dämpfung zulassen:
 :$$H_{\rm K}(f) = \alpha_{\rm K}= {\rm const.}$$
 :Ein solcher frequenzunabhängiger Dämpfungsfaktor führt nicht zu Verzerrungen.
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 [[Datei: P_ID945__Mod_T_1_2_S5_neu.png |center|frame| Blockschaltbild zur Untersuchung des Rauschverhaltens]]
-Wir werden dabei stets das Sinken–SNR $ρ_v$ in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:
+Wir werden dabei stets das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; in Abhängigkeit aller Systemparameter berechnen und zu folgenden Ergebnissen kommen:
-*Je mehr Sendeleistung $P_{\rm S}$ aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR $ρ_v$. Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
+*Je mehr Sendeleistung $P_{\rm S}$ aufgewendet wird, desto besser ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$. Bei einigen Verfahren ergibt sich sogar ein linearer Zusammenhang.
-*Dagegen nimmt $ρ_v$ mit steigender Rauschleistungsdichte $N_0$ monoton ab. Eine Vergrößerung von $N_0$ kann meist durch eine größere Sendeleistung $P_{\rm S}$ ausgeglichen werden.
+*Dagegen nimmt &nbsp;$ρ_v$&nbsp; mit steigender Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; monoton ab. Eine Vergrößerung von &nbsp;$N_0$&nbsp; kann meist durch eine größere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; ausgeglichen werden.
-*Je kleiner der Dämpfungsfaktor $α_{\rm K}$ ist – das heißt, je stärker der Kanal dämpft – um so kleiner wird $ρ_v$. Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung $P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$ ist.
+*Je kleiner der Dämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; ist – das heißt, je stärker der Kanal dämpft – um so kleiner wird &nbsp;$ρ_v$. Es besteht oft eine quadratische Abhängigkeit, da die Empfangsleistung &nbsp;$P_{\rm E} = {α_{\rm K}}^2 · P_{\rm S}$&nbsp; ist.
-*Auch ein breitbandigeres Quellensignal (größeres $B_{\rm NF}$) führt zu einem kleineren $ρ_v$, da dadurch auch die HF–Bandbreite vergrößert werden muss und somit mehr Störungen wirksam werden.
+*Auch ein breitbandigeres Quellensignal $($größeres &nbsp;$B_{\rm NF})$ führt zu einem kleineren &nbsp;$ρ_v$, da dadurch auch die HF–Bandbreite vergrößert werden muss und somit mehr Störungen wirksam werden.
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-Die in $ξ$ zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Bild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium $ρ_v$ durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
+Die in &nbsp;$ξ$&nbsp; zusammengefassten Eingangsgrößen sind in obigem Blockschaltbild mit blauen Pfeilen markiert, während das Qualitätskriterium &nbsp;$ρ_v$&nbsp; durch den roten Pfeil hervorgehoben ist.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR $ρ_υ$ für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße $\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;  In der linken Grafik ist das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_v$&nbsp; für drei verschiedene Systeme dargestellt, jeweils in Abhängigkeit von der normierten Leistungskenngröße &nbsp;$\xi = { {\alpha_{\rm K} }^2 \cdot P_{\rm S} }/({N_0 \cdot B_{\rm NF} }).$
-[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png |right|frame| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
+[[Datei:P_ID947__Mod_T_1_2_S5b_neu.png |center|frame| Untersuchungen beim AWGN–Kanal]]
-Beim '''System A''' gilt $ρ_ν = ξ$. Beispielsweise führen die Systemparameter
+Beim &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; gilt &nbsp;$ρ_ν = ξ$. Beispielsweise führen die Systemparameter
 :$$P_{\rm S}= 10 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
-\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm}, $$
+\alpha_{\rm K} = 10^{-4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{N_0} =
-:$${N_0} =
+^{-12}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 B_{\rm NF}= 10\; {\rm kHz}$$
-zu $ξ = ρ_v = 10000$ (siehe kreisförmige Markierung im obigem Bild). Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
+zu &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; (siehe kreisförmige Markierung im obigem Bild). Exakt das gleiche Sinken–SNR ergäbe sich mit den Parametern
 :$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
-\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm}, $$
+\alpha_{\rm K} = 10^{-6}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{N_0} =
-:$${N_0} =
+^{-16}\hspace{0.05cm}{ {\rm W} }/{ {\rm Hz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-Auch beim '''System B''' besteht mit $ρ_v = ξ/3$ ein linearer Zusammenhang.
+Auch beim &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; besteht mit &nbsp;$ρ_v = ξ/3$&nbsp; ein linearer Zusammenhang.
-Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt. Die Steigung beträgt aber nur $1/3$.
+Die Gerade geht ebenfalls durch den Nullpunkt. Die Steigung beträgt aber nur &nbsp;$1/3$.
-Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend System '''A'''  bei [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad $m → ∞$ festzustellen ist, während System '''B''' eine  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] beschreibt, dessen Modulationsgrad $m ≈ 0.5$ ist.
+Anzumerken ist, dass ein Rauschverhalten entsprechend System &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;  bei [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation ohne Träger]] &nbsp; &rArr; &nbsp; Modulationsgrad &nbsp;$m → ∞$&nbsp; festzustellen ist, während System &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; eine  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#ZSB-Amplitudenmodulation_mit_Tr.C3.A4ger|Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger]] beschreibt, dessen Modulationsgrad &nbsp;$m ≈ 0.5$&nbsp; ist.
 Ein solches Verhalten ist zum Beispiel bei Digitalsystemen feststellbar, bei denen das Sinken–SNR durch das Quantisierungsrauschen begrenzt wird. Befindet man sich bereits auf dem horizontalen Abschnitt der Kurve, so ist durch eine größere Sendeleistung – und damit verbunden eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit – kein besseres Sinken–SNR zu erzielen.
+Meist werden die Größen &nbsp;$ρ_v$&nbsp; und &nbsp;$ξ$&nbsp; in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
-Meist werden die Größen $ρ_v$ und $ξ$ in logarithmierter Form dargestellt, wie in der rechten Grafik zu sehen ist:
+*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; weiterhin die Winkelhalbierende.
-*Durch die doppelt–logarithmische Darstellung ergibt sich für das '''System A''' weiterhin die Winkelhalbierende.
+*Die geringere Steigung (Faktor $3$) von &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; führt nun zu einer Verschiebung um &nbsp;$10 · \lg 3 ≈ 5\text{ dB}$&nbsp; nach unten.
-*Die geringere Steigung (Faktor 3) von '''System B''' führt nun zu einer Verschiebung um $10 · \lg 3 ≈ 5$ dB nach unten.
+*Der Schnittpunkt von &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; und &nbsp;$\text{System C}$&nbsp; verschiebt sich durch die doppelt–logarithmische Transformation von &nbsp;$ξ = ρ_v = 10000$&nbsp; auf &nbsp;$10 · \lg ξ = 10 · \lg ρ_v = 40\text{ dB}$. }}